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命题范围:平面向量基本定理及坐标表示,用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运
算,用坐标表示的平面向量共线的条件.
[基础强化]
一、选择题
,&是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所
有向量的一组基底的是()
&+包
+2。
+&与台一质
+3仍与6a+2&
13
=向,1),b=(L-1),则向量展一於=()
A.(—2,—1)B.(—2,1)
C.(-1,0)D.(-1,2)
=(2,1),b=(1,x),c=(—1,1).若(a+b)〃(b—c),且c=〃汨+成则
m+n=()
1
C.—~D.——
o/
=(1,-2),应=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,0为坐标原点,若儿
19
B,C三点共线,贝族+3的最小值是()
ab
,—6)和向量a=(l,-2),若旃三一3a,则点N的坐标为()
A.(2,0)B.(-3,6)
C.(6,2)D.(-2,0)
〃=(sin/,g)与向量A=(3,sin力+/cos4)共线,其中4是△46C的内
角,则角4的大小为()
JIJI
A-TB-a
JIJI
C.-D.
2
=(l,—2),b=(x,3y—5),且若x,y均为正数,则灯的最大
值是()
厂25
.—
2525
C—D—
246
,yGR,向量a=(用1),6=(1,y),c=(2,—4)且aJ_c,b//cf则x+y=()
.-2
9.[2022•安徽省蚌埠市质检]如图,在梯形40中,AB〃DCnAB=2DC,点后为线段
%的靠近点。的一个四等分点,点b为线段49的中点,力夕与〃交于点0,且崩=*布+血;
则x+y的值为()
5
.-
二、填空题
10.[2021•全国乙卷]已知向量a=(2,5),8=(4,4),若a〃4贝!JA=______.
11.[2022•安徽省滁州市检测]已知a=(L3),a+6=(-1,2),则/一引+。・,=
,"满足砺+,砺+应-0,若存在实数小,使得荔+尼=威成立,则
〃?=
[能力提升]
,它们的夹角为120°.如图所示,点。在以0
为圆心的弧方上运动,^OC=xOA+yOb,其中x,HR,则x+y的最大值是()
B
C
,在直角梯形力版中,AB//DC,AD工DC,AD=DC=2AB,/为力〃的中点,若万
=ACE+PDB(A9〃£R),贝!J4+〃的值为()
.-
O
15.[2022•东北三省三校模拟]在正六边形ABCDEF中,息G为线段加,(含端点)上的动
点,若充=4而+〃为(/,〃GR),则〃的取值范围是.
,°A已知平面内有三个向量。1、OB、OC,其中物与必的夹角为
120°,而与龙的夹角为30。,且|为=|曲=1,|应1='=49+〃应(3“CR),
则4+〃的值为.
专练25平面向量基本定理及坐标表示
"=a,
,设e+a=4e”则、八无解;
〔1=0
选项B中,设8—2戊=4(e1+2改),则彳无解;
[-2=2H
选项C中,设8+金=4(8—食),贝凶】无解;
1——1
选项D中,e+3a=;(6&+2e]),所以两向量是共线向量,不能作为平面内所有向量
的一组基底.
c13AL33、/
-a--Zf?=(-,-)—z(-,-2)=(-b2)
:a+b=(3,1+x),b-c=(2,x-1),
(a+b)〃(b—c),/.3(x—l)=2(x+l),
得x=5,/.b=(1,5),又c=ma+nb,
,(一1,1)=%(2,1)+/?(1,5)
2
勿=一§,
2/zz+/7=—1,
%+5/7=1,
/ii+n=-]+三=_T.
':AB=OB-OA={a-1,1),CB=(a+b,-1),
•:A,B,C三点共线,
/.(a-1)X(-1)=1X(a+Z)),:.2a+b=\,
又<3>0,b>0,
.」+,=d+}(2a+8)=4+l吊>4+2、/^~^=8(当且仅当丝产即a=;,
ababab\jabab42
时等号成立)
(x,y),则加三(x—5,p+6)
又而j—3a=(—3,6),
fx—5=-3,[x=2,
:.\得
[y+6=6,[y=0.
3
//n,.•.sin4(sin/+也cos/)—5=0,
.•・2sin21+2/sin/lcos4=3.
可化为1—cos24+/sin24=3,
sin(2J——)=1.
6
VJG(0,n),
JlJl,,JT
/.2A—―=—,解得力=k.
o乙o
‘:a〃b,・・・3y-5=-2x,;・2x+3尸5,
_________r
又x,y均为正数,;.5=2x+3y22回9=2正G,(当且仅当2x=3y,即:x=3
寸等号成立),
0
.一25
.・x1y^24.
—4=0,
因为6〃°,所以一4一2尸0,
x=2
所以x+y=O.
{y=-2,
,可得应Hx葩+y瓦-x;市+八加+而
=xAB-yAB+yAC=(x-y)荔+y(AD+DC)
=(x-y)荔+广(2"+;而=(x-j)刖2丽叶/葩=(x—)~AB+2yAF,
因为氏0,尸三点共线,可得x一±+2y=l,即2x+3y—2=0;
又由'B0=BA+AO=BA+xAB+yBC=BA-xBA+y•^BE=(1一*)BA+^BE,
因为40,£三点共线,可得1一%+学=1,即3x—4y=0,
2%+3y—2=0解得所以
联立方程组x=V,y=Y^,x+y=*.
3x—47=0
:|
A=­
kA=25
解析:通解因为a〃8,所以即(2,5)=女(4,4),得《,解得〈.
44=5,5
1^4
光速解因为a〃6,所以2X4—54=0,解得儿=也
□
:0
解析:a—(1,3)>a+6=(—1,2),b—(—1,2)—(1,3)—(—2,—1),a—b—(3,
4),
Ia~b\+a•6=:9+16+(—2—3)=0.
:3
解析:•.•欣+.砺+,说=0,...材为△/况1的重心,
—Iff21rr
则方仁5(法+应)*§=§(荔+农),
二诵+k=3前/,二片3.
,
则力(1,0),Xcosl20°,sinl20"),即
6(—平).设比'=。,贝!]沅=(cos。,sin。),
OC—xOA+yOB^(%,0)+(一5乎y)=(cos。,sin。),
JX一±=cosa,sina,
x=—r=~+cosa,
小
2sina
.飞…y----7=-,
'.x+y=^3sina+cosa=2sin(a+30°).
VO°WaW120°,A30°Wa+30°W150°.
...当a=60°时,x+y有最大值2.
,则〃(0,0).
不妨设止1,则5=49=2,所以C(2,0),4(0,2),6(1,2),不0,1),...1=(一
2,2),市=(-2,1),应=(1,2),
,:a=入泰+H而:.(-2,2)=4(-2,1)+“(1,2),
628
得-
解
j—2儿+〃一2,1贝4+-
〃
=一=7=
•12+2“=2,505
:[1,4]
解析:根据题意,不妨设正六边形4%物■的边长为2小,以中心。为原点建立平面直
角坐标系,如图所示:
则可得/(一24,0),双木,3),<7(2^3,0),8(事,一3),
设点G的坐标为5,ri),则而=5-24,〃),鬲(一小,-3),乃=(一/,3),
由1=4应+〃血得:出一2小=一小人一事巴
即才+〃=—^^7力+2,
数形结合可知:/〃©[—24,木],则一号0+2右[1,4],即A+P的取值范围为[1,
O
4],
:6
解析:解法一:如图,作平行四边形则应'=(困+处”因为应与丽J夹角为120°,
应与龙的夹角为30°,所以N5OC=90°.
在Rt△阳C中,/优®=30°,|0。=2小,
所以|必1=2,13a=4,
所以I物』=18cl=4,所以应'=4)+2而,所以4=4,〃=2,所以4+“=6.
解法二:以。为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则/(I,0),
由应'=A04+nOB,
3=A—,
A=4,
得〈广解得•所以A+〃=6.
〃=2.
\3=2