1 / 6
文档名称:

倒向重随机系统的非零和微分对策问题.pdf

格式:pdf   大小:1,301KB   页数:6页
下载后只包含 1 个 PDF 格式的文档,没有任何的图纸或源代码,查看文件列表

如果您已付费下载过本站文档,您可以点这里二次下载

分享

预览

倒向重随机系统的非零和微分对策问题.pdf

上传人:夸客客 2023/1/28 文件大小:1.27 MB

下载得到文件列表

倒向重随机系统的非零和微分对策问题.pdf

文档介绍

文档介绍:该【倒向重随机系统的非零和微分对策问题 】是由【夸客客】上传分享,文档一共【6】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【倒向重随机系统的非零和微分对策问题 】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。许洁,等:倒向重随机系统的非零和微分对策问题
202243
年第卷
12333
第期学报总第期
倒向重随机系统的非零和微分对策问题
许洁,蔺瑞强
摘要:文章探讨了倒向重随机系统的非零和微分对策问题,其系统状态是由一类倒向重随机
,引入相应的代价泛函,利用经典的凸变分技术和对偶方法给出
纳什均衡点存在的必要条件.
关键词:倒向重随机微分方程;微分对策;纳什均衡点;非零和
中图分类号:O231文献标志码:A文章编号:1008-7974(2022)12-0013-06
DOI:.cn22-

微分对策问题的研究始于世纪年的反馈表示张保凯[]研究了一类带泊松跳
Issacs
代,最初起源于军事需求,美国数学家博的零和线性二次随机微分对策问题,且其扩
士及其团队把现代控制理论中的一些概念、散项系数不为零,得到了在这种动态的博弈
Issacs.
原理与方法引入对策论中,整理出版的中取得一个均衡点,即最优反馈控制策略对
3Poisson
《微分对策》一书,是世界上第一部微分对策史敬涛[]研究了带跳跃的零和正倒向
.
专著,标志着微分对策理论的诞生随着人们随机微分对策的最大值原理与动态规划之间
对微分对策问题研究的深入,其应用不再局的关系;在一定的可微性假设下,建立了对偶
Hamilton
限于军事问题,更被广泛应用在航空、工业控过程、广义函数和值函数之间的联
..4
制、经济管理等方面众所周知,生活中几乎系王光臣[]结合正倒向随机微分方程理论
到处都充满了不确定因素,因此选择刻画系和滤波技术,讨论了一类部分可观测信息下
.5
统的状态方程时选择随机方程更符合客观实线性二次非零和随机微分对策问题吴霜[]
.
际随机微分方程的发展更进一步推动了随研究倒向随机时滞系统的微分对策问题,并
.1
机微分对策问题的研究杨依芸等[]讨论了得到了纳什均衡点满足的必要条件和充分条
.
在部分信息下带跳线性二次平均场类型的二件,并将其应用到一类最优消费选择问题中
6
人零和微分对策问题,得到其相应最优控制肖华[]通过研究完全信息和部分信息下的正
2022-09-25
收稿日期:
YDZJ202101ZYTS186.
基金项目:吉林省自然科学基金资助项目()
320022.
作者简介:许洁,女,吉林延吉人,博士,吉林化工学院副教授;蔺瑞强,吉林化工学院(吉林吉林)
13
··
202212
年学报第期
∈[0,]ℱ
倒向随机微分方程的随机滤波、最优控制和任意的tT,显然集合{}既不递增也
t
.
微分对策,得到了非零和对策均衡点与零和不递减,故不构成信息流
.
对策鞍点的最大值原理和验证定理吴臻2(0,;)={()()ℱ-
假设MTRnφt|φt为n维可
t
7
[]∫
等对一类以布朗运动和泊松过程为噪声源T()d<+}.
测量随机过程且E|φt|2t∞
的正倒向随机微分方程,在单调性假设下,给0
()∈2(0,;)
出了解的存在性和唯一性的结果,并将所得∫设ϕtMTRn定义∫正向伊藤积分
•()()T()d()
结果应用于带随机跳跃的线性二次非零和微ϕsWs和倒向伊藤积分φsBs,这两
0
Nash•
分对策问题之中,得到了开环均衡点的Itô-(Ω,ℱ,;)=
类积分都是积分LPRn
.8BrownT
[]
显式形式唐矛宁等研究了由运动和{:ℱ-2<}.
Poissonξξ是n维可测的随机变量并满足E|ξ|∞
随机鞅测度共同驱动的完全耦合的t

正倒向随机系统的开环双人非零和随机微
Nash首先考虑受控的倒向重随机系统,其状
分对策问题,证明了开环均衡点存在的
.9态方程为:
一个必要条件及一个充分条件左姗姗[]研
-d,()=(,,(),,(),(),())d+
v1v2v1v2v1v2
ìytftytztv1tv2tt
究了平均场正倒向随机系统的微分对策问ï
ï     (,,(),,(),(),())d()-
ïv1v2v1v2
题,讨论了零和以及非零和微分对策的最大ïgtytztv1tv2tBt
í,()d(),
.ïzv1v2tWt
值原理ï
ï,()=
ïyv1v2Tξ,
目前,对非零和差分对策的研究越来越î
1
广泛,在此类问题研究的基础上,该文探索倒()
(⋅)(⋅)
向重随机系统驱动的非零和微分对策问题,其中:v1和v2分别表示博弈双方的控制
12.
过程,设为控制者和控制者设U为Rk的
利用凸变分技术和对偶方法给出纳什均衡点i
..(=1,2)
一个非空凸子集Ui为满足以下条件
存在的必要条件i
的控制过程集合:
1预备知识①ℱ-()∈∈[0,].
U是适应的并且vtU,tT
∫itii
②T()d<.
E|vt|2t∞
.0i
首先给出本文中的一些符号Rn表示n维
××<⋅>U中任意元素都被称为控制者的开环容
欧氏空间,Rnd表示nd矩阵空间,表i
⋅Eudidean.
示内积,||表示范数,AT表示转置矩许控制,并被称为他们的容许控制集除了在
.d×d
阵文中所给符号和不等式都是在tP意结束时间T获得期望的结果ξ外,控制者还同
[0,]×Ω..
义下在T中几乎必然成立时关心自己的利益可以使用以下价值泛函
(Ω,ℱ,)[0,]
设P是一个概率空间,T是任意来表示,即
{():0≤≤}((⋅),(⋅))=
Jv1v2
大的时间区间,BttT是两个取值∫i
.ℱT(,,(),,(),(),())d+
dlv1v2v1v2
在R、R的独立标准布朗运动设表示中E{Ltytztv1tv2tt
-∈[0,],0i
所有的P零集,对于任意的tT则有
Φ(,(0)),(=1,2).2
ℱ=ℱ∨=∨{()-(0):yv1v2}i()
ωB,其中:ωσWrWi
tttTt
0≤≤}ℱ=∨{()-()≤≤}.
rt,B,σBrBt:trT对
tT给出下列假设:
·14·
许洁,等:倒向重随机系统的非零和微分对策问题
A1>00<<11∫
()存在常数c和σ对于任意t[″(())()()]d.
2TrψαsδsδsTs
(,)∈Ω×[0,](,,)(,,)∈×0
的ωtT,y1z1u1,y2z2u2Rn
311A1~A2
[]
××引理假设()()成立,设
RndRk,则有()=()-(),()=()-()
vρvρ
(,,,)-(,,,)2≤(-2+ψρtyityutγρtzitzut,则
|fty1z1u1fty2z2u2|c|y1y2|
-2+-2)(,,,)-有:
||z1z2|||u1u2|,|gty1z1u1∫
(,,,)2≤(-2+-2)+sup2≤2T2d≤
gty2z2u2|c|y1y2||u1u2|E|ψρ|Cρ,E|γρ|tCρ()
0≤≤0
tT
-2.
σ||z1z2||411A2
[]
A2(,,,)引理假设()成立,设
()f和g关于yzv1v2是连续可微的,()=[()-()]-(),
-1vρ
yρtρyityutxt4
(,,,)ii()
12()=[()-()]-(),
且f和g关于yzvv的偏导数是一致有界-1vρ
zρtρzitzutrt
.ii

A3(,,,)Φ则有:
()L对于yzv1v2是连续可微的,对∫T
iilimsup()2=0,lim()2d=
ρρ
→0E|yt|→0E|zt|t()
于y是连续可微的,且存在正常数C使得偏导ρiρ0i
.
数L,L,L,L有界
iyiziv1iv22主要结果

假设控制双方都想选择最优的容许控制
110A1~A2
引理[]假设()()成立,对于给(⋅)(=1,2)
vi来优化自己的价值泛函,即寻找
(⋅)∈(0,)1i
定uUT,存在唯一解满足等式(),其((⋅),(⋅))∈×
容许控制v1v2U1U2使其满足:
((⋅),(⋅))=((⋅,(⋅)),(⋅,(⋅)))∈2(0,,)×
中yzyuzuSTRn((⋅),(⋅))=min((⋅),(⋅)),
J1u1u2J1v1u2
2(0,,×).(⋅)∈
v1U16
MTRnd{((⋅),(⋅))=min((⋅),(⋅))(.)
2∈2(0,;)∈2(0,;)J2u1u2(⋅)∈J2u1v2
引理假设αSTRn,βMTRn,v2U2
6
∈2(0,;×)∈2(0,;×)
γMTRnRm,δMTRnRd,如果可以得到满足式()的容许控制
((⋅),(⋅)).
u1u2,则它被称为一个纳什均衡点
则有∫
()2=(0)2+2t((),())d+此时系统相应的变分方程可以写成:
|αt||α|αsβss
0-d()=[()()+()()+()()]d
∫∫xtftxtftrtftvtt
ìiyizivi
2t((),())d()+2t((),())d()-i
αsγsBsαsδsWsï+[()()+()()+()()]d()-
00gtxtgtrtgtvtBt
ïyizivi
∫∫()d(),i
t()d+t()d,í
22rtWt
||γs||s||δs||sïi
00()=0.
∫ïxT
()2=(0)2+2t((),())d-îi
E|αt|E|α|Eαsβss7
∫∫0()
t()2d+t()
||γs||s||δs||s定理假设()和()成立,则有:
00∫
∈2()T[()()+()()+()()]d+
一般来说ψCRn,那么ELtxtLtrtLtvtt
0iyiiziivi
(())=((0))+i
ψαtψα[Φ(,(0))(0)]≥0,8
Eyu1u2x()
∫∫iyi
t(′'(()),())d+2t(′'(()),())d()+
()=(,,(),,(),(),())
ψαsβssψαsγsBsu1u2u1u2
00其中:LtLtytztu1tu2t,
iβiβ
∫=,,,,(=1,2).
t((()),())d()-
ψαsδsWsβyzv1v2i
0(⋅)∈,(⋅)∈
1∫证明对于任意的v1U1v2U2,
t[″(())()()]d+
2TrψαsγsγsTs26
0由式()和式()可得
15
··
202212
年学报第期
(,)-(,)≥0,9=1=2.(),()()=+()∀∈∈ℱ
J1v1u2J1u1u2()况,结合i和i,定理证毕证明对xtpt应用伊藤公式,可得:假设ωtv1Iu1tIc,v1U1,A,
iiAAt
(,)-(,)≥<(),()>-<(0),(0)>=(⋅)
J2u1v2J2u1u2()定义哈密顿函数如下:pTxTpx其中I是集合上A的示性函数且ω是一个
iiiiA
:[0,]×R×R××R×R×R×∫
HTnndkknT()d()+()d()+d()d().21(⋅)27
即iptxtxtptxtpt()容许控制,通过将ω代入不等式(),可以
R×→R(=1,2),0iiiiii
∫nli
T(,,(),,(),(),())d-
v1u2v1u2
EL1tytztv1tu2tt(,,,,,)=(,,,,)+推得:
0H1tyzv1v2p1,q1L1tyzv1v2取期望并计算,可得:
 -<(0),(0)>=[<(,,(),,(),(),
∫u1u2u1u2
T(,,(),,(),(),())d<(,,,,),()>+<(,,,,),()>EpxEIHtytztu1t
u1u2u1u2iiAv
EL1tytztu1tu2tt+ftyzv1v2p1tgtyzv1v2q1t,
015∫T[<(),-()()-()()-()()>+(),(),()),-()>]≥
u2tp1tq1tv1u1t()
[Φ(,(0))-Φ(,(0))]≥()Eptftxtftrtftvt
v1u2u1u20iyizivi
E1y1y()(,,,,,)=(,,,,)+<()+()()+()(),i()>+∈ℱ28
H2tyzv1v2p2,q2L2tyzv1v2TT对任意的A,不等式()都成立,则
Ltftptgtqtxtt
继而可得:<(,,,,),()>+<(,,,,),()>. <iy(),(y)(i)+(y)()i+i()>-
TT
ftyzv1v2p2tgtyzv1v2q2trtftptgtqtLt有:
1∫<()i()z+(i)()+z(i)(),iz()>]d.
lim{T(,,(),,(),(),())-
v1u2v1u216gtxtgtrtgtvtqtt<(,,(),,(),(),(),(),
EL1tytztv1tu2tyiziviiu1u2u1u2
→00()iH1tytztu1tu2tp1t
ρρ22v1
(,,(),,(),(),())d对应系统,定义它的伴随方程,系统的伴()()),-()>≥
u1u2u1u2
L1tytztu1tu2tt+ -<(0),(0)>=q1tv1u1t,()
Epx
[Φ(,(0))-Φ(,(0))]}≥:ii
v1u2u1u2
E1y1y()-d()=-[()+<(),()>+∫类似地,可推得:
ptLtftptT[-<()(),()>+<(),()>+
11ìiiyyiEftvtptLtxt<(,,(),,(),(),(),(),
<(),()>]d-[<()+0viiiyiu1u2u1u2
由不等式()的第一项推导可得:ïiH2tytztu1tu2tp2t
ïgtqttLtv2
1∫ï<y(),i()>+<(),(iz)>]d()-<(),()>-<()(),()>]d.
lim[T(,,(),,(),(),())-ïrtLtgtvtqtt()),-()>≥
v1u2v1u2ftptgtqtWtiizvii
EL1tytztv1tu2tíziziiq2tv2u2t,()
→00()d()23
ρρïqtBt,
ïi()
(,,(),,(),(),())+ï
u1u2v1u2(0)=Φ(,(0))
ïu1u2 -[Φ(,(0))(0)]=
L1tytztv1tu2tpy,u1u2
iiyEyx3结语
îiyi
(,,(),,(),(),())-
u1u2v1u217∫
L1tytztv1tu2t()T[-<()(),()>+<(),()>+
EftvtptLtxt1994Pardoux
viiiyi自年和彭实戈教授给出倒
(,,(),,(),(),())+()=(,,(),,(),(),()),=0i
u1u2u1u2u1u2u1u2
L1tytztv1tu2t其中:LtLtytztu1tu2tβ<(),()>-<()(),()>]d.
,.iβiβrtLtgtvtqtt向重随机微分方程以来,讨论由倒向重随机
(,,(),,(),(),())-iizvii
u1u2u1u2yzi
L1tytztv1tu2t24
(,,(),,(),(),())]d()微分方程驱动的控制问题成为人们研究的热
u1u2u1u2哈密顿形式的伴随方程如下:
L1tytztu1tu2tt=∫.
1-d()=-()d-()d()-()d(),T[()()+()()+()()]d+点本文探讨了由倒向重随机微分方程刻画
∫ptHttHtWtqtBtELtTxtLtTrtLtTvtt
lim[T()(,()-,())+iiyiziiyiiziivi
v1u2u1u20i
EL1tytyt{(0)=Φ(,(0)),
→0yu1u2
ρρ0py[Φ(,(0))(0)]=的非零和微分对策问题,在此类问题的研究
iiyEyu1u2x
()(,()-,())+18iyi
v1u2u1u2
L1tztzt()∫中,系统的伴随方程是研究的关键,该文利
zT<(,,,,)+(,,,,)()+
()(()-())]()=(,,(),,(),(),()()ELtyzv1v2fTtyzv1v2pt
u1u2u1u20ivv
111其中:HtHtytztu1tu2t,pt,ii用伴随方程的解刻画了纳什均衡点存在的必
Ltvtutt()ii
v1())()().(,,,,)(),()>
4gTtyzv1v2qtvtt()
qt,Ht、Ht表示对y和z的偏导数vi要条件,此结果类似于随机最优控制问题的
根据引理,可推得:iiyizi
∫2A2A31.
[T()()+()()+()()d]≥()和()成立,对于任意由定理,可以得到:最大值原理然而由于伴随方程结构的复杂
EL1tx1tL1tr1tL1tv1tt
0yzv1(,)∈×((⋅),(⋅))∫
T<(,,(),,(),(),(),
的v1v2U1U2,假设u1u2是一个u1u2u1u2性,关于其解的形式成为研究的难点,将在后
11EH1tytztu1tu2t
(,(⋅),,(⋅))0v1
类似地,由不等式()的第二项可推得:u1u2u1u2.
1纳什均衡点,且yz是对应的最优(),()),()>d≥
 lim[Φ(,(0))-Φ(,(0))]=p1tq1tv1tt()
v1u2u1u2
→0E1y1y轨迹,则有:(⋅)+(⋅)∈(⋅)
ρρ
<(,,(),,(),(),(),对于任意满足v1u1U1的v1不
u1u2u1u2
Φ(,(0))-Φ(,(0))H1tytztu1tu2t19
v1u2u1u2v126.()+()=()参考文献:
lim1y1y⋅(),()),-()>≥0,()
等式()成立如果假设v1su1sϑs,1.
→0E,(0)-,(0)p1tq1tv1u1t
ρyv1u2yu1u2∈[,+]()+()=(),∉[,+[]杨依芸,唐矛宁,孟庆欣部分信息下带跳线
sttε,且v1su1su1sstt
,(0)-,(0)14及J.
yv1u2yu1u2=()]26性二次平均场类型的二人零和微分对策问题[]湖
<(,,(),,(),(),(),
u1u2u1u2ε,那么可从不等式()推出:20224441-10.
ρH2tytztu1tu2t20
v2州师范学院学报,,():
()<(,,(),,(),(),(),(),
[Φ(,(0))⋅(0)].(),()),-()>≥0,u1u2u1u2
u1u22.
E1yx1p2tq2tv2u2tEH1tytztu1tu2tp1t
yv1[]张保凯跳扩散系统的零和线性二次随机微
9=2((⋅),(⋅))18.()),()-()>≥-25.
其中:pq是伴随方程()的唯一解q1tϑ1tu1t()
同理,可从不等式()中推出i的情ii分对策问题[]济南:山东大学,:
·16·
许洁,等:倒向重随机系统的非零和微分对策问题
(),()()=+()∀∈∈ℱ
证明对xtpt应用伊藤公式,可得:假设ωtv1Iu1tIc,v1U1,A,
iiAAt
<(),()>-<(0),(0)>=(⋅)
pTxTpx其中I是集合上A的示性函数且ω是一个
∫iiiiA
T()d()+()d()+d()d().21(⋅)27
ptxtxtptxtpt()容许控制,通过将ω代入不等式(),可以
0iiiiii
取期望并计算,可得:推得:
 -<(0),(0)>=[<(,,(),,(),(),
u1u2u1u2
EpxEIHtytztu1t
iiAv
∫T[<(),-()()-()()-()()>+(),(),()),-()>]≥
Eptftxtftrtftvtu2tp1tq1tv1u1t()
0iyizivi
<()+()()+()(),i()>+∈ℱ28
TT对任意的A,不等式()都成立,则
Ltftptgtqtxtt
 <iy(),(y)(i)+(y)()i+i()>-
rtftTptgtTqtLt有:
<()i()z+(i)()+z(i)(),iz()>]d.
gtxtgtrtgtvtqtt<(,,(),,(),(),(),(),
yiziviiu1u2u1u2
iH1tytztu1tu2tp1t
22v1
()()),-()>≥
 -<(0),(0)>=q1tv1u1t,()
Epx
ii
∫类似地,可推得:
T[-<()(),()>+<(),()>+
EftvtptLtxt<(,,(),,(),(),(),(),
0viiiyiu1u2u1u2
iH2tytztu1tu2tp2t
<(),()>-<()(),()>]
rtLtgtvtqtt
iizvii()),-()>≥
iq2tv2u2t,()
23
()
 -[Φ(,(0))(0)]=
Eyu1u2x3结语
∫iyi
T[-<()(),()>+<(),()>+
EftvtptLtxt1994Pardoux
viiiyi自年和彭实戈教授给出倒
0i
<(),()>-<()(),()>]d.
rtLtgtvtqtt向重随机微分方程以来,讨论由倒向重随机
iizvii
i
24
()微分方程驱动的控制问题成为人们研究的热
∫.
T[()()+()()+()()]d+点本文探讨了由倒向重随机微分方程刻画
ELtTxtLtTrtLtTvtt
iyiiziivi
0i
[Φ(,(0))(0)]=的非零和微分对策问题,在此类问题的研究
Eyu1u2x
∫iyi中,系统的伴随方程是研究的关键,该文利
T<(,,,,)+(,,,,)()+
ELtyzv1v2fTtyzv1v2pt
ivv
0ii用伴随方程的解刻画了纳什均衡点存在的必
(,,,,)(),()>
gTtyzv1v2qtvtt()
vi要条件,此结果类似于随机最优控制问题的
i
1.
由定理∫,可以得到:最大值原理然而由于伴随方程结构的复杂
T<(,,(),,(),(),(),
u1u2u1u2性,关于其解的形式成为研究的难点,将在后
EH1tytztu1tu2t
0v1.
(),()),()>d≥
p1tq1tv1tt()
(⋅)+(⋅)∈(⋅)
对于任意满足v1u1U1的v1不
26.()+()=()参考文献:
等式()成立如果假设v1su1sϑs,1.
∈[,+]()+()=(),∉[,+[]杨依芸,唐矛宁,孟庆欣部分信息下带跳线
sttε,且v1su1su1ssttJ.
]26性二次平均场类型的二人零和微分对策问题[]湖
ε,那么可从不等式()推出:20224441-10.
州师范学院学报,,():
<(,,(),,(),(),(),(),
u1u2u1u2
EH1tytztu1tu2tp1t2.
v1[]张保凯跳扩散系统的零和线性二次随机微
()),()-()>≥-25.
q1tϑ1tu1t()分对策问题[]济南:山东大学,:
17
··
202212
年学报第期
-72.
[]史敬涛带跳跃的正倒向随机微分对
.
策的最大值原理与动态规划之间的关系[]中国科[]唐矛宁,孟庆欣带跳的完全耦合正倒向随
20164691305-1328.
学(数学),,():机系统的非零和随机微分对策的变分公式及其应用
-234.
[]王光臣部分可观测信息下的线性二次非零[]中国科学:数学,,():
.
和随机微分对策[]山东大学学报(理学版),[]左姗姗平均场正倒向随机系统微分对策的基于缺失数据下混合Pareto分布参数的估计
612--40.
():最大值原理[]济南:山东大学,:

[]吴霜几种随机系统的控制问题[]成都:[],
201720-
电子科技大学,:
-228.
[]肖华部分信息下正倒向随机系统的最优控[],():徐圣楠,张桂颖,刘洋萍
-.
制和微分对策理论[]济南:山东大学,:[]朱庆峰双重随机系统的理论及相关问题
-40.
[]吴臻,于志勇带随机跳跃的线性二次非零[]济南:山东大学,:

和微分对策问题[]应用数学和力学,,():(责任编辑:陈衍峰)
摘要:文章运用矩估计的方法,研究当数据不完整的情况下混合Pareto分布总体参数估计问
,,由随机模拟得出两参数估计的
,通过观测均方误差结果验证其具有可行性.
关键词:混合Pareto分布;数据缺失;随机模拟
forBackwardDoublyStochasticSystems
XUJieLINRui-qiang中图分类号:O212文献标志码:A文章编号:1008-7974(2022)12-0019-05
,
DOI:.cn22-
132022
(JilinInstituteofChemicalTechnology,Jilin,China)
Inthispaperthenonzerosumdifferentialgamesofbackwarddoublystochasticsystemsaredis⁃Pareto
Abstract:,在统计学中,由于分布具有递减的最后,对估计结果进行随机模拟,说明估计的
cussedthestateofthesystemischaracterizedbyaclassofbackwarddoublystochasticdifferentialequa⁃.
,失效率函数,故能较好地描述股票价格和微可行性

,,信流量波动文献[]通过实证分析验证了广
conditionsfortheexistenceofNashequilibriumpointsaregivenbyusingclassicalconvexvariationaltech⁃Pareto1矩估计及其渐近性质
义分布能够较好地刻画保险公司每年
-3Pareto
的最大索赔损失金额;文献[]分别通过贝假设混合分布,其密度函数为:
backwarddoublystochasticdifferentialequationdifferentialgamesnashequilibriumpointPareto(,,,)=
Keywords:;;;叶斯和极大似然估计法研究了分布的fxqθ1θ2
nonzerosum.
θ1θ2
参数估计问题数据缺失是统计工作中的常ìθ1α+θ2α(1-),0<<;
4-7ï+1q+1qαx
见问题,文献[]分别研究了两种离散型和íxθ1xθ2
8ï0,≤0;
连续型分布总体的估计问题;文献[]利用îx
MLEPareto>0.
算法研究了在丢失部分样本数据时其中:设定门限参数α其次,分别取形状
.>0=12.
参数θ(i,)为总体的未知参数然
分布的