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202211《》
􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉
第10届(年)
1999
“希望杯”全国数学邀请赛试题
初中二年级第1试
一、选择题éù
()[,].()ê1,3ú.
A530Bëû
,正确的是()44
éùéù
æö2()ê1,2ú.()ê1,7ú.
()ç1÷=ëûDëû
Aèø6368
93
()2y
,为实数,设-x,,
()=b=c
1=1.-x2
B21(-y)
42
+1
()+9=+
C42=4,则a,b,c的大小关系是()
164
-1
()2-2=.4
D177102
()abc.()bac.
+的关系是()A<<B<<
3031
-()bca.()a=bc.
3031C<<D>
()相等.()
AB7.
()互为倒数.(),那么这个三角形一定是
CD2
π-.()
()
.-π
31415()锐角三角形.()钝角三角形.
()是零.()
AB01()直角三角形.()直角或钝角三角形.
()在-与之间.()等于或-.CD
,若两条对角线AC=BD
,现有一辆汽
且ACBD,则这个四边形()
车从工厂到车站拉货,去时的速度为a公里/小⊥
3()一定是正方形.
时,返回时的速度为a公里/小时,那么这辆车往A
2()一定是菱形.
返一次的平均速度为()B
()一定是平行四边形.
C
()5a公里/小时.()可能不是平行四边形.
AD
2
,ABC中,AB=AC,
1△
()2ma公里/小时.
BD、E、F分别在BC、AC、AB上,若
5
BD=CE,CD=BF,则EDF等于
()7a公里/小时.∠图
C()1
3
()12a公里/小时.
D()-1A.()-A.
5A90°∠B90°∠
2
,b,且ab,把a到b的所有数记做[a,
()-A.()-A.
<C180°∠D180°2∠
b],例如到的所有数记做[,],如果m,
14145≤≤,则这
m
n,那么的一切值包含在()()
20≤≤30n
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数理天地初中版数学竞赛年月上
《》202211
􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉
()等腰三角形.()=,面
AB
()等边三角形.()=.
CD
二、+a=且a-,那么
0≠1
:xy--x+y=.a-
11=或.
a+
1
:++=.
108322a2-
,b满足(a+b)2+232=
已知那么-x2-x2-a
=-,324=3
31x2+x-
21,a=,b=.
.0
ïìxy=
:ï9
í的解是或
ï1+1=4
î
1997+xy3
(-)(-)
1997199919972001.
某班男女同学分别参加植树劳动,要求男女
1999+25.
(-)(-)
1999200119991997同学各种行树,男同学种的树比女同学种的树多,
8
如果每行都比预定的多种一棵树那么男女同学种
2001,
(-)(-)
2001199720011999树的数目都超过棵;如果每行都比预定的少种
100
=.
一棵树,那么男女同学植树的数目都达不到棵.
100
+x2-x+k有一个因式是x+,
331这样原来预定男同学种树棵;女同学种树
则k=.
棵.
,b,c,d,其中每三个数之
答·提示
和分别是,,,,那么a,b,c,d中最大
180197208222一、选择题
的数的值是.
题号**********
如果一个三角形的两条角平分线又是它的
BBCDDCBDAA
两条高线,:
,直线ll,
12
2∥=9=3=1.
ABC是直角三角形,A=21
△∠4422
所以选.
,ABF=,则ACE=()
90°∠25°∠B
.
图
2+
,1=3031
--+
3031(3031)(3031)
在六边形外画一条直线l,从六个顶点分别向直线l
=-(+)
引垂线可以得到个不同的垂足,那么的值在,3031
kk选.
3(B)
,,=..
4563141592…<31416,
-..-π
所以31416=31416
.-π.-π
..
三、组填空题=+00001=-00001-1
B1.-π1.≈
31415000009…9
,宽为厘米,以矩选.
158(C)
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􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉
=AC
=(小时)从△,,
1a,所以ABC为等腰三角形.
3△
m所以
车站返回工厂所用时间为t=(小时).B=C.
2a∠∠
2又因为BD=CECD=BF
所以往返一次的平均速度为,,
所以BDFCED
mm△≌△,
v=2=2=12a(公里/小时).BDF=CED.
t+tmm∠∠
12+5所以
aaEDF=-CDE+BDF
32∠180°(∠∠)
选.=-CDE+CED
(D)180°(∠∠)
=C.
5≤≤15,∠
=C=1-A=-1A
20≤≤30∠∠(180°∠)90°∠,
mm22
所以当mn时1是中的最小值当
=,=,=;
530nn所以EDF=-1A.
6∠90°∠
mm2
m=n=时=
15,20,n(<)n.
48(A)
méù
所以中的所有值都在ê17ú内.△
në,û上即ADBC又因为O为重心所以AD又是
68,⊥,,
.
(D),△(A)
二、组填空题
-x2-xA
=()==.
-x-x1题号1112131415
yy答案x+y-+--
b===-.(1)(1)42105
2-y1
(-y)1617181920
答案等边三角形
+122
38965°5π
c.
=4=13提示:
-114
4
--x+y
所以1
bca.=xy+y-x+
<<()(1)
选.
()=yx+-x+
C(1)(1)
、、,=x+y-.
∠1∠2∠3(1)(1)
则的外角等于+.由题意
∠1∠2∠3,∠1∠2∠3,
≤≤12.++
2
所以
++=+++
∠2∠3>2(∠1∠2),1082221
所以+
∠3>2∠1∠2,=++
又因为+=-108(21)
∠1∠2180°∠3,
所以+=+
2∠3>180°∠1,1882
22
所以+1.=+××+()
∠3>90°∠142422
2=+.
所以这个三角形一定是钝角三角42
=-
(B)31,
=BD且AC所以x+=
3,⊥13,
这个四边形既不是正
BDABCD所以x+2=.
,,(1)3
方形菱形也不是平行四边形选
-x2+x+-x+2
、,,原式=52(21)=52(1)
.图x2+x+-x+2-
(D)3(21)2(1)2
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􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉
-
=56=-.1∥2,
-1所以ECB+CBF=
32∠∠180°,
=a=b=c则由于ABC是直角三角形A=
1997,1999,2001,△,∠90°,
ab所以ACB+ABC=
原式=++∠∠90°,
abacbcba
(-)(-)(-)(-)所以ACE
∠
c=-ACB+ABC-ABF
c-ac-b180°(∠∠)∠
()()=--
-ab-c-bc-a-ca-b180°90°25°
=()()()=.
abbcca
(-)(-)(-)65°
-ab+ac-bc+ab-ac+bc
==.
abbcca0垂线不可能得到个垂足.
(-)(-)(-),5
若恰好得到个垂足说明个顶点中仅有两
+x2-x+k有一个因式是
335,6
个顶点的垂足重合其余各点的垂足不再重合
x+.
1,,
若两个相邻顶点的垂足重合因为
所以x3+x2-x+kAB
33(1)、,
则两顶点的垂足也重合则上述假
=x3+x2+x2+x-x-++kABDEDE
22555∥,、,
设不成立
=x2x++xx+-x++k+.
(1)2(1)5(1)(5)
若两个对点的垂足重合因为
=x+x2+x-+k+.ADAD
(1)(25)(5)(2)、,∥
所以的垂足与的垂足也分别
所以当k=-时原多项式有一个因式是x+.BCEFBCEF
5,1∥,、、
.
,,
<<<若两点的垂足重合因为
ìa+b+c=ACACDF
ï180①(3)、,∥,
ï则两点的垂足也重合则上述假设不成立
ïa+b+d=DF.
197②、,
í综上所述由个顶点得到个垂足是不可能
ïa+c+d=
208③,65
ï的
îb+c+d=.
222④
设矩形的长与宽分别为则圆的直径为
+++
①②③④、,
a+b+c+d=a2+b2.
3()807,
所以a+b+c+d=所以矩形周长=a+b
269⑤2(),
-得d=圆周长22
⑤①89;=πa+b.
得c
-=;a+b2
⑤②72所以周长比2=4().
-得b=()π2a2+b2
⑤③61;()
-得a=.又a-b2
⑤④47()≥0,
+b2ab
89≥2
+b2=a2+ab+b2a2+b2
4,△,()2≤2(),
是BAC的平分线且AD又是所以周长比2
∠,()
BC边的高a+b2a2+b2
,=4()8()=8
π2a2b2π2a2b2π2,
所以ABDACD(+)≤(+)
△≌△,
所以AB=AC.
图所以周长比22即周长比的最大值为22.
同理BE是ABC的平分线同时4≤π,π
,,
∠三、组填空题
又是AC边的高B
,
所以AB=
x=x=
所以AB=AC=BC答案--19
,34;601;14;8{y=;{y=104;96
△
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􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉
提示
-×得1-2+1=4
.③2④xxyy,
5,9
AB=BC=.连接AC则æö2
15,8,所以ç1-1÷=4
èxyø,
AC=AB2+BC29
=2+2所以1-1=±2
158图xy⑤
=(厘米).53
17ïìïì
又EFGH分别为ABBCCDAD的中点1+1=41=
,,,,,,,ïxyïx1
由方程组í3解得í
则有EF1ACHG1ACïï
,,
􀱀􀱀ï1-1=2ï1=1
22îî
xy3y3
.
􀱀􀱀x=
22所以{1.
所以四边形EFGH为菱形其周长为y=
,9
ìì
×EF=×=(厘米).ïï
4217341+1=41=1
ïxyïx
平方厘米由方程组í3解得í3
SEFGH=1SABCD=1××=().
15860ï,ï,
22ï1-1=-2ï1=
+a=îxyîy1
03
=
=-所以9,
所以a且a-.{y=
≤0≠11,
a--a-x=x=
当-a时1=1=-所以原方程组的解是1或9.
1<≤0,a+a+1;{y={y=
1191
a--a-
当a-时1=1=.,
1,aa1
<+-(+)
11,>
--a
a-()ïìx+
所以1=11<≤(1)>100,①
a+{aï
1(-)ïx-
1<1í8(1)<100,②
a2-ï
+b2+232=(y+),
(2)0,ï81>100③
-aîy-
38(1)<100④
ïìa+b=
ï20由得x1
所以ía2,
-=,①>11
ï23202
î-a
3>0由得x1
②<13,
ïìb=-a
ï22
解得ía
=±,所以1x1.
ï411<<13
îa22
<3即x=或
所以a=-b=.1213,
4,8
ìxy=同理1y1
ï911<<13,
由í①22
ï1+1=4y=.
îxy②1213
3又xy.
将的两边平方得>
②,所以x=y=.
13,12
1+2+1=16所以男同学预定种树×=(棵).
xxyy③813104
9女同学预定种树×=(棵).
81296
由得2=2
①,④
xy3
·41·