Hilbert空间中关于有限时滞随机发展方程的Trotter-Kato逼近体系.pdf

文档介绍：该【Hilbert空间中关于有限时滞随机发展方程的Trotter-Kato逼近体系 】是由【玉柱儿】上传分享，文档一共【7】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【Hilbert空间中关于有限时滞随机发展方程的Trotter-Kato逼近体系 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第43卷第6期首都师范大学学报(自然科学版)
2022年12月JournalofCapitalNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Dec.,2022
DOI:-
文献引用:刘明,戴凌飞,-Kato逼近体系[J].首都师范大学学报(自然科学版),2022,
43(6):1-,DAILF,-KatoapproximationsofstochasticevolutionequationswithfinitedelaysinHilbertSpace[J].
JournalofCapitalNormalUniversity(NaturalScienceEdition),2022,43(6):1-7.
Hilbert空间中关于有限时滞随机发展方程的
Trotter-Kato逼近体系*
刘明,戴凌飞,张霞**
(天津工业大学数学科学学院,天津300387)
摘要:介绍了随机发展方程Trotter-Kato逼近理论的研究进展,并在此基础上研究有限时滞随机发
展方程关于适定解的Trotter-Kato逼近体系,最后给出此类随机发展方程在该逼近体系下关于参数
依赖性的经典极限定理.
关键词:Trotter-Kato逼近体系;有限时滞随机发展方程;经典极限定理
中图分类号:
Trotter-Katoapproximationsofstochasticevolution
equationswithfinitedelaysinHilbertSpace*
LIUMing,DAILingfei,ZHANGXia**
(SchoolofMathematicalSciences,TiangongUniversity,Tianjin300387)
Abstract:Inthispaper,theresearchprogressofthetheoryofTrotter-Katoapproximationsfor
,theTrotter-Katoapproximationsonthe
mildsolutionsofstochasticevolutionequationswithfinitedelayswasstudied,andthenaclassicallimit
theoremonthedependenceofsuchequationsonaparameterintheapproximationssystemwasderived.
Keywords:Trotter-Katoapproximations;stochasticevolutionequationswithfinitedelays;classical
limittheorem
CLC:
程适定解的鲁棒稳定性;Ahmed和Ding[3]研究了半
0引言
线性随机发展方程中的非线性漂移项同时依赖于
近年来,随机发展方程的逼近理论研究已引起解过程在给定时刻的状态和概率分布,且常数可加
了国内外许多相关领域著名学者的关注,如:Ichika‐扩散项为正对称有界算子时适定解的性质,并建立
wa[1]研究了半线性随机发展方程的Yosida逼近体了方程关于适定解的Yosida逼近体系,从而给出解
系,并给出了该体系下适定解的指数稳定性,在此的指数稳定性;Govindan和Ahmed[4]研究了当方程
基础上,Govindan和Ahmed[2]进一步证明了此类方中的非线性漂移项如文献[3]中定义,但常数可加
收稿日期:2021-10-08
*国家自然科学基金项目(12171361);教育部人文社会科学研究项目(20YJC790174);“纺织之光”中国纺织工业联合会教学改革项目(2021BKJGLX616,
2021BKJGLX686)
**通信作者:******@
1
首都师范大学学报(自然科学版)2022年
∀∀∈−≤
扩散项为算子值函数时的情况,接着通过方程适定t>0, x(t)=φ(t), t[r,0] (0r<∞),
解建立了Yosida逼近体系;Govindan[5-7]研究了上述(4)
−≤≤
3类随机发展方程适定解的Trotter-Kato逼近体系,式中:πx={x(tr+s):0sr};随机过程
t∈−
并给出了其在该逼近体系下适定解诱导概率测度{φ(t),t[r,0]}有几乎处处(P-.)连续样本
≥
的弱收敛性,以及关于方程参数依赖性的经典极限路径且Eφp<∞,p2.
c
-Kato逼近理论研究在自然科学、
工程学以及金融数学等众多学科所诱导的随机动1预备知识

设X, Y为实可分Hilbert空间,L(Y,X)为所有
拟介绍随机发展方程的Trotter-Kato逼近理论的研究⋅
从Y到X上的有界线性算子构成的空间,用符号||
进展,并将在此基础上研究有限时滞随机发展方程
表示X, Y和L(Y,X)(Ω,F,P,{F})
关于适定解的逼近体系t≥
Trotter-
首先,回顾半线性随机发展方程为完备概率空间,其中递增右连续族{F}是F的
∀t≥
dx(t)=[Ax(t)+f(t,x)]dt+g(t,x)dω(t),t>0,t0
完备子σ-代数;设β(t),n=1,2,…,是一列定义在
x(0)=x,n
0(1)
概率空间上相互独立的实值标准布朗运动;设ω(t)=
式中:A是Hilbert空间X上有界线性算子强连续半∑≥≥
≥∞,,其中,,,…,
+λβ(t)e t0λ0n=12
群{S(t), t0}的无穷小生成元;f是定义在R×n=1nnnn
+是非负实数,{e},n=1,2,…,是Y中的完备正交
X上的X值函数;g是定义在R×X上的L(Y,X)值n
∈
基;设QL(Y,Y)是由Qe=
函数;ω(t)是Y值维纳过程;初值x是F可测X值nnn
00
述值随机过程称为维纳过程设是
,Ichikawa[1]证明了方程(1)适定Yω(t)Q-.h(t)
解的存在唯一性;2015年,Govindan[6]通过适定解将L(Y,X)值函数,λ是一个序列{λ,λ,…},定义
∑12
Trotter-Kato逼近体系引入到该方程并得到了一些12
|h(t)|={∞|λh(t)e|2},若|h(t)|2<∞,则
λn=1nnλ
重要的结论;2015年,Govindan和Ahmed[4]对方程
h(t)称为λ-希尔伯特-,用σ(λ)
(1)中的非线性漂移项f进行了推广,使其同时依赖→
(Y,X)表示λ-希尔伯特-施密特算子σ:YX组成
于随机过程x(t)在t时刻的状态和概率分布μ(t),
的空间.
改进后的方程为∈
本文中用符号AG(M,α)表示算子A是X上
dx(t)=[Ax(t)+f(x(t),μ(t))]dt+g(x(t))dω(t),≥
∀强连续算子半群{S(t),t0}的无穷小生成元,其
t>0,x(0)=x,(2)≥≥
0中{S(t),t0}满足对任意t0,存在常数
式中:f为定义在X×MX上的X值函数(其中MX
22≥≥≤
γγM1,α0使得||S(t)||Meαt.
是X上概率测度的子集).−−
设C:=C([r,0];X)是由连续函数φ:[r,
1995年,Ahmed和Ding[3]考虑了当常数可加扩→
0]X组成的空间,该空间上的范数定义为φ=
散项g(x(t))=:c
sup−≤≤|φ(s)|.
dx(t)=[Ax(t)+f(x(t),μ(t))]dt+Qdω(t),rs0
∀下面回顾Q-维纳过程的随机积分与方程适定
t>0,x(0)=x,(3)
0解的概念及相关结论.
,Govin‐→
[8]设Φ:[0,∞)σ(λ)(Y,X)是一个F-
t
dan[5]研究了方程(3)上的Trotter-Kato逼近体系.∫
≥t
2
[7],其满足E|Φ(s)|ds<∞,
2018年,Govindan根据方程的适定解引入了Trot‐λ
0
ter-Kato逼近体系,并给出在该体系下适定解诱导概则可通过下式定义关于∫∫ω(t)的X值随机积分,
∈
(Φ(s)dω(s),h)=<Φ*(s)h,dω(s)>,hX,
基于此,本文将致力于研究有限时滞随机发展00
方程的Trotter-Kato逼近体系,进而得到一些有意义式中Φ*是Φ的伴随算子.
∈−
[8]随机过程{x(t),t[r,T]}(0<
dx(t)=[Ax(t)+f(t,πx)]dt+g(t,πx)dω(t),T<∞)被称为方程(4)的适定解,若
2tt
刘明等:Hilbert空间中关于有限时滞随机发展方程的Trotter-Kato逼近体系第6期
∫
Tdx(t)=[Ax(t)+f(t,πx)]dt+g(t,πx)dω(t),
(1)x(t)是F-适应的且|x(t)|2dt<∞P-.;nnntntn
t∀∈−
0t>0,x(t)=φ(t), t[r,0],()
n5
(2)x(t)满足随机积分方程式中:A,n=1,2,…,是X上有界线性算子强连续
∫n≥
t−半群{S(t),t0}
x(t)=S(t)φ(0)+S(ts)f(s,πx)ds+n
s
∫0(1)可知,对每个n=1,2,…,方程(5)有唯一的适定
t−∀∈∈
S(ts)g(s,πx)dω(s), P-. t[0,T].解xC([0,T],Lp(Ω,X)).因此,对任意
s∈n
0t[0,T],x(t)满足随机积分方程
∫n
t−∫
[8]设WΦ(t)=S(ts)Φ(s)dω(s),t−
Ax(t)=S(t)φ(0)+S(ts)f(s,πs)ds+
∀∈0nnnt
t[0,T].对任意的p>2,存在常数c(p,T)>0使∫0
t−
∈S(ts)g(s,πs)dω(s),  P-..
得对任意T(0,∞)和随机卷积的适当修正WΦ,满足nt
≤A0
Esup|WΦ(t)|[10]假设对每个n=1,2,…,都有
≤≤A
0tT∈
∫AG(M,α),并且
tpn
c(p,T)supS(t)pE|Φ(s)|ds,→∈→
≤≤(1)当n∞时,对每个xD都有AxAx,
∫0tT0λn
T其中D是X的一个稠密子集;
p≥
若E|Φ(s)|ds<∞,则随机过程{WΦ(t),t0}−
A(2)存在一个γ满足Reγ>α,使得(γIA)D在
0λˉ
,则A的闭包A在G(M,α)中,若S(t)和
⋅ˉn
[8]若A生成压缩半群,则过程WΦ()S(t)分别为由A和A生成的强连续半群,则对任意
A≥∈n
有连续修正且存在常数κ>0使得的t0,xX,有
∫limS(t)x=S(t)x,
tp→(6)
≤n∞n
Esup|WΦ(t)|2κE|Φ(s)|ds.
≤≤A当t取值于有界区间时,方程(6)中的收敛关于t为
0tT0λ
一致收敛.
2Trotter-Kato逼近体系

随机发展方程(4)适定解的存在唯一性可由命立,设x(t)和x(t)分别为方程(4)和方程(5)的适
n∈→
,,则对每个T(0,∞),当n∞时,有
≥−→
supE|x(t)x(t)|p0.
p2时Trotter-Kato逼近体系下的适定解收敛于方≤≤n
0tT∈
程(4)的适定解;在此基础上,[0,T],有
−−
(t)x(t)=[S(t)S(t)]φ(0)+
∈≥∫nn
假设1算子AG(M,α);令p2,对任意的t−−−
[S(ts)f(s,πx)S(ts)f(s,πx)]ds+
∈⋅⋅nsns
x, yX,函数f(t,)和g(t,)满足利普希茨条件∫0
t−−−
和线性增长条件:[S(ts)g(s,πx)S(ts)g(s,πx)]dω(s),
nsns
−≤−0
|f(t,πx)f(t,πy)|pC|xy|p, C>0,
t−t≤1−1P-.,
|g(t,πx)g(t,πy)|pC|xy|p, C>0,∈
ttλ≤22于是可以得到对任意t[0,T],有
|f(t,πx)|p+|g(t,πy)|pC(1+|x|p), C>0.−≤−−
ttλ33E|x(t)x(t)|p5p1{|E[S(t)S(t)]φ(0)|p+
≥nn
[9]若假设1成立,且当p=2时{S(t),t
∫p
∈−|t−−|
0}是压缩半群,则对任意给定的初值φC([r,0],E|S(ts)[f(s,πx)f(s,πx)]ds|+
nsns
∈|0|
p以及固定时刻,,有
L(Ω,X))T(0∞)∫p
|t−−−|
E|[S(ts)S(ts)]f(s,πx)ds|+
(1)方程(4)存在唯一的适定解ns
∈|0|
p
xC([0,T],L(Ω,X));∫p
|t−−|
≤pE|S(ts)[g(s,πx)g(s,πx)]dω(s)|+
(2)E{sup|x(t)|p}K(1+Eφ),其中K是nsns
≤≤**|0|
0tTc
∫p
依赖于T、M、p、C、C和C的正数.|t−−−|
123E|[S(ts)S(ts)]g(s,πx)dω(s)|},P-..
|ns|

现考虑如下随机发展方程(7)
3
首都师范大学学报(自然科学版)2022年
ˉ∈
∫p
现在分析方程(7)(M,α)且|s−−−|≤
∈supE|[S(sr)S(sr)]f(r,πx)dr|
≤≤nr
对每个n=1,2,…,都有AG(M,α),则对任意0st|0|
n∫
∈−≤−t
pp1ppαTp−−−−p≤
t[0,T],有E|[S(t)S(t)]φ|2MeE|φ(0)|,p1p
n0TS(tr)S(tr)E|f(r,πx)|dr
nr
且关于n及在[0,T]上关于t一致成立,其中S(t)是0∫
ˉ−t≤
(2T)p1MpepαTC(1+E|x(r)|)pdr

∈∈−0
t[0,T]和初值φC([r,0],Lp(Ω,X)),都有当−p
2p1TpMpepαTC[1+K(1+Eφ)]<∞.
→3*
n∞时,c
−→因此,由方程(8)和勒贝格控制收敛定理可得方程
supE|[S(t)S(t)]φ|p0,
≤≤n0(8)
0tT(11)
当t在有界区间中时,∫p
|s−−−|≤
supE|[S(sr)S(sr)]g(r,πx)dω(r)|
来,通过假设1来考虑第2项,≤≤nr
0st|0|
∫p∫
s
|−−|≤−t≤
supE|S(sr)[f(r,πx)f(r,πx)]dr|c(p,T)2p1MpepαTC(1+E|x(r)|p)dr
≤≤|nrnr|3
0st∫00
t−−≤−p
−pc(p,T)2p1MpepαTCT[1+K(1+Eφ)]<∞,
Tp1S(tr)E|f(r,πx)f(r,πx)|pdr3*
nrnrc
0∫
−t−
Tp1MpepαTCE|x(s)x(s)|pds.(9)→→
1n
0可得当n∞时,β(n,T).
再分析第4项,
∫p
|s−−|≤现考虑零阶逼近问题,即通过确定性发展方程
supE|S(sr)[g(r,πx)g(r,πx)]dω(r)|
≤≤|nrnr|
0st0∫
t−p−≤dx(t)=[Ax(t)+f(t,πx)]dt+εg(t,πx)dω(t),
c(p,T)S(tr)E|g(r,πx)g(r,πx)|pdrε∀εεtε∀∈−tε
nrnr
0t>0, x(0)=φ(t), t[r,0],(12)
∫ε
t−≥
ppαTp式中A是X上有界线性算子强连续半群{S(t),t
c(p,T)MeCE|x(s)x(s)|ds.(10)εε
2n
00}
通过方程(8)~(10),方程(7)可简化为ˉˉˉ∀
−≤dx(t)=Ax(t)+f(t,πx)dt, t>0,
supE|x(s)x(s)|pβ(n,t)+ˉ∀∈t−
≤≤n
0stx(t)=φ(t), t[r,0].(13)
∫∈
−−t−
5p1MpepαT[Tp1C+c(p,T)C]E|x(s)对任意t[0,T],方程(12)和(13)的适定解分别满
12n
0足如下2个积分方程
x(s)|pds,∫
t−
x(t)=S(t)φ(0)+S(ts)f(s,πx)ds+
其中εεεsε
∫0
−−pt−
β(n,t)=5p1sup{|E[S(t)S(t)]φ|+εS(ts)g(s,πx)dω(s), P-.,(14)
≤≤n0εsε
0st0∫
ˉt−ˉ
∫p
|s−−−|x(t)=S(t)φ(0)+S(ts)f(s,πx)ds.(15)
E|[S(sr)S(sr)]f(r,πx)dr|+s
|nr|0
(1)可知:对每个ε>0,方程(14)有唯
∫p
|s−−−|∈
E|[S(sr)S(sr)]g(r,πx)dω(r)|}.一的适定解xC([0,T],Lp(Ω,X));方程(15)
|nr|εˉ≡
0也有唯一的适定解x,这是当g0时的一种特殊
(11)情况.
通过贝尔曼-格朗沃尔引理可以得知对任意为得到关于零阶逼近的结果,先给出如下假设:
∈∈
t[0,T],假设2令AG(M,α)(ε>0)且D(A)=D(A);
−≤↓ε∈∈ε
supE|x(s)x(s)|p
≤≤n当ε0,对每个T(0,∞),任意的t[0,T],都有
0st
−−→
β(n,t)exp{5p1MpepαT[Tp1C+c(p,T)C]t}.S(t)S(t),且在[0,T]上关于t一致成立.
→12ε
由方程(8)可知当n∞时,方程(11)右侧的第1项下面来估计逼近的误差.
ˉ
(2),设x(t)和x(t)
4ε
刘明等:Hilbert空间中关于有限时滞随机发展方程的Trotter-Kato逼近体系第6期
≤p
分别为方程(12)和(13)的适定解,则有E|I|pεc(p,T)MpepαTCT[1+K(1+Eφ)]<∞.
23*
−ˉ≤c
E|x(t)x(t)|pτ(ε)ϕ(t),∈
ε↓因此存在ε>0, k>0,使得对任意的t[0,T],
式中:ϕ(t)是正指数递增函数;当ε0时,τ(ε)是≤33
有E|I|pka(ε)且在[0,T]上关于t一致成立,其
233
正单调递减函数.↓↓
中当ε>ε0时,有0<a(ε)0.
∈33
证明首先考虑对任意的t[0,T],有−
−ˉ−设当0<ε<ε时,τ(ε)=5p1{ka(ε)+ka(ε)+
x(t)x(t)=[S(t)S(t)]φ(0)+01122
∫εεka(ε)},其中ε<min{ε,i=1,2,3},则有
t330i
−−ˉ−ˉ≤−−
S(ts)[f(s,πx)f(s,πx)]ds+E|x(t)x(t)|pτ(ε)+5p1MpepαT[Tp1C+
εsεsε1
0∫
∫t−ˉ
t−−−ˉεc(p,T)C]E|x(s)x(s)|pds.
[S(ts)S(ts)]f(s,πx)ds+2ε
εs0
∫0∈
t−通过贝尔曼-格朗沃尔引理可得对任意的t[0,T],有
εS(ts)g(s,πx)dω(s), P-..(16)−ˉ≤
εsεE|x(t)x(t)|pτ(ε)ϕ(t),
0ε
∈−−
方程(16)右侧的第1项:由于对任意的t[0,T],当式中ϕ(t)=exp{5p1epαTMp[Tp1C+εc(p,T)C]t},
↓→12
ε0时,有S(t)S(t),因此存在ε>0, k>0,定理得证.
ε−≤11
使得E|S(t)φ(0)S(t)φ(0)|pka(ε),其中当
↓ε↓113经典极限定理
ε>ε0时,有0<a(ε)0;
11
现考虑随机发展方程
第2项
,,,
∫pdx(t)=[Ax(t)+f(tπx)]dt+g(tπx)dω(t)
|t−−ˉ|≤n∀nnntn∀∈−ntn
E|S(ts)[f(s,πx)f(s,πx)]ds|t>0, x(t)=φ(t), t[r,0],()
εsεsn17
|0|
∫式中每个n=1,2,…,(1)和
−t−ˉnn
Tp1MpepαTCE|x(s)x(s)|pds;
1ε假设1的条件,则对每个n=1,2,…,方程(17)均有
0∈≥
第3项唯一的适定解xC([0,T],Lp(Ω,X)),其中p
n∈
∫p
|t−−−ˉ|≤[0,T],x(t)满足随机积分方程
E|[S(ts)S(ts)]f(s,πx)ds|∫n
|εs|t−
0x(t)=S(t)φ(0)+S(ts)f(s,πx)ds+
nnnnsn
−p
2p1MpepαTCT[1+K(1+Eφ)]<∞.∫0
3*
ct−
↓S(ts)g(s,πx)dω(s), P-..
则由勒贝格控制收敛定理可得:当时,有nnsn
ε00
∫p为了接下来的工作,做更进一步的假设:
|t−−−ˉ|→
E|[S(ts)S(ts)]f(s,πx)ds|0.∈
|εs|假设3对每个N>0,任意的t[0,T],当
0→
∈n∞时,有
因此存在ε>0, k>0,使得对任意的t[0,T],有−→
22sup|f(t,πx)f(t,πx)|0;
≤ntt
∫p|πx|N
|t−−−ˉ|t−→
E|[S(ts)S(ts)]f(s,πx)ds|<ka(ε),
εs22sup|g(t,πx)g(t,πx)|0.
||≤ntt
0|πx|N
↓t
在[0,T]上关于t一致成立,其中当ε>ε0时,
↓2
0<a(ε),设x(t)和x(t)分别为方程(4)和(17)的适定
2∫→n
t−解,则当n∞时,有
εS(ts)g(s,πx)dω(s)=−→
εsεsupE|x(t)x(t)|p0.
0≤≤n
∫0tT
t−−ˉ∈
εS(ts)[g(s,πx)g(s,πx)]dω(s)+证明首先考虑对任意的t[0,T],有
εsεs
0∫
∫−t−−
t−ˉx(t)x(t)=ψ(t)+S(ts)[f(s,πx)
εS(ts)g(s,πx)dω(s)=nnnsn
εs0
0f(s,πx)]ds+
I+I.∫ns
12t−−
S(ts)[g(s,πx)g(s,πx)]dω(s),P-.,
,nnsnns
∫0
≤t−ˉ其中
E|I|pεc(p,T)MpepαTCE|x(s)x(s)|pds,−
12εψ(t)=[S(t)S(t)]φ(0)+
0n5
首都师范大学学报(自然科学版)2022年
∫
t∫p
−−|t−−|→
S(ts)[f(s,πx)f(s,πx)]ds+
nnsssupE|S(ts)[g(s,πx)g(s,πx)]dω(s)|0.
0≤≤|nnss|
∫0tT0
t−−−
[S(ts)S(ts)]f(s,πx)ds+最后根据方程(8)以及相应假设条件同理可知,当
ns
∫0→
t−−n∞时,
S(ts)[g(s,πx)g(s,πx)]dω(s)+∫p
nnss|t−−−|→
0∫supE|[S(ts)S(ts)]g(s,πx)]dω(s)|0.
t−−−≤≤|ns|
[S(ts)S(ts)]g(s,πx)dω(s).0tT0
ns
0定理得证.

若方程(17)中的参数依赖于通过一组数字G
1
−≤−p
E|x(t)x(t)|p3p1{E|ψ(t)|+变化的参数,则可得到随机发展方程
n∫θ
−t−dx(t)=[Ax(t)+f(t,πx)]dt+g(t,πx)dω(t),
Tp1MpepαTCE|x(s)x(s)|pds+θθθθtθθtθ
1n∀∀∈−
0t>0, x(t)=φ(t), t[r,0],()
∫θ18
t−≤≥
c(p,T)MpepαTCE|x(s)x(s)|pds}其中A是X上有界线性算子强连续半群{S(t),t
2nθθ
0
∫的无穷小生成元
−t−0}.
3p1E|ψ(t)|p+LE|x(s)x(s)|pds,→
n若f和g均满足对每个N>0,当θθ时,有
0θθ0
−−−→
式中L=3p1MpepαT[Tp1C+c(p,T)C].因此由sup|f(t,πx)f(t,πx)|0;
12≤θtθt
|πx|N0
文献[11]中引理1可知t−→
 sup|g(t,πx)g(t,πx)|0.
−≤−p≤θtθt
pp1|πx|N0
E|x(t)x(t)|3E|ψ(t)|+t
n∫∈∈
t并且A, AG(M,α), θG, D(A)=D(A),
−θθ1θθ
LeL(ts)E|ψ(t)|pds.∈0→→0
0对任意的t[0,T],当θθ时,有S(t)S(t)
0θθ
→→0
那么只需证明当n∞时,supE|ψ(t)|p0即可
≤≤且在[0,T]上关于t一致成立,则可得到下面的
0tT−
(t)的首项supE|S(t)φ(0)
≤≤n推论.
→0tT∈
、 f、 g满足
S(t)φ(0)|0在方程(8)中已经说明过了,那么1θθθ
接下来只要证明ψ(t),则方程(18)有唯一的适定解
∈→
首先考虑第项x(t)满足对每个T(0,∞),当θθ时,有
2θ−→0
∫psupE|x(t)x(t)|p0.
|t−−|≤≤≤θθ
E|S(ts)[f(s,πx)f(s,πx)]ds|0tT0
nnss
|0|.
−p
2p1TpMpepαTC[1+K(1+Eφ)]<∞.
3*
c4应用
因此由假设3和勒贝格控制收敛定理可得:当
≥
→首先,考虑如下带有有限时滞r和r(r>r
n∞时,12i
∫p0,i=1,2)的半线性随机热方程
|t−−|→
supE|S(ts)[f(s,πx)f(s,πx)]ds|0.∂∫
≤≤nnss20
0tT|0|
dz(t,x)=[∂z(t,x)+α−z(t+u,x)du]dt+
21r
x1
同理,由假设1、、方程(8)和勒贝格控制收−≥
→αz(tr,x)dβ(t), t>0, α0, i=1,2;
敛定理可得:当n∞时,22i
z(t,0)=z(t,π)=0, t>0;
∫p
|t−−|→⋅∈−
supE|S(ts)[f(s,πx)f(s,πx)]ds|(s,x)=φ(s,x), φ(,x)C([r,0],R),
≤≤nnss
0tT|0|⋅∈∈−∈
φ(s,)L2[0,π], s[r,