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初中数学竞赛专题选讲非负数
初中数学竞赛专题选讲()
非负数
一、内容提要
非负数的意义:在实数集合里,正数和零称为非负数.
a是非负数,可记作a≥0,读作a大于或等于零,即a不小于零.
初中学过的几种非负数:
⑴实数的绝对值是非负数. 若a是实数,则≥0.
⑵实数的偶数次幂是非负数. 若a是实数,则a2n≥0(n是正整数).
⑶算术平方根是非负数,且被开方数也是非负数.
若是二次根式,则≥0, a≥0.
⑷一元二次方程有实数根时,根的判别式是非负数,反过来也成立.
若二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有两个实数根,则b2-4ac≥0.
若b2-4ac≥0 (a≠0),则二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根.
⑸数轴上,原点和它的右边所表示的数是非负数,几何中的距离,图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.
非负数的性质:
⑴非负数集合里,有一个最小值,它就是零.
例如:a2有最小值0(当a=0时),也有最小值0(当x=-1时).
⑵如果一个数和它的相反数都是非负数,则这个数就是零.
若a≥0且-a≥0, 则a=0;
如果a-b≥0且b-a≥0,那么a-b=0.
⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.
例如:若a,b,x都是实数数,则a2+b2≥0, ×≥0, a2≥0.
⑷若几个非负数的和等于零,则每一个非负数也都只能是零.
例如 若(b+3)2+=0
那么 即 ∴.
二、例题
求证:方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根
证明:把方程左边分组配方,得
(x4+2x2+1)+(x2+2x+1)+4=0
即(x2+1)2+(x+1)2=-4
∵(x2+1)2>0,(x+1)2≥0,
∴(x2+1)2+(x+1)2≥0.
但右边是-4.
∴不论x取什么实数值, 等式都不能成立.
∴方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根.
a取什么值时,根式有意义
解:∵二次根式的被开方数(a-2)(与(a-2)(1-都是非负数,
且(a-2)(与(a-2)(1-是互为相反数,
∴(a-2)(=0. (非负数性质2)
∴a-2=0;或=0.
∴a1=2, a2=1, a3=-1.
答:当a=2或a=1或a=-1时,原二次根式有意义.
要使等式(2-x)2+=0成立,x的值是____.
(1991年泉州市初二数学双基赛题)
解:要使原等式成立∵(2-x)2≥0, ∴≤0.
∴==-1,(x-4≠0)
∴(2-x)2=1,且x-4<0.
即 解得
∴x=3.
答:x的值是3.
当a, b取什么实数时,方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根
(1987年全国初中数学联赛题)
解:∵当△≥0时,方程有实数根.
解如下不等式:
[2(1+a)]2-4(3a2+4ab+4b2+2)≥0
-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0,
2a2+4ab+4b2-2a+1≤0,
(a+2b)2+(a-1)2≤0 ①
∵(a+2b)2≥0且(a-1)2≥0,
得(a+2b)2+(a-1)2≥0 ②
∴只有当(a+2b)2=0且(a-1)2=0 不等式①和②才能同时成立.
答:当a=1且b=-时,方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根.
三、练****br/>已知在实数集合里有意义,则 x=____.
要使不等式(a+1)2≤0成立,实数a=_____.
已知=0,则 a=__, b=__, a100b101=____.
把根号外因式移到根号里:
① -a=___,② b=____,③-c=____.
<b,那么等于( )
(A)(x+a). (B)(x+a).
(C)-(x+a). (D)-(x+a).
(1986年全国初中数学联赛题)
已知a是实数且使a=, 则x=____.
(1990年泉州市初二数学双基赛题)
7. 已知a, b是实数且a.
化简后的值是____.
(1990年泉州市初二数学双基赛题)
8. 当x=__时,-(x+)有最大值___.
(1986年泉州市初二数学双基赛题)
9. 已知: 且, , c的值.
(1989年全国初中数学联赛题)
10. 求方程x2+y2+x2y2+6xy+4=0的实数解.
11. 求适合不等式2x2+4xy+4y2-4x+4≤0的未知数x的值.
12. 求证:不论k取什么实数值,方程x2+(2k+1)x-k2+k=0都有不相等的实数解.
13. 比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小.
,y,z都是非负数. 求a的值.
练****题参考答案
1. 3 2. -1 3. 1,-1,-1
4. ①-, ②-, ③ 5. C
6. 0。 因为左边 a≤0, 右边≥0。
7. -a。∵b=1,a 8. x=-,最大值
9.
10. 11
△=8k2+1……13. 用求差法, 配方(乘上2×)
14. -<1