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改进的输出误差法用于不稳定飞机参数辨识
汪志刚1,李爱军王力浩1,孙小锋1
(,西安710072;(西北工业大学),西安710072)
摘要:为解决输出误差法在不稳定飞机参数辨识过程中的数值发散问题以及初值依赖问题,设计了一种结合神经网络、粒
子群优化算法以及Levenberg-Marquardl算法的系统辨识方法。首先,为解决输出误差法的数值发散问题,以神经网络拟合待
辨识系统的动力学特性。不同时刻的飞行试验数据用于训练神经网络,训练好的网络可以直接对下一时刻的运动状态进行
预测,从而避免对不稳定运动方程的求解。其次,基于粒子群优化算法搜索Levenberg-Marquardt算法中的最佳阻尼因子,并以
改进的LM算法替代输出误差法中的高斯-牛顿算法。接下来,改进的LM算法与训练好的神经网络结合得到了一种新的参
数辨识算法。最后,基于不稳定飞机的闭环仿真飞行试验数据对提出的算法进行了验证。研究结果表明:与传统的最小二乘
法和人工稳定的输出误差法的估计结果相比,所采用的算法具有更高的估计精度;同时,所提出的算法中可以随机选取待辨
识参数的初值,克服了输出误差法对参数初值的依赖。本文的研究成果可以直接用于其他不稳定非线性动力学系统辨识领
域,经过修改后还可以用于其他非线性优化领域。
关键词:不稳定飞机;参数辨识;Levenberg-Marquardt算法;粒子群算法;神经网络
中图分类号::A文章编号:0367-6234(2022)12-0065-08
Improvedoutputerrormethodforparameteridentification
ofunstableaircraft
WANGZhigang1,LIAijun1'2,WANGLihao1,SUNXiaofeng1
(,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi,an710072,China;
ofFlightControlandSimulationTechnology(NorthwesternPolytechnicalUniversity),Xi'an710072,China)
Abstract:Consideringtheproblemsofnumericaldivergenceandinitialvaluedependenceoftheoutputerror
methodinparameteridentificationofunstableaircraft,asystemidentificationmethodcombiningneuralnetwork,
particleswarmoptimizationalgorithm,andLevenberg-Marquardt(LM),inorderto
solvethenumericaldivergenceproblemoftheoutputerrormethod,theneuralnetworkwasutilizedtoapproximate
,soasto
,theparticleswarmoptimizationalgorithmwasadoptedtosearch
thebestdampingfactorinLMalgorithm,andtheimprovedLMalgorithmwasusedtoreplacetheGauss-Newton
,theimprovedLMalgorithmwascombinedwiththetrainedneural
networktoformanewparameteridentificationalgorithm・Finally,theproposedalgorithmwasverifiedbasedonthe
closed-
resultsofthetraditionalleastsquaremethodandoutputerrormethodwithartificialstabilization,theproposed
algorithmhadhigherestimationaccuracy,anditcouldrandomlyselecttheinitialvalueoftheparameterstobe
identified,whichovercomesthedependenceoftheoutputerrormethodontheinitialvalueoftheparameters・The
researchresultsofthispapercanbedirectlyusedintheidentificationofotherunstablenonlineardynamicsystems,
aswellasothernonlinearoptimizationfieldsaftermodification.
Keywords:unstableaircraft;parameteridentification;Levenberg-Marquardtalgorithm;particleswarm
optimization;neuralnetwork
系统辨识技术基于飞行试验中飞行运动和控制变量的测量值,建立输入输出量间的关系。飞机系
统辨识是飞机研发过程中的一个重要环节,对控制
律的设计、飞行模拟器的设计和飞行包线的扩展都
收稿日期:2021-03-17
有重要的意义⑴。飞机系统辨识技术分为频域辨
基金项目:航空科学基金(20180753005,201958053003)
作者简介:汪志刚(1996-),男,博士研究生;识和时域辨识,频域辨识方法建立系统的线性模型,
李爱军(1972-),男,教授,博士生导师
通信作者:汪志刚,wang_******@
•66•哈尔滨工业大学学报第54卷
型⑵。目前最常用的时域飞机系统辨识方法是方
程误差法以及输岀误差法。方程误差法是一种直接1神经网络建模
方法,受自变量中的测量噪声影响,其估计结果是有神经网络由于其强大的非线性映射能力,可以
偏差的。输出误差法基于极大似然原理,通过最小直接应用于对非线性动力学特性建模。网络输入向
化测量值和模型输岀的均方差来估计参数,其估计量选取为动力学系统第k时刻的输入量以及状态
结果是渐近无偏的。针对稳定飞机,输出误差法是量,网络输出向量选取为第"+1)时刻的输出量,
最常用的参数辨识方法之一⑶O经过大量样本训练后,神经网络可以依据第k时刻
不稳定飞机的主要特点为:1)飞行试验过程中(当前时刻)的状态和输入,对第k+1时刻(下_时
需要引入控制器;2)求解不稳定飞机的模型输出刻)的状态量进行预测。换句话说,神经网络用于
时,若参数选取稍有不适,求解过程将发散。如图1近似系统的动力学特性,其作用相当于线性或者非
所示,针对不稳定飞机,系统辨识有两种可能的方线性动力学系统的运动方程。
法,即闭环辨识和开环辨识⑷。经典的闭环辨识方本文选择了常用的BP神经网络⑷,其网络结
法建模飞行员输入6与测量值z之间的动力学关构如图2所示。
系,不会产生任何数值问题,因为整个系统是稳定隐含层
的。此方法的局限是只能得到闭环系统的等价模
型,若要从中推导出开环动力学模型,还需要精确的
控制器回路动力学模型,而这通常是不容易得到的。
-----------闭环系统辨识---------------------
开环系统辨识
图2BP神经网络结构
-loopandopen-loopidentificationofunstable
BP神经网络分为输入层、隐含层和输出层。
aircraft
开环辨识方法直接建模飞机舵面输入&与测W^W2分别为输入层到隐含层和隐含层到输出层
量值z之间的动力学关系。然而,输出误差法不能的权重以及偏差矩阵,网络的传播遵循式(1)~
直接应用于不稳定飞机。输出误差法需要求解待辨(4),其中/•(")为非线性S形激活函数。耳为网络
识系统的运动方程,应用于不稳定的飞机时,会产生输入向量,旺、*2分另U为隐含层和输出层的输入向
数值发散问题,导致参数估计过程失败⑷o量,牡、*。分别为隐含层和输出层的输出向量。
近年来,随着神经网络学科的发展,神经网络方Xi=WiXl+Wib(1)
法逐渐应用于飞机系统辨识领域2旳。HeSS[8]通过xb=f(x1)(2)
神经网络直接建模飞机的气动系数。Ghosh等⑼基X2=^2Xh+%b(3)
于前向神经网络,使用Delta法和Zero法提取飞机心=f(x2)(4)
的气动导数。Peya血等问提出了一种新的思S形激活函数选择双曲正切函数:
想一将神经网络与输出误差法相结合,以神经网fW=tanh(尹)(5)
络代替飞机动力学模型,并采用高斯-牛顿法最小
化网络输出与试验测量值间的均方差,从而进行参如上所述,网络输入向量17选取为动力学系统
数估计。随后多位学者⑴-⑶遵循类似的思路,应用k时刻的输入以及状态量,网络输出Z选取为k+1
不同的网络或者对不同的对象进行辨识。但是,这时刻的状态向量。即
些文献都是基于高斯-牛顿法来最小化代价函数=[«(*),x(A)]
(6)
的。高斯-牛顿法具有固有的缺陷,即容易陷入局1)=[z(&+l)]
部最小值⑵。本文基于粒子群优化对LM由于不同的试验测量数据的数量级不同,要对
(levenberg-marquardt)方法进行了改进,以改进的网络输入输出数据进行归一化,见式(7),其中x为
LM算法代替高斯-牛顿法,并与神经网络方法相原始的输入或者输出测量数据,元为归一化之后的
结合,形成一种改进的输出误差法,用于不稳定飞机数据;原始数据的范围为仏遇岸昨);其归一化范围
的参数辨识。为(另min,元max),本文取为(
第12期汪志刚,等:改进的输出误差法用于不稳定飞机参数辨识■67・
(nr_nr)
——\"^max"vmin///r\如式(13).(14),其中下标d表示Vh、©®和Pg的
X二光rnin+--------------------(光一%min)、(7)
(篦max_Xmin)第4个分量丿为迭代次数,3、&、&分别为3个可
,可以最大程调参数,儿,「2,「3为(0,1)之间的3个随机数。
度地减小网络输出和测量值之间的误差。在第%个»M(/+1)=砒1%(/)+£1「2(卩皿(/)—i))+
离散数据点上,将成本函数选择为第k步的局部输^2r3(Pg</(—Xhd(^))(13)
出误差,艮卩X»d(/+1)=Xhd(^)+%(t+l)(14)
EW=y:Z(A)-xoWV[ZW-xoW](8)
神经网络训练完成后,基于LM算法对代价函
基于最速下降法,网络参数网,通过
W2数进行优化,使得网络输出和测量输出的均方差最
式(9).(10)进行调整:
小,从而对未知参数进行辨识。LM算法是对高
昵仏+1)=昵⑻-“喘?=
斯-牛顿法的改进,为解释LM算法,首先简要介绍
基于高斯-牛顿法的传统输出误差算法⑶O
W2(k)+Xf'(x2)[zW-x0(A)]x;(A)
当神经网络训练完成后,网络可以用来代替系
(9)
统的运动方程预测系统响应。基于待辨识系统的状
W1(k+l)=Wl(k)-“騁=态方程以及输出方程,将网络输入〃(%)转化为模
型参数的线性或者非线性函数U(k,@),则网络输
W心)+4fg)畤幺比⑹-工。⑹及:
出即转化成待辨识参数向量0的非线性函数,可以
(10)
将网络输出向量P改写为式(15)0在传统的输出
激活函数的导数为
误差方法中,通过高斯-牛顿法最小化代价函数
/(X)=^[l-tanh2(^xj](11)(16)来求解未知参数。其中P为模型预测P和测
量输出Z之间的误差向量。
网络参数W.,W2通过迭代更新之后,网络将具
Y(k+1)它(&仏,0),硏,腿)(15)
有满意的拟合性能,网络的最终拟合性能通过均方
KO,R)=+ylndet(l?)+^ln2,7
差(MSE)进行衡量,即
N勺
MSE-iZZ-xO]wr(12)(16)
yvk=lj=l
式中R为协方差矩阵,丘的极大似然估计如式(17)
2基于粒子群优化改进的输出误差法所示。高斯-牛顿法式(18)、(19)求解未知参数。
1N
本文详细陈述基于粒子群优化改进的输出误差R=(⑺
“I
法,以及应用神经网络和改进的输出误差法进行参
®i+1=***@i+A@(18)
数辨识的算法流程。
FA0=-G(19)
、G分别为Hessian矩阵和梯度向量,即:
粒子群优化算法(Particleswarmoptimization,
F=Y严(耐“-1严(耐](20)
PSO)最初是由Eberhant等[⑷于1995年提出的一«La®JLa®j
种基于直接搜索的优化算法。此算法基于个体粒子
g=-£-y(&)](21)
之间的协作与竞争,经过数次迭代后实现复杂空间
中最优解的搜索。PSO算法是一种有记忆能力的算式中:dY(k)/d®为输出向量/对参数向量0的灵
法,对于低维优化问题十分有效[⑸。粒子群中的每
敏度矩阵。其中dY(k)/d®中的每一个元素通过数
个粒子,都是所求优化问题的一个潜在的解。而粒
值差分方法计算,如式(21)所示;80j为参数向量0
子的品质由事先设定好的适应度函数来评价。假设
的第j个分量上施加的小量扰动/表示第k时
在"维搜索空间中,有m个粒子,第h个粒子的位
刻,下标h表示输出向量Y的第h个分量。
置表示为x”=(切1,%,…,%)丁,速度表示为vh=
(dY(k)\_卩(k,0+80j)h-y(k,0)h_
将N代入适应度函数中计算出
其适应度值,以评价其优劣。Ph表示第h个粒子的g(tKk-1+昭),也)-1,6>)人
历史最佳位置,几表示整个粒子群经历过的最优位8®j
置。在标准粒子群算法中,粒子的速度和位置更新(22)
•68-哈尔滨工业大学学报第54卷
传统输出误差法中,输出向量Y通过求解运动(F+AZ)A0=-G(24)
方程获得。引入神经网络后,以网络预测替代求解传统的LM算法根据代价函数的增减对阻尼因
运动方程。但是基于高斯-牛顿法的求解过程对未子进行某种调整,例如通过对阻尼因子乘以10或除
知参数的初值较为敏感,容易陷入局部极小值。常以10以保证代价函数的下降⑷。然而这种调整得
用的解决方法是依据先验信息,将未知参数初值设到的阻尼因子并不是最佳的,从而限制了算法性能
置在其真值附近。但是实际工程中不一定能获得未提升的效果。在本文中,LM算法的每次迭代时采
知参数的先验信息,从而限制了高斯-牛顿法的应用粒子群算法来求解最佳阻尼因子,即,基于粒子群
用范围。算法最小化代价函数(25),以确保求解的阻尼因子
,或者说是次最优的。需要指出的是,
LM算法由LevenbergUC和Marquardt[17]提出,增加粒子群算法的粒子数以及搜索次数后,还可以
其结合了高斯-牛顿法和最速下降法,LM算法在找到最优的阻尼因子,但是这样会增加计算代价,这
两个梯度方向上优化代价函数,因此包含更宽的收是非必要的。本文设置了20个粒子,最多搜索5
敛范围⑷。与高斯-牛顿法相比,LM算法中添加次。结果表明这样的设置对于改善LM算法的性能
了一个非负阻尼因子入,其参数迭代计算如式(23)、是足够的。
(24)所示,其中,Hessian矩阵F和梯度向量G按照二Jg入,F,G)=J2(Ai)
式(20)、(21)计算,与高斯-牛顿法一致。当阻尼(25)
因子接近于0时,LM算法的性能与高斯-(NN・LM)算法流程
一致;而当阻尼因子充分大时,LM算法的性能接近最终的神经网络LM(NN-LM)参数辨识算法包
于最速下降法。含了两部分:神经网络训练以及参数估计。整个算
锲+】二像+(23)法的流程如图3所示。
基于飞行试验数据的神经网络训练
网络输出噌
改进的输出误差法
终止
粒化最子代佳群函阻优数尼化番最求入,小得
根据LM算法式
Hessian矩阵F>
(23)、(24),
梯度向量G
更新待辨识参数®
图3神经网络LM(NNLM)算法流程图
(NNLM)algorithm
算法的求解步骤如下:2)将网络输入17仏)替换为包含飞行试验数据
1)从飞行试验数据中提取状态量和输入量,构中状态量、输入量以及待辨识参数倒的新的输入向
成神经网络的输入向量u(k);从飞行试验数据中量,如下文应用算例中的式(33)。并根据
提取输出量,构成神经网络的输出向量ZG+1),例神经网络前向传递式(1)~(4)(或者是式(15))进
如本文的应用算例中,17仏),Z仏+1)分别为行网络预测,计算网络输出向量^仏+1)。
式(31)、(32);并按照式(9)~(11)进行网络训练。3)基于传统输出误差法,分别根据式(22)计算
汪志刚,等:改进的输出误差法用于不稳定飞机参数辨识
第12期•69・
灵敏度矩阵dY(k)/d&,式(20)计算Hessian矩阵表1模型参数的标称值以及基于3种方法的怙计结果
F,以及式(21)计算梯度向量G。
4)将粒子群中每个粒子的适应度函数取为代resultsbasedonthreemethods
价函数(25),基于粒子群优化过程,即式(13).(14)参数标称值NNLMLSSOEM
求解局部最优阻尼因子入。---
£-
()(0)()
5)基于LM算法,根据式(23).(24)更新待辨
--
识参数仪。--*
()(0)
重复步骤2)~5),直至算法收敛。
---
ZBe-
3不稳定飞机模型与仿真试验数据()(0)()
本文应用了DeHaviUandDHC-2“BEAVER“
()()()
试机⑷⑻的不稳定短周期模型。“BEAVER“飞机的
---
短周期状态方程为:Mg-
()()()
w=Zww+(U0+Zq)q+Z88e
---
%-
q=Mww+Mqq+Ms8e(26)()()()
式中咖为纵向速度,g为俯仰角速率,色为纵向加
尽管仿真飞行试验是在闭环条件下进行的,本
速度,勺为升降舵偏转量。
文对模型参数的估计在开环条件下进行,将升降舵
模型的观测方程为:
偏转量氏视为模型输入,进行开环辨识,在辨识过
w=w程中并未使用飞行员输入®的信息。使用
JATEGAONKAR⑷设计的输入信号激励仿真模型,
k+(C70+Zg)g+Z%5e模型的试验数据如图4所示。
q=Mww+Mqq+Ms8e
5=Zww+Zgq+Zs8e(27)
式中:g用为模型的状态变量,&为输入变量,9用,
O2468O2
q,d以及色为输出变量,4为前向速度,在仿真中1/S
(2
-0
。S
E
在本文的研究中,这些模型参数构成了待辨识V-2
-
的未知参数向量,即r
so
r
®=lZwfZg,ZSe,MwfMqtM8y(28)o
w
bO
式中ZwtZSe,他,Mq,MSe为模型参数,其标称值
见表1。
系统矩阵A如式(29)所示,将S和表1中模
型参数的标称值0代入系统矩阵A,可计算出其两
-,其中正的特
征值对应着不稳定模态。这种不稳定飞机的仿真飞
行试验只能在引入控制器后(闭环条件下)进行。
文献中对此模型引入了垂直速度比例反馈控制器5
£
(30),并进行了闭环机动试验,其中8P为飞行员o
输入⑷O
024681012
t/s
图4“BEAVER“飞机短周期模型的仿真试验数据
8e=Sp+Kw(30)-periodmodelof“BEAVER"
aircraft
-70-哈尔滨工业大学学报第54卷
出,参数初值选取不同时,算法均可在7步内收敛,
4参数辨识结果参数初始值离标称值较远时,算法收敛较慢,参数初
本文基于NN-LM方法,从仿真数据中提取模型始值离标称值较近时,算法收敛较快。
参数。首先,选取神经网络输入向量为仿真模型第
k时刻的状态及输入为
17(%)=[w(i)fq(k),w(k)tq(k)
(31)
式中吠小为A:时刻的纵向速度采样值。
选取网络输出向量为仿真模型第k+1时刻的
输出Z仏+1)为
Z(A+1)=[w(k+l)fq(k+l)9w(k+l),
qQ+1),偽仏+1)]丁(32)
以最速下降法调整网络参数。在神经网络训练
完成后,用于替换“BEAVER“模型的运动方程
(26),预测E+1时刻的模型输出P仏+1)。迭代次数
接下来,在参数估计的过程中,将神经网络输入图5参数收敛过程以及对应的标准差
向量U(k)中的如仏),g“)
deviation
程(27)计算得到:
d仏)=Zww(k)+(UQ+Zq)q(k)+Zs8e(k)
—王一参数初值1
qW+Mqq(k)+M88eW—壬-参数初值2
王参数初值3
超)=[w(k),q(k),w(A)tw(k),8eW]T---王---参数初值4
(33)参数初值5
网络输入17(砒替换为U(k,0)后,网络输出演
变成了参数向量®的非线性函数,见式(15)。使用
粒子群改进的LM算法优化代价函数(16),求解模0
型参数向量㈤,求解结果见表1。对于本文研究的
-
不稳定飞机模型,传统的输出误差法无法用于参数
估计,JATEGAONKAR⑷应用最小二乘法以及输出
246
误差法的几种变体对其参数进行了估计,表1列出迭代次数
了其中两种方法,分别为最小二乘法(LS)和人工稳
图6参数岐收敛过程以及对应的标准差
定的输出误差法(SOEM),与本文的估计结果用作
对比。其中括号内的数值表示参数估计的标准差,deviation
SOME方法中厶的估计值有“*”标注,表示在参
将3种方法估计的参数代入运动方程(26),得
数估计过程中,£需要设置为已知参数。由表1可
到3种估计模型,并且由仿真试验中的升降舵偏转
知,NN-LM方法的求解结果更接近参数标称值,并
驱动3种模型,模型的输出如图7所示。并结合
且此方法不需要设置任何的已知参数。
Theil不等系数(Theil,sinequalitycoefficient,
综上所述,传统的输出误差法需要参数的先验
TIC)网来评价3种模型的输出量对试验值的拟合
信息,将参数初值设置在标称值附近,否则算法将发
效果。输出量的TIC定义如式(34),其中勺为仿真
散或者收敛至局部极小值点。而改进的LM算法具
试验测量值仍为模型的输出值,为离散测量数据
有更宽的收敛范围,即不需要参数的先验信息。本N
点的个数。TTC值越低表示模型输出与试验测量值
文参数估计过程中,所有的未知参数向量㈤均以
符合度越高,TIC值低于625-
[-2,2]范围内的随机数初始化,从不同的初始值
拟合效果⑷。3种模型的各个输出量的TIC值见
开始迭代时算法均可以收敛。图5、6为选取不同随
表2。
机初始值时,参数Z爲和M砂的收敛过程。可以看
第12期汪志刚,等:改进的输出误差法用于不稳定飞机参数辨识
Tic.=J币若曲◎,5结论
也仏)『*J韦£以仏)『1)基于飞行试验数据训练前向神经网络,以神
经网络代替飞机的运动方程来预测飞机响应,从而
心1,2,…已(34)避免了输出误差法中求解运动方程的要求。因而可
由图6可以看出,基于NN-LM方法辨识的模型以应用于不稳定飞机以及大迎角飞行条件下的飞机
可以很好地拟合仿真试验数据,效果优于传统的最参数辨识。同时,相比于求解运动方程,计算网络输
小二乘法(LS)和人工稳定的输出误差方法出的运算成本更小,因此NN-LM算法对于稳定飞机
(SOEM)0由表2中的TIC值可以看出,对于NN-的参数辨识也具有一定的优势。
LM辨识出的模型,其各个输出量的TIC值均低于2)NN-LM算法基于粒子群优化,求解LM算法
LS方法和SOME方法,,说明了此模的最佳阻尼因子,放宽了高斯-牛顿法对参数初值
型的输出对试验测量值的拟合效果更好。的依赖,待辨识参数的初值可随机选取。本文的算
例中,未知参数向量均以随机数初始化,从不同的初
-----------Nominal-----------NNLM始值开始迭代时算法均可以收敛。
LS-----------SOEM
3)NN-LM算法保留了输出误差法的精确性。
仿真结果表明,改进后的算法可以成功辨识出不稳
定飞机的参数。与传统算法相比,NN-LM算法得到
024681012的TIC值更低,说明NN-LM算法辨识出的模型可以
t/s更好地拟合试验测量值,估计效果有明显改善。
4)NN-LM算法本质上是对高斯-牛顿法的改
进,因此还适用于其他的非线性方程求解问题。接
下来将进一步围绕稳定以及不稳定飞机的气动系数
建模来开展研究。基于NN-LM算法,从真实以及仿
真的飞行试验数据中提取气动导数,与风洞试验结
果进行对比和补充。
参考文献
[1]SIMMONSBM,MCCLELLANDHG,
modelidentificationmethodologyforsmall,fixed-wing,unmanned
024681012
t/saircraft[J]•JournalofAircraft,2019,56(3):1056・DO