勾股定理与几何证明的综合问题.pdf

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练****一、利用勾股定理证明一些重要的几何定理
1、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,:
(1)CD2AD•BD
(这个结果表明,利用勾股定理可以导出三角形相似的一系列结果)
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(2)
AC2BC2CD2
2、如图,锐角△ABC中,CD是AB边上的高,我们称线段AD与AC的比值为锐角∠A的
AD
余弦函数(想想看,这符合函数的定义吗?为什么?),记为cosA。
AC
b2c2a2
证明:cosA.
2bc
3、如图,在△ABC的BC边上任取一点D,并记:BC=a,AB
=c,AC=b,AD=p,BD=m,DC=n.

(1)证明:mb2nc2amnp2
(2)上面这个结果称为Stewart定理,它的理论价值要比实际用处更重要些。相对而言,它
的两个特例在应用上显得更重要些。根据提示写出它的特例形式:
①当b=c即等腰三角形时,;
②当m=n即AD为中线时,;
练****二、将勾股定理应用于四边形
1、四边形ABCD的对角线为AC和BD.
(1)证明:若ACBD,则AB2CD2AD2BC2;
(2)证明:若AB2CD2AD2BC2,则ACBD.
(提示:证明逆命题的一般方法是什么?)
2、一个四边形的顶点分别在一个边长为1的正方形各边上,其边长依次为a、b、c、d.
求证:2a2b2c2d24.
*3、如图,EFGH是正方形ABCD的内接四边形,∠BEG与∠CFH都是锐角,EG=3,FH
=4,四边形EFGH的面积是5,求正方形ABCD的面积.
*4、如图,一个边长分别为3、4、5的直角三角形的一个顶点与正方形
的顶点B重合,另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上,求
正方形的面积.
练****三、勾股定理结合图形变换
1、已知等腰△ABC中,AD是底边BC的高,BE是腰AC上的高,AD与BE交于点H,EF
⊥BC于F,M是AD延长线上一点,且DM=EF,=b,BN2
=m,BM2=n,则b、m、n之间的关系是()
(A)b<m+n(B)b=m+n(C)b>m+n(D)b≠m+n
2、在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠A的平分线交CD于E(交BC于F),过E
作EG∥AB交BC于G,若CE=3,求BG的长.
*3、如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC,BD=3,CD=2,求△ABC的面积。
(提示:45°暗示着作轴对称变化后能得到直角。)
*4、如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=CD,AB=10,BD=
,求BC的长.(提示:图中有一个等边三角形,这暗示我们可以考虑通过旋转60°
的图形变换来揭示隐藏关系。)