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,在三棱柱ABC-4BC1中,A4_L底面ABC,ABVAC,A8=AC=2,E为棱BC
的中点,A4i=3V2,点。在棱BBi上,且810=28。.
(1)证明:CDJL平面AOE;
(2)求二面角E-AD-C的余弦值.
【分析】(1)由E为棱8C的中点得出AEJ_8C,由A4iJ_底面ABC得出44iJLAE,BB\
LAE,证明AE_L平面BCCiBi,\D,再利用勾股定理的逆定理证明C\DL
DE,即可证明Ci。,平面ACE.
(2)以A为坐标原点,射线AC为x轴的正半轴,建立空间直角坐标系,利用坐标表示
向量,求出平面AED、平面ACQ的法向量,利用法向量求二面角E-A。-C的余弦值.
【解答】(1)证明:因为A8=AC,E为棱BC的中点,所以AE_LBC;
又因为AAi_L底面ABC,AEu平面ABC,所以AAi_LAE,所以BB1L4E;
因为BCCBBi=B,所以AEL平面8CC1B1;
因为Ci£>u平面BCG81,所以CELCi。;
连接GE,因为AB=2,所以8E=CE=夜;
因为&D=2BD,且881=44=3近,
所以£>E=2,CiE=2V5,所以+。片=C1E2,BPC\D±DE;
因为AEnOE=E,所以CiO_L平面AOE.
(2)解:以4为坐标原点,射线AC为x轴的正半轴,建立空间直角坐标系A-孙z,如
图所示:
则A(0,0,0),E(1,1,0),C(2,0,0),D(0,2,V2),
所以薪=(1,1,0),AD=(0,2,V2),AC=(2,0,0),
设平面AEO的法向量为蔡=(x,y,z),则I7=°,即令x=l,
lmMD=00+伍=0
得m=(1>-1>y/2);
;@=0,即
设平面ACO的法向量为Z=(a,b,c),则銮f=。,令f可
n-AC=0
得九=(0,1,—V2);
设二面角E-AO-C的大小为e,由图可知e为锐角,
一,mn0-1-2J3
所以COS0=|^->|=|~~7=^1=亍,
|m|x|n|2xV32
即二面角E-3c的余弦值为今
【点评】本题考查了空间中的垂直关系应用问题,也考查了利用空间向量求二面角的余
弦值应用问题,考查了推理与计算能力,是中档题.
,四边形ABC。为正方形,四边形A8EF为直角梯形,且AF〃
BE,ABLBE,平面ABCD_L平面48EF,AB=BE=2AF=2.
(I)求证:AC〃平面OEF;
(2)求直线AC与平面CQE所成角的大小.
【分析】(1)连接BD,交AC于0,取OE的中点M,连接。例,FM,易推出四边形
A0MF为平行四边形,从而有AC//FM,再根据线面平行的判定定理,证明AC〃平面
DEFi
(2)先根据面面垂直的性质定理得到8EJL平面ABCD,然后求出三棱锥E-AC。的体
积结合线面垂直的性质定理与判定定理可证得C&CE,于是可
求出S&CDE,设点A到平面CDE的距离为d,由等体积法KA-C/)E=VE-ACD可求出d,设
直线AC与平面CDE所成角为a,得到sina=焉,代入数据进行运算即可得解.
【解答】解:(1)证明:连接B。,交AC于0,取QE的中点M,连接0M,FM,则
1
0M//BE,0M=^BE,
':AF//BE,AF=^BE,//AF,KOM=AF,
四边形AOMF为平行四边形,.•.40〃FM,AC//FM,
DEF,DEF,二AC〃平面。E尸.
(2)♦.,平面ABCO_L平面ABEF,平面ABCQC平面A8EF=AB,ABIBE,
平面ABCD,即点E到平面ABCD的距离为BE=2.
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VE-ACD=gBE*S/^ACD=^X2X^X2X2^^.
平面4BC£>,CD、BCu平面ABC。,,BELBC,
又CDLBC,BECBC=B,BE、BCu面BCE,;.C£>_L面BCE,
VCEc®BCE,:.CD±CE,
:・SACDE=^CD'CE=/CD7BE2+BC2=;x2xV22+22=2VL
设点A到平面CDE的距离为d,
14/-
^'VA-CDE=VE-ACDy:・1*d*S2CDE=五,・・d=72.
3°
设直线AC与平面CDE所成角为a,则sina=与=共=2,
VaG[O,90°J,...a=30°.
故直线AC与平面CDE所成角的大小为30°.
【点评】本题考查空间中线面的位置关系、线面角的求法,熟练运用线面平行或垂直的
判定定理与性质定理,以及理解线面角的定义是解题的关键,另外,本题利用等体积法
巧妙地解决了点到面的距离问题,避免寻找点在面内的投影,考查学生的逻辑推理能力
和运算能力,属于中档题.
,等腰直角A8E与正方形A3CD所在平面互相垂直,AE2BE,42=2,FC_L平面
ABCD,E尸〃平面4BCD
(1)求尸C的长;
(2)求直线EF与平面BQF所成角的正切值.
【分析】(1)设G是AE的中点,连接EG,可得四边形EGC尸是平行四边形,EG=CF,
即可求解;
(2)设8。。CG=O,利用直线EF与平面8。尸所成角与直线OG平面BOF所成角相等,
可得直线EF与平面8。尸所成角的大小与/COP的大小相等,解直角三角形POC即可.
【解答】解:(1)设G是AE的中点,连接EG,
因为△ABE是等腰直角三角形,AE±BE,
所以EG1AB,因为等腰直角ABE与正方形ABCD所在平面互相垂直,
ABECiABCD=AB,所以EG_L平面ABC。,因为FC_L平面A8CZ),
所以GE〃尸C,因此E、G、F、C四点共面,
因为EF//=CG,Eft平面EGCF,
所以EF〃GC,所以四边形EGCF是平行四边形,因此EG=CF,
因为△ABE是等腰直角三角形,AELBE,G是4E的中点,
1
所以CF=EG=^AB=1;
(2)设BDnCG=O,
因为EF//GC,所以直线EF与平面BQF所成角与直线0G平面8QF所成角相等,
设CP_L平面8。凡垂足为P,连接CP、0P,
即直线E尸与平面8。尸所成角的大小与/COP的大小相等,
由勾股定理可知BF=FD=712+22=V5,BD=V22+22=2企,
所以S^BDF=1x2V2X75-2=V6,,
1x
S〉CDB=22x2=2,
,1厂1
由VC^DBF=VF-BDC^-XV6-CP=-X2XCF,
解得CP=卓.
CG=V22+I2=V5,因为8G〃C。且BG=^C。,
所以co=竽,
在直角三角形POC中,sin/COP=^=^=嚼,
所以直线EF与平面BDF所成角的正切值为呼.
【点评】本题考查了空间线面位置关系、空间线面角的计算,考查空间想象能力能力、
运算能力,属于中档题.