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顾客到达服从泊松过程的混合消费市场
#
定价研究
**
李小翠,张玉林
5(东南大学经济管理学院,南京211189)
摘要:本文假设策略型顾客和短视型顾客并存,顾客到达服从泊松过程,产品销售初期库存
受限,并且以垄断厂商的固定定价策略为研究点,分别对第一阶段缺货、第二阶段缺货和两
阶段均不缺货三种情形下垄断厂商的两期定价问题进行研究。论文建立了相应的需求模型和
定价模型,确定了最优定价策略,给出了保证货源充足的最低库存水平。并进行了数值仿真。
10得到了若干有益的管理结论:第一阶段缺货时的价格与初始库存成反比,与顾客到达速率成
正比;第二阶段缺货时,随着策略型顾客比例的增加,期望收益不断增加,降价幅度不断减
小,厂商给予库存一定限制可以有效减少顾客策略行为带来的不利影响;两阶段均不缺货时,
随着策略型顾客比重的增加,期望收益、两阶段定价均呈现下降趋势,且降价幅度不断增加。
关键词:收益管理;策略型顾客;定价策略;泊松需求
15中图分类号:;F224
PricingforaMixedConsumerMarketwithPoissonArrival
Process
LIXiaocui,ZHANGYulin
20(SchoolofEconomicsandManagement,SoutheastUniversity,NanJing211189)
Abstract:Thispaperstudyatwo-stagepricingproblemforamonopoliststorewithlimited
investigatethepricingprobleminthreecases:outofstockatthefirststage,outofstockatthe
,establishcorrespondingdemand
modelsandpricingmodelstodeterminetheoptimalfixed-
inventorylevelstoensureadequatesupplyaregivenandcomparativeanalysesofthreecasesare
,thepriceis
inverselyproportionaltotheinitialinventorybutisproportionaltocustomerarrivalratewhenthe
30firststageisoutofstock;Withtheincreaseoftheproportionofstrategiccustomers,expected
revenuesareincreasingandthemarkdowndegreeisdecreasingwhenthesecondstageisoutof
effectsofcustomers’,
expectedrevenuesandthetwo-stagepricesaredecreasingandthemarkdowndegreeisincreasing
35whentwostagesarenotoutofstock.
Keywords:revenuemanagement;strategiccustomers;pricingstrategies;Poissondemand
0引言
随着技术与社会的进步,消费者越来越方便获得产品的相关信息,消费行为变得更为“聪
40明”。比如,在预测产品价格走低的情形下,较多的消费者会选择等待,以获得更大剩余。
这类“聪明”的消费者也称为策略型消费者[1]。显然,考虑策略消费者下的定价研究,能克
服“短视”顾客假设的不足,也更贴近现实,更具有指导意义。
策略型顾客行为下的定价是近年来的热点研究问题。通过对垄断厂商的单产品T期定
-1-:.
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价策略研究,Besanko和Winston发现,如果不考虑顾客的策略行为,厂商的收益可能将下
45降50%[2]。随后的不少学者从需求及初始库存条件等方面对Besanko的工作进行拓展,
Rodriguez和Locay在需求不确定以及库存受限制的情形下,分析了面对策略型顾客厂商进
行两阶段定价时第二阶段降价处理的原因[4]。Aviv和Pazgal考虑了一个在T时刻前定高价
而T时刻后定低价,顾客到达服从泊松过程下的两阶段定价,得到了临时定价(随T时刻
库存变化)和固定定价(不随T时刻库存变化)两种定价策略;证明了面对策略型消费者,
50固定定价策略比临时定价策略对厂商更为有利,并用数值算例验证了库存水平在一定程度上
决定产品折扣率的结论[5]。在需求固定,初始库存数量有所限制的情形下,刘晓峰也认为厂
商的定价决策与产品库存水平显著相关[3]。
Guo等将Besanko模型从产品定价扩展到单机服务系统定价上,给出了面对策略型顾客
单机服务系统的定价策略,通过数值算例表明忽视顾客的策略行为,厂商的损失可能将达到
%[6]。由于顾客的策略行为使得厂商利益受损,刘晓峰致力于控制和消除策略性行为带
来的负面影响,设计了一个返还合同最大限度地获得高保留价格的顾客消费剩余[7],通过适
当的库存数量和价格设定,增大消费者买不到产品的风险,从而减少消费者的等待行为[8]。
上述定价是在市场为单一的策略型顾客下进行的研究,实际上,市场中有的消费群体是
策略型,有的消费群体是短视型,所以对“策略型”和“短视型”混合市场的定价研究具有
60重要的现实意义。刘晓峰在库存不受限制的定价研究中发现,厂商的利润随着策略型顾客所
占比例的增加而减少,厂商忽略顾客策略行为所造成的损失随着策略型顾客所占比例的增加
而增大[3]。与之不同,Su研究了顾客需求是随机分布形式的动态定价问题,从支付意愿和
等待意愿两个维度将顾客细分为高估价策略型顾客、低估价策略型顾客、高估价短视型顾客
以及低估价短视型顾客四种类型,研究了这些类型顾客不同比例下的定价策略,得到了支付
65意愿和等待意愿共同决定价格策略的结论,此外还证明了高估价顾客缺乏耐心时采用降价策
略较优,高估价顾客有耐心时采用升价策略较优[9]。在Su模型基础上,将估价只有高、低
两种扩展到估价服从随机分布的假设上,杨慧等通过一个“临界估价”的定价,统一描述了
策略型和短视型两类消费者的响应特质,结论表明需求固定下企业总的期望利润会随着策略
[10]
型顾客所占比例的增大而减小。为了减少顾客策略行为带来的不利影响,彭志强等在混
70合消费市场下设计了一个差价返还机制减少顾客策略行为给厂商带来的不利影响[10]。综合
实际生活中需求的不确定性以及库存受限制的条件,申成霖将Aviv和Pazgal的研究扩展到
了研究复杂市场环境下针对混合型消费者的一类短生命周期产品的动态定价问题,分析消费
者与销售商间的博弈过程,确定了消费者的最优购买策略以及厂商的与当前库存相关的临时
定价策略[12]。
75已有文献关于混合消费市场下的讨论比较少,同时考虑需求不确定以及库存受限制两种
约束条件下的研究甚少。受Aviv和Pazgal证明的面对策略型消费者,固定定价策略比临时
定价策略对厂商更为有利结论的启发,本文正是在这些条件下,以固定定价策略为研究点,
分别在第一阶段缺货、第二阶段缺货和两阶段均不缺货三种情形下,研究垄断供应商的两期
定价并进行比较分析。显然这与已有的研究是相区别的,是有意义的。
801问题描述和假设
垄断厂商在有限销售期[0,H]内销售一定数量的某种单一季节性产品,销售期分成两个
阶段,T时刻有一次降价过程(比如节假日的促销活动)。不失一般性,本文将两阶段的销
售周期进行单位化处理。本文的研究是为了确定第一阶段[0,T)上的销售价格p1和第二阶
-2-:.
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段[T,H]上的销售价格p2(p1>=p2),使得厂商的收益最大。
85本文有如下四条假设。
(1)每个顾客至多只能购买一件产品。
(2)消费者到达过程服从强度为λ的时齐泊松过程。短视型顾客只会出现在第一阶段
[12]。假设第一阶段中每个时刻到达的顾客中,策略型顾客所占比例为θ,短视型顾客所占
比例是1−θ。
90(3)每个顾客对产品都有一个估价v,此估价是每个顾客的私有信息,v在[0,1]上服
从均匀分布,此分布对于厂商和消费者都是共有信息。
(4)参考Besanko模型[2]等的研究,厂商收益和顾客消费剩余都具有一定的时间价值,
采用折现系数δ(01)<<δ对第二阶段厂商收益和顾客消费剩余进行折现处理。从而,可用
uvt()vt−1
来表示估价为的顾客在tt(1,2)=阶段的消费剩余:uvvptt()()=−δ。
95根据假设(3)、(4)以及库存受限制的条件,第一阶段到达的策略型顾客不仅要最大
化自己的消费剩余,而且会预期第二阶段能获得产品的概率。从而,他所预期的第二阶段期
望消费剩余为:Euvvp[()]()=−πδ(其中π表示策略型消费者预期能在第二阶段获得
22
产品的概率,显然01≤π≤)
2模型建立
100厂商和顾客之间是一个连续的动态博弈过程:厂商根据当前库存Q以及对顾客购买决
策的理性预期制定两阶段定价策略;顾客根据当前价格、初始库存量以及对未来价格的预期,
以最大化消费剩余为目标,决策当期购买还是等待至下期购买。策略型顾客若是在第一阶段
到达,则会比较自己在第一阶段和第二阶段的期望消费剩余,选择在期望消费剩余最大化的
阶段购买。第二阶段到达的策略型顾客与第一阶段到达的短视型顾客的购买条件均相同:估
105价大于售价便购买,否则离开市场。
基于厂商和顾客之间的博弈过程,有必要首先给出与文献[2]、[6]等相类似的两个相关
性质。
性质1:估价是v的顾客如果在第一阶段购买产品,那么估价为v(vv>)的顾客也会
110在第一阶段购买产品;估价是v的顾客如果在第二阶段购买产品,那么估价为v(vv>)
的顾客如果没有在第一阶段购买产品,那么他也会在第二阶段购买产品。
性质2:记vv12,分别表示在第一阶段和第二阶段购买产品的策略型顾客中估价最小值。
那么根据理性预期理论,估价为v1的顾客在第一阶段购买和在第二阶段购买的期望消费剩余
相同;估价为v2的顾客在第二阶段购买和在第二阶段不购买的期望消费剩余相同。即:
115vpvp1112−=−πδ(),δ()0vp22−=
根据性质1和性质2,以下分别对[0,T)阶段、T时刻、(T,H]阶段的需求进行分析,建
立两阶段需求模型。
(1)[0,T)阶段实际购买的期望需求D1。
D1由两部分组成:进行购买产品的短视型顾客和进行购买的策略型顾客。短视型顾客
-3-:.
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120在[0,T)阶段到达后如果其估价大于价格p1,那么他就会购买产品,否则离开市场;对于
策略型顾客,在[0,T)阶段到达后如果其估价大于等于v1,那么他就会购买产品,否则等
待至T时刻。从而
Dpv111=−−+−[(1)(1)(1)]θθλ(1)
(2)T时刻实际购买的期望需求DT
125[0,T)阶段到达的策略型顾客,其估价v满足pvv11≤<的顾客,对[0,T)阶段和T时
刻能获得的期望消费剩余进行比较后确定在T时刻以p2价格进行购买,此部分的期望需求
数量为θ()vp11−λ。
估价v小于p1的顾客,只有当其估价大于p2才会在T时刻以p2价格进行购买,否则
离开市场。对于这部分购买产品的顾客,其期望需求数量为θ()pv12−λ。
130DT正是由以上两部分顾客所构成,即
DvvT=−θ()12λ(2)
(3)(T,H]阶段实际购买的期望需求D3
(T,H]阶段到达的顾客只有策略型消费者,其估价大于等于v2便会购买产品,这部分
的期望需求数量为
135Dv32=−(1)λ(3)
综上,第一阶段即[0,T)阶段的期望需求为
Dpv111=−−+−[(1)(1)(1)]θθλ(4)
第二阶段即[T,H]阶段的期望需求D2由T时刻期望需求和(T,H]阶段期望需求构成,
即
140DDDvvv23212=+=−+−T[(1)()]θλ(5)
根据本小节的期望需求分析,以下三小节分别从供需满足的三种情形建立相应的定价策
略模型。
如果第一阶段就出现缺货,那么库存与期望需求满足不等式QDpp≤112(,),其中
145Dpp112(,)表Dpp112(,)的上确界,即Qp≤−(1)1λ。由于第一阶段已经缺货,那么策略
型顾客能在第二阶段获得产品的概率就等于0,即π=0。显然,这个时候厂商只需要考虑一
次定价就可以取得收益最大化。当Qpv=−−+−[(1)(1)(1)]θ11θλ时,可得到收益最大化
均衡解。
收益最大化模型为
maxHHQp==11
150pv11,
stvp..011−=
(6)
最优价格策略为
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∗Q
p1=−1(7)
λ
从(7)式可以表明,若顾客到达速率保持不变时,第一阶段的定价随着初始库存的增加
而减少,即若库存较高,则需要通过低价策略保证在当前的顾客到达速率条件下,在第一阶
155段出售完初始库存商品;而当初始库存保持不变时,第一阶段定价与顾客到达速率成正比,
即针对潜在的较大消费市场,通过较高定价获取最高利润。
若在第二阶段出现缺货,即库存与期望需求满足不等式
DppQDppDpp112112212(,)(,)(,)<≤+,即(1)2(1)(1)−<<−−−+pQpp112λ[θθλ]。
160这时策略型顾客能在第二阶段获得产品的概率由定理1给出。
定理1:若库存满足条件(1)2(1)(1)−<<−−−+pQpp112λ[θθλ],那么第一阶段到
达的策略型顾客预期能在第二阶段获得产品的概率为:
Qvp−−+−−[(1)(1)(1)]θ11θλ
π=
[(1)()]−+−vvv212θλ
(8)
定理2:如果在第二阶段出现缺货,库存与期望需求满足不等式
165(1)2(1)(1)−<<−−−+pQpp112λ[]θθλ,那么策略型顾客在预期第二阶段能获得产品
概率的均衡π∗是存在且唯一的。
由定理1和定理2,垄断厂商第一阶段的期望收益为
Hvpp1111=−+−−[(1)(1)(1)]θθλ(9)
vpvpvp−=−−=πδδ∗(),()0
其中111222
170垄断厂商第二阶段的期望收益为
HQvpp2112=−+−−{-[(1)(1)(1)]}θθλ(10)
在厂商和策略型顾客动态博弈实现均衡下,厂商的决策目标是两阶段的期望收益最大
化,即
maxHHH=+δ∗(11)
pp,12
12
175通过逆向求解得出
1Q
pp21=−−−[2(1)]θ(12)
1+θλ
pHp∗∗=arg(),由于Hp()最优解的求解繁琐,本文将在第三节中通过数值仿真对
111
最优解进行分析。
180如果整个销售过程中没有出现缺货情形,那么库存与期望需求满足关系:
QDppDpp≥+112212(,)(,),即Qpp≥−−−+[2(1)(1)θ12θλ]。由于整个销售过程不缺
货,那么策略型顾客能在第二阶段购买到产品的概率为1,即π=1。
此时,垄断厂商第一阶段的期望收益为
Hvpp1111=−+−−[(1)(1)(1)]θθλ(13)
-5-:.
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185其中v1由vpvp1112−=−δ()所确定。
垄断厂商第二阶段的期望收益为
Hvvvp22122=−+−[(1)()]θλ(14)
其中v1由δ()0vp22−=所确定。
在厂商和策略型顾客动态博弈实现均衡下,厂商的决策目标是两阶段的期望收益最大
190化,即
∗
maxHHH=+12δ(15)
pp12,
采用逆向求解的方法求解此动态规划问题,最优价格策略为
2
∗2(1)−+δα
p1=2
4(1)−+δβ
∗∗(16)
∗∗12(1)++−θvp11θδ
pv21==,
2(1)222+θ+−−θδθδ
其中:α=−+−4(1)(2)δθδθ22
223
195β=−++−+−8(1)(1)(43)(1)δθδδθδδθ容易验证:
2(1)(1)[(2)1]+−+−θδθp∗
pp∗∗−=≥10恒成立,即pp∗≥∗,表明垄断厂商的
1212
2(1)(2)−+−δθδ
最优价格路径是一个降价过程。此外,初始库存量满足Qpp≥−−−+⎡2(1)(1)θ∗∗θλ⎤,
⎣12⎦
⎡⎤∗∗
才能保证两阶段均不缺货,即⎣⎦2(1)(1)−−−+θpp12θλ是企业保证货源充足的最低库
存水平。
2003数值分析
针对以上三种可能发生的情形,本节通过数值仿真来对厂商的价格策略进行分析。
此种情形下厂商制定的价格策略是一次定价策略,在供应和需求相等的情况下可以达到
均衡解,,若顾客到达速率保持不变时,第一阶段的定价随着初始库存的
205增加而减少,即若库存较高,则需要通过低价策略保证在当前的顾客到达速率条件下,在第
一阶段出售完初始库存商品;而当初始库存保持不变时,第一阶段定价与顾客到达速率成正
比,即针对潜在的较大消费市场,通过较高定价获取最高利润。
给定参数λ===1000,360,,应用Matlab软件,得到如下仿真结果,如图1
210和图2所示
-6-:.
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图1厂商期望收益H随着θ的变化趋势图
215图2最优价格策略随着θ的变化趋势图
(1)从图1所表示的厂商期望收益随θ的变化趋势可以看出,第一阶段期望收益随着θ
的增大而不断增加,而第二阶段期望收益随着θ的增大而不断下降,总的期望收益随着θ的
220增加呈上升趋势。在第二阶段缺货的情形下,策略型顾客会考虑在第二阶段获得产品的概率,
随着θ的增加,策略型顾客在第二阶段获得产品的概率不断下降,所以会促使他们在第一阶
段发生购买,从而第一阶段期望收益呈现递增趋势。相应地第二阶段的购买会减少,第二阶
段期望收益也相应呈现递减趋势。但总的期望收益呈现上升趋势,这也说明厂商的缺货行为
一定程度上减小了策略性行为对厂商收益的不利影响。
225(2)从图2所表示的最优价格策略随θ的变化趋势可以看出,第一阶段最优定价比较
稳定,第二阶段最优定价随θ增大呈上升,降价幅度随θ呈下降趋势。这说明在库存受限制
条件下随着策略型顾客比重的加大,厂商可以通过调高第二阶段价格抑制策略型顾客的“持
币观望”行为。
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230在不缺货情形,即货源充足情况下,给定参数λ=1000,=,分析θ对最有价格策
略以及各阶段收益的影响。如图3和4所示
图3厂商期望收益H随着θ的变化趋势图
235
图4最优价格策略随着θ的变化趋势图
(1)从图3可以看出,随着θ的增大,第一阶段期望收益呈下降趋势,第二阶段期望
240收益呈上升趋势,总的期望收益呈下降趋势。这说明,θ的增加导致在第一阶段等待观望的
顾客增加,从而第一阶段的期望利润随之下降;而等待至第二阶段购买的策略型顾客增多,
从而第二阶段期望收益不断增加;总的期望收益呈下降趋势,表明策略型顾客的增多给厂商
带来了一定程度上的不利。
(2)从图4可以看出,随着θ的增大,第一阶段最优价格和第二阶段的最优价格均呈
245下降趋势,第一阶段购买的策略型顾客中估价最小值和降价幅度随着θ的增加而不断增加。
在货源充足的情况下,厂商为了尽力销售产品,第一阶段采取的最优价格策略随着θ的增加
而不断下降,导致了第一阶段“持币观望”的策略型顾客的比例增大,为了吸引更多的顾客
购买产品,厂商不得不将第二阶段的降价幅度增大而取得尽可能大的收益。
(3)本文假设顾客到达服从强度固定的泊松过程,在此假设下得出的价格策略与需求
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250为固定值假设下得出的价格策略不相同,从而论证了假设需求是随机到达情况研究的必要
性。θ取值的不同,相应的最优价格策略也不相同,说明了厂商对市场结构认识的重要性以
及在混合市场下进行研究的必要。
(4)由图2和图4的对比发现,库存有限情形下的定价策略远远高于货源充足情形下
的定价策略,由图1和图3的对比发现,对库存加以限制可以有效地减小顾客策略行为给厂
255商带来的比例影响。
通过数值仿真以及对结果的分析可以得出的以上结论,并且更好地论证了本文将策略型
和短视型顾客联合考虑的必要,也因此说明厂商对消费者人群构成的认识也至关重要,同时
验证了顾虑随机到达假设下的研究具有重要意义。
4结论
260本文研究了顾客随机到达和库存受限制条件下面对策略型顾客和短视型顾客混合市场
的定价问题,建立了两阶段的需求模型,分别在第一阶段缺货、第二阶段缺货和两阶段均不
缺货三种情形下,对垄断厂商的两期定价进行比较分析,此外给出了不缺货情形所需满足的
最低库存水平,得出了以下结论:
(1)第一阶段发生缺货时,若顾客到达速率保持不变时,第一阶段的定价随着初始库
265存的增加而减少;当初始库存保持不变时,第一阶段定价随着顾客到达速率成正比,即针对
潜在的较大消费市场,通过较高定价获取最高利润。
(2)第二阶段缺货时,随着策略型顾客比重θ的增大,总的期望收益会增加,降价幅
度会下降,给予库存一定的限制可以有效地减少策略型顾客给厂商带来的不利影响。
(3)在两阶段均不缺货情形下,这时货源充足,厂商要尽可能地满足需求,随着策略
270型顾客比重θ的增大,总的期望收益呈下降趋势,价格幅度增大,对于厂商来说正确认识市
场中消费者结构非常重要。
从本文的研究过程中发现,厂商在制定相应的价格策略时,首先要估计出λ的值,其次
根据λ的值确定预测未来的供需关系,预估在未来销售阶段内是否会发生缺货,再选取对应
的定价策略,因此厂商对未来需求的预测就很至关重要,后续的研究可以对影响需求的参数
275λ进行更新,以更好的贴合实际,这涉及到最新研究热点需求学****br/>[参考文献](References)
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