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带电粒子在磁场中运动
一、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动根本问题
找圆心、画轨迹是解题的根底。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动,抓住运动中的任两点处的速度,分别作出各速度的垂线,则二垂线的交点必为圆心;或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心;再利用数学学问求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。
(04天津)钍核发生衰变生成镭核并放出一个粒子。设该粒子的质量为、电荷量为q,它进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极和间电场时,其速度为,经电场加速后,沿方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面对外的有界匀强磁场,垂直平板电极,当粒子从点离开磁场时,其速度方向与方位的夹角,如下图,整个装置处于真空中。
(1)写出钍核衰变方程;
(2)求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径R;
(3)求粒子在磁场中运动所用时间。
解析:(1)钍核衰变方程
①
(2)设粒子离开电场时速度为,对加速过程有
②
粒子在磁场中有
③
由②、③得
④
(3)粒子做圆周运动的盘旋周期
⑤
粒子在磁场中运动时间
⑥
由⑤、⑥得
⑦
二、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题
导致轨道半径变化的缘由有:①带电粒子速度变化导致半径变化。如带电粒子穿过极板速度变化;带电粒子使空气电离导致速度变化;盘旋加速器加速带电粒子等。②磁场变化导致半径变化。如通电导线四周磁场,不同区域的匀强磁场不同;磁场随时间变化。③动量变化导致半径变化。如粒子裂变,或者与别的粒子碰撞;④电量变化导致半径变化。如汲取电荷等。总之,由看m、v、q、B中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化。
(06年全国2)如下图,在*<0与*>0的区域中,存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场,磁场方向垂直于纸面对里,且B1>B2。一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿*轴负方向射出,要使该粒子经过一段时间后又经过O点,B1与B2的比值应满意什么条件?
解析:粒子在整个过程中的速度大小恒为v,交替地在*y平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动,轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q,圆周运动的半径分别为和r2,有
r1=
①
r2=
②
分析粒子运动的轨迹。如下图,在*y平面内,粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为2
r1的A点,接着沿半径为2
r2的半圆D1运动至y轴的O1点,O1O距离
d=2(r2-r1)
③
此后,粒子每经受一次“盘旋”(即从y轴动身沿半径r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方y轴),粒子y坐标就减小d。
设粒子经过n次盘旋后与y轴交于On点。若OOn即nd满意
nd=2r1
④
则粒子再经过半圆Cn+1就能够经过原点,式中n=1,2,3,……为盘旋次数。
由③④式解得
⑤
由①②⑤式可得B1、B2应满意的条件
n=1,2,3,……⑥
三、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题
带电粒子在磁场中运动的临界问题的缘由有:粒子运动范围的空间临界问题;磁场所占据范围的空间临界问题,运动电荷相遇的时空临界问题等。审题时应留意恰好,最大、最多、至少等关键字
(07全国1)两平面荧光屏相互垂直放置,在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为*轴和y轴,交点O为原点,如下图。在y>0,00,*>a的区域有垂直于纸面对外的匀强磁场,两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔,一束质量为m、带电量为q(q>0)的粒子沿*轴经小孔射入磁场,最终打在竖直和水平荧光屏上,使荧光屏发亮。:5,在磁场中运动的总时间为7T/12,其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围(不计重力的影响)。
解析:粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为:
①
速度小的粒子将在*a的区域中运动的时间,由题意可知
由此解得:
②
③
由②③式和对称性可得
⑤
⑥
所以
⑦
即弧长AP为1/4圆周。因此,圆心在*轴上。
设速度为最大值粒子的轨道半径为R,有直角可得
⑧
由图可知OP=2a+R,因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标
⑨
四、带电粒子在有界磁场中的极值问题
查找产生极值的条件:①直径是圆的最大弦;②同一圆中大弦对应大的圆心角;③由轨迹确定半径的极值。
有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处,如下图一样的速率v0向第一象限平面内的不同方向放射电子,已知电子质量为m,电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后,都能平行于*轴沿+*方向运动,求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。
解析:由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R=mv0/Be是确定的,设磁场区域足够大,作出电子可能的运动轨道如下图,由于电子只能向第一象限平面内放射,所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O1,它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心,以R为半径的圆弧O1O2On。由于要求全部电子均平行于*轴向右飞出磁场,故由几何学问有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O2而言,要使电子能平行于*轴向右飞出磁场,过O2作弦的垂线O2A,则电子必将从点A飞出,相当于将此轨迹的圆心O2沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O1O2On沿y方向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界,图中圆弧OAP示。综上所述,要求的磁场的最小区域为弧OAP与弧OBP所围。利用正方形OO1PC的面积减去扇形OO1P的面积即为OBPC的面积;即R2-πR2/4。依据几何关系有最小磁场区域的面积为S=2(R2-πR2/4)=(π/2
-1)(mv0/Be)2。
五、带电粒子在复合场中运动问题
复合场包括:磁场和电场,磁场和重力场,或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡问题,匀变速运动问题,非匀变速运动问题,在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点。粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果。
(07四川)如下图,在坐标系O*y的第一象限中存在沿y轴正方形的匀强电场,场强大小为E。在其它象限中存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面对里。A是y轴上的一点,它到座标原点O的距离为h;C是*轴上的一点,到O点的距离为l,一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿*轴方向从A点进入电场区域,继而通过C点进入大磁场区域,并再次通过A点。此时速度方向与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求:
(1)粒子经过C点时速度的大小合方向;
(2)磁感应强度的大小B。
解析:(1)以a表示粒子在电场作用下的加速度,有
①
加速度沿y轴负方向。设粒子从A点进入电场时的初速度为v0,由A点运动到C点经受的时间为t,则有
②
③
由②③式得
④
设粒子从点进入磁场时的速度为v,v垂直于*轴的重量
v1=
⑤
由①④⑤式得
v1==
⑥
设粒子经过C点时的速度方向与*轴的夹角为α,则有
tanα=
⑦
由④⑤⑦式得
⑧
(2)粒子经过C点进入磁场后在磁场中作速率为v的圆周运动。若圆周的半径为R,则有
⑨
设圆心为P,则PC必与过C点的速度垂且有==R。用β表示与y轴的夹角,由几何关系得
⑩
⑾
由⑧⑩⑾式解得
R=
⑿
由⑥⑨⑿式得
B=
⒀
六、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题
多解形成缘由:带电粒子的电性不确定形成多解;磁场方向不确定形成多解;临界状态的不唯一形成多解,在有界磁场中运动时表现出来多解,运动的重复性形成多解,在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场,磁感应强度为B;一质量为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中;若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞,欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射出;则B必需满意什么条件?
带电粒子在磁场中的运动时间分析:由于粒子从A处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动,要使粒子又从A处沿半径方向射向磁场,且粒子与筒壁的碰撞次数未知,故设粒子与筒壁的碰撞次数为n(不含返回A处并从A处射出的一次),由图可知其中n为大于或等于2的整数(当n=1时即粒子必沿圆O的直径作直线运动,表示此时B=0);由图知粒子圆周运动的半径R,再由粒子在磁场中的运动半径可求出。
粒子在磁场中的运动周期为,粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得,粒子从A射入磁场再从A沿半径射出磁场的过程中将经过n+1段圆弧,故粒子运动的总时间为:,将前面B代入T后与共同代入前式得。
练****br/>,电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它运动的平面,且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍,则负电荷做圆周运动的角速度可能是(
)
A.
B.
C.
D.
2.(07宁夏)在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁磁场的方向垂直于纸面,磁感应强度为B。一质量为m,带有电量q的粒子以肯定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点(AP=d)射入磁场(不计重力影响)。
⑴假如粒子恰好从A点射出磁场,求入射粒子的速度。
⑵假如粒子经纸面内Q点从磁场中射出,出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ(如图)。求入射粒子的速度。
3.(新题)如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1=2B2,现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿垂直于ab方向放射;在图中作出粒子运动轨迹,并求出粒子第6次穿过直线ab所经受的时间、路程及离开点O的距离。(粒子重力不计)