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年宏观投资主成分分析
对我国1984—2000年宏观投资的主成分分析
摘要
宏观投资效益是反映国民经济运行情况的重要指标。由于投资效益的复杂性,需要一个指标体系加以反映。但各指标存在信息重复,不能综合的问题,主成分分析通过主分量的建立解决了上述问题。本文利用主成分分析法对1984__2000年宏观投资效益进行了分析和排序。
关键词:主成分分析宏观投资效益排序
主成分分析是把多个变量变换为少数几个综合指标的一种统计分析方法。在多指标的比较领域里,由于指标个数繁多,相互之间存在一定的相关性,因而使所观测的数据在一定程度上载有重复的信息。不仅如此,多指标所组成的高维空间给样本分布研究造成麻烦。主分量方法就是提供这样一种处理手段,找出几个综合因子代替原来为数众多的指标。但前提是,必须使这些综合因子尽可能的反映原变量的信息量,并且彼此无关。
主成分分析的应用于效益指标综合评价的一般计算步骤:
对原始数据进行标准化
在计算相关系数矩阵之前,要对原始数据进行标准化,这一过程通常采用Z-score法,公式为
式中:Xij代表第i个样本的第j个指标实际值
Sj代表第i个样本的第j个指标实际值
Xij’代表第i个样本的第j个指标标准化值
作为标准化数据Xij’具有如下特征:
E(Xij’)=0
(Xij’)=1
对原始数据进行标准化,目的是为了消除量纲和数量级对综合评价的影响。
计算相关系数矩阵R
R=
rij(I,j=1,2,…,p)为原变量xi与xj的关联程度,rij=rji,其计算公式为:
rij=
计算特征值与特征向量
解特征方程||=0, 常用雅克比法求出特征值,并使其按大小顺序排列1>=2>=…p>=0;即R是n阶方阵,设为R阵的特征根,是分量(变换后的新指标)Y的方差,它反映各个分量在反映综合效益水平上所起的作用的大小。
R阵的特征方程为:
=0
其特征根为1>=2>=…p>=0;解(R-i)=0,分别求出对应于特征值i的特征向量(i=1,2,L,p),要求||=1。
计算主成分贡献率及累计贡献率
贡献率:(i=1,2,L,p)
累计贡献率:(i=1,2,L,p)
表一贡献率以及累计贡献率
分量编号
特征值
贡献率%
累计贡献率%
1
2
3
4
5
100
计算主成分荷载
各主成分得分:
Z=
表二相关系数矩阵

表三方差分解主成分提取分析表
解释的总方差
成分
初始特征值
提取平方和载入
合计
方差的%
累积%
合计
方差的%
累积%
1
2
3
4
5
6
提取方法:主成分分析。
表四初始因子荷载矩阵
成分
1
2
年份
投资效果(无时滞)
投资效果(时滞一年)
全社会固定资产交付使用率
建设项目投产率
基建房屋竣工率
提取方法:主成分分析。
.
由表三可知前两个分量的累计贡献率已达%,故前两个分量为主分量。
根据特征值确定的单位特征向量如下:
特征值
单位特征向量
则:
Y1=+其中Yi表示主分量,Zxi代表Xi标准化的数据,计算各分量上的得分,用贡献率做权数求得各样本的总得分,并排出1984年以来投资效益总评价的优劣顺序:
年份
第一主分量
第二主分量
主分量得分
优劣排序
样本序号
Y1
Y2
Y
1984
6
1985
12
1986
11
1987
3
1988
10
1989
13
1990
8
1991
4
1992
1
1993
2
1994
5
1995
9
1996
-1
14
1997
15
1998
17
1999
16
2000
7
所以在这17年里排在综合效益前三的分别是199219931987年。
附表11984—2000年宏观投资效益主要指标
年份
投资效果系数
(无时滞)
投资效果系数
(时滞一年)
全社会固定资
产交付使用率
建设项目
投产率
基建房屋
竣工率
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
参考文献:
我国1984-
宏观经济研究
SPSS统计分析