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(时间:120分钟 满分150分)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,每小题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,把正确的选项填在答题卡中)
△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且A>B,则一定有( B )
>cosB >sinB
>tanB <sinB
[解析] ∵A>B,∴a>b,
由正弦定理,得sinA>sinB,故选B.
△ABC中,a=4,b=4,∠A=30°,则∠B等于( D )
° °或150°
° °或120°
[解析] 由=,得sinB==.
又a<b,∴∠B=60°或120°.
△ABC中,BC=3,CA=5,AB=7,则·的值为( C )
A.- B.
C.- D.
[解析] cosC==-,
则·=||·||·cosC=-.
4.(2019·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tanC等于( C )
A. B.
C.- D.-
[解析] 因为2S=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab,由面积公式与余弦定理,得absinC=2abcosC+2ab,
即sinC-2cosC=2,所以(sinC-2cosC)2=4,
=4,
所以=4,
解得tanC=-或tanC=0(舍去).
5.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,asinAsinB+bcos2A=a,则=( D )
C. D.
[解析] 本小题考查内容为正弦定理的应用.
∵asinAsinB+bcos2A=a,
∴sin2AsinB+sinBcos2A=sinA,
sinB=sinA,∴b=a,∴=.
△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若3a=2b,则的值为( D )
A.- B.
D.
[解析] 本题主要考查正弦定理,由正弦定理可得==,∴sinB=sinA,将其代入所求式子中,得==,
∴选D.
△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=( A )
° °
° °
[解析] 由sinC=2sinB及正弦定理,得c=2b,
∴a2-b2=bc=6b2,
即a2=7b2,
由余弦定理,cosA====.
又∵0°<A<180°,
∴A=30°.
8.(2018·全国Ⅲ理,9)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若△ABC的面积为,则C=( C )
A. B.
C. D.
[解析]由题意S△ABC=absinC=,即sinC=,由余弦定理可知sinC=cosC,即tanC=1,
又C∈(0,π),所以C=.
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( D )
[解析] 由倍角公式得23cos2A+cos2A=25cos2A-1=0,cos2A=,△ABC为锐角三角形cosA=,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2-b-13=0,
即5b2-12b-65=0,
解方程得b=5.
△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若2b=a+c,∠B=30°,△ABC的面积为,则b等于( A )
+ B.
C. +
[解析] 由已知acsin30°=,
∴ac=6,∴b2=a2+c2-2accos30°
=(a+c)2-2ac-ac
=4b2-12-6,
∴b=+1.
11.(2019·铁岭高中下学期第一次考试)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,向量m=(,-1),n=(cosA,sinA),若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则∠A,∠B的大小分别为( A )
A., B.,
C., D.,
[解析] ∵m=(,-1),n=(cosA,sinA),且m⊥n,
∴m·n=cosA-sinA=0,
∴tanA=.
∵0<∠A<π,∴∠A=.
又∵acosB+bcosA=csinC,
∴sinAcosB+sinBcosA=sin2C,
即sin(A+B)=sin2C,∴sinC=sin2C.
∵0<∠C<π,∴∠C=,
∴∠B=-=.
,在△ABC中,已知∠A﹕∠B=1﹕2,角C的平分线CD把三角形面积分为3﹕2两部分,则cosA等于( C )
A. B.
C.
[解析] 在△ABC中,设∠ACD=∠BCD=β,∠CAB=α,由∠A﹕∠B=1﹕2,得∠ABC=2α.
∵∠A<∠B,∴AC>BC,
∴S△ACD>S△BCD,
∴S△ACD﹕S△BCD=3﹕2,
∴=,
∴=.
由正弦定理得
=,
=⇒=,
∴cosα==×=,
即cosA=.故选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每空5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.(2019·全国卷Ⅱ理,15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为6.
[解析] 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.
又∵b=6,a=2c,B=,
∴36=4c2+c2-2×2c2×,
∴c=2,a=4,
∴S△ABC=acsinB=×4×2×=6.
14.(2018·浙江,13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,=,b=2,A=60°,则sinB=,c=_3.
[解析] 由正弦定理,得=,∴=,得sinB=,由余弦定理,得cosA===,解得c=3.
△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a=4,asinB=bcosA,若△ABC的面积S=4,则b+c=8.
[解析] 由正弦定理,得sinAsinB=sinBcosA,又sinB≠0,∴tanA=,∴A=.
由S=bc×=4,得bc=16,由余弦定理得,16=b2+c2-bc,
∴c2+b2=32,∴b+c=8.
°,仰角为45°,沿南偏东40°方向前进10米到O,测得塔A仰角为30°,则塔高为10米.
[解析] 画出示意图,如图所示,
CO=10,∠OCD=40°,∠BCD=80°,∠ACB=45°,
∠AOB=30°,AB⊥平面BCO,
令AB=x,则BC=x,BO=x,
在△BCO中,由余弦定理,得
(x)2=x2+100-2x×10×cos(80°+40°),
整理得x2-5x-50=0,
解得x=10,x=-5(舍去),
故塔高为10米.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(2019·天津卷理,15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,+c=2a,3csinB=4asinC.
(1)求cosB的值;
(2)求sin2B+的值.
[解析] (1)在△ABC中,由正弦定理=,
得bsinC==4asinC,
得3bsinC=4asinC,即3b=4a.
因为b+c=2a,所以b=a,c=
cosB===-.
(2)由(1)可得sinB==,
从而sin2B=2sinBcosB=-,
cos2B=cos2B-sin2B=-,
故sin=sin2Bcos+cos2Bsin=-×-×=-.
18.(本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a=2,cosB=.
(1)若b=4,求sinA的值;
(2)若△ABC的面积S△ABC=4,求b、c的值.
[解析] (1)∵cosB=>0,且0<B<π,
∴sinB==.
由正弦定理得=,
所以sinA=sinB=.
(2)∵S△ABC=acsinB=c=4,
∴c=5.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB
=22+52-2×2×5×=17,
∴b=.
19.(本小题满分12分)(2018·天津理,15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,=acos.
(1)求角B的大小;
(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
[解析] (1)在△ABC中,由正弦定理=,
可得bsinA=asin B.
又由bsinA=acos,得asinB=acos,
即sinB=cos,所以tanB=.
又因为B∈(0,π),所以B=.
(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,
得b2=a2+c2-2accosB=7,故b=.
由bsinA=acos,可得sinA=.
因为a<c,所以cosA=.
因此sin2A=2sinAcosA=,
cos2A=2cos2A-1=.
所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB
=×-×=.
20.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
(1)证明:sinAsinB=sinC;
(2)若b2+c2-a2=bc,求tanB.
[解析] (1)根据正弦定理,可设===k(k>0).
则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.
代入+=中,有+=,变形可得
sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)
=sin(π-C)=sinC,
所以sinAsinB=sinC.
(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有
cosA==.
所以sinA==.
由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
所以sinB=cosB+sinB,故tanB==4.
21.(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ理,17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.
(1)求A;
(2)若a+b=2c,求sinC.
[解析] (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,
故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得cosA==.
因为0°<A<180°,所以A=60°.
(2)由(1)知B=120°-C,
由题设及正弦定理得sinA+sin(120°-C)=2sinC,
即+cosC+sinC=2sinC,
可得cos(C+60°)=-.
因为0°<C<120°,所以sin(C+60°)=,
故sinC=sin(C+60°-60°)
=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=.
22.(本小题满分12分)如图,已知扇形AOB,O为顶点,圆心角AOB等于60°,半径为2,在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA相交于点C,设∠AOP=θ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.
[解析] ∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60°-θ,∠OCP=120°.
在△OCP中,由正弦定理,得
=,即=,
∴CP=sinθ.
又=,
∴OC=sin(60°-θ).
故△POC的面积是
S(θ)=CP·CO·sin120°=·sinθ·sin(60°-θ)·=·sinθsin(60°-θ)
=·sinθ(cosθ-sinθ)=[cos(2θ-60°)-],θ∈(0°,60°),
∴当θ=30°时,S(θ)取得最大值为.