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二次根式化简的方法与技巧
二次根式是初中数学教学的难点内容,读者在掌握二次根式有关的概念与性质后,
进展二次根式的化简与运算时,一般遵循以下做法:
①先将式中的二次根式适当化简
②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进展,运算中要运用公式

a0,b0
abab
③对于二次根式的除法,通常是先写成分式的形式,然后通过分母有理化进展运算.
④二次根式的加减法与多项式的加减法类似,即在化简的根底上去括号与合并同类
项.
⑤运算结果一般要化成最简二次根式.
化简二次根式的常用技巧与方法
所谓转化:解数学题的常用策略。常言道:“兵无常势,水无常形。〞我们在解千变
万化的数学题时,常常思维受阻,怎么办?运用转化策略,换个角度思考,往往可以打
破僵局,迅速找到解题的途径。
二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容,对于二次根式的化简,除了掌握
根本概念和运算法那么外,还要掌握一些特殊的方法和技巧,会收到事半功倍的效果,
约分、合并是化简二次根式的两个重要手段,因此我们在化简二次根式时应想方法把题
目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。
一、巧用公式法
a2babab

bab
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分析:本例初看似乎很复杂,其实只要你掌握好了公式,问题就简单了,因为
ab
与成立,且分式也成立,故有a0,b0,(ab0)而同时公式:
ab2a22abb2,a2b2(ab)(ab),
可以帮助我们将
a2abb和ab变形,所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
解:原式

2
ab(ab)(ab)

abab
(ab)(ab)
2a2b
二、适当配方法。
32236
123
:
分析:此题主要应该从式子入手发现特点,∵分母含有123其分子必有含
2
123的因式,于是可以发现32212,且36312,
通过因式分解,分子所含的123的因式就出来了。
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解:原式

32236

123
(12)23(12)

123
12
三、正确设元化简法。
26
235
例3:化简
分析:本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法,通过化简替代,使
其变为简单的运算,再运用有理数四那么运算法那么的化简分式的方法化简,例如:
2a5c,3b,ab6,a2b2c2
,正好与分子吻合。对于分子,我们发现
所以a2b2c20,于是在分子上可加a2b2c20,因此可能能使分子也有望化
为含有abc因式的积,这样便于约分化简。
解:设2a,3b,5c,
那么2ab26,
且a2b2c20
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所以:
2ab

abc
2aba2b2c2

abc
2
abc2

abc

abcabc

abc
abc
235
四、拆项变形法
7265

5667
例4,计算
分析:本例通过分析仍然要想到,把分子化成与分母含有一样因式的分式。通过约
ab11
分化简,如转化成:再化简,便可知其答案。
abab
解:原式

5667

5667
5667

56675667
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11

5667
6576
75
五、整体倒数法。

5331
5231
例5、计算
ab11
分析:本例主要运用了变倒数后,再运用有关公式:,化简但还要
abab
通过折项变形,使其具有公因式。

5331
A
解:设
5231
15231
则
A5331

5331

5331
11

3153
3153

22
51

2
251
所以A
512
借用整数“1〞处理法。
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13223
236
例6、计算

13232和.ab
分析:本例运用很多方面的知识如:×
22
abab
,然后再运用乘法分配率,使分子与分母有一样因式,再约分化简。
解:原式

32323223

236

3232632

236
(32)(326)

326
32

11
例7:x(75),y(75),求以下各式的值。
22
xy
(1)x2xyy2;(2)
yx
分析:本例运用整体代入把x+y与xy的值分别求出来,再运用整体代入法将x+y
与xy代入例题中,但一定要把所求多项式进展恒等变形使题中含有x+y与xy的因式,
如x2xyy2(xy)23xy,然后再约分化简。
11
解:因为:x(75),y(75),
22
1
所以:xy7,xy。
2
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x2xyy2
(xy)23xy
1
(7)23
2
11

2
xy

yx
x2y2

xy
2
xy2xy

xy
1
(7)22
2

1
2
12
七、降次收幂法:
3x22x5
例8、x23,求的值。
2x7
分析:本例运用了使题中2次幂项转化成1次方的项再化简。如例题中把多项式
x24x1转化为4x-1,这样进展低次幂运算就容易了。
解:由x23,得x23。(x2)23整理得:x2=4x-1。
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所以:
3x22x5
3(4x1)2x5
10(23)2
22103
2x72(23)7233
所以原式
22103

233
743
42
3
二次根式的化简与计算的策略与方法

【例1】计算①;②
【解】①原式
②原式
【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式〞和“平方差公式〞,从而使计算较为
简便.

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【例2】计算:
【方法导引】假设直接运用根式的性质去计算,须要进展两次分母有理化,计算相
当麻烦,观察原式中的分子与分母,可以发现,分母中的各项都乘以,即得分子,
于是可以简解如下:
【解】原式.
【例3】把以下各式的分母有理化.
〔1〕;〔2〕〔〕
【方法导引】①式分母中有两个因式,将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子
将有三个因式相等,计算将很繁,观察分母中的两个因式如果相加即得分子,这就启示
我们可以用如下解法:
【解】①原式
【方法导引】②式可以直接有理化分母,,不难发现②式分子中
的系数假设为“1〞,那么原式的值就等于“1〞了!因此,②可以解答如下:
【解】②原式
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【例4】化简
【解】原式
【解后评注】注意这时是算术根,开方后必须是非负数,显然不能等于“〞

【例5】化简
【解】∵
∴.
【解后评注】对于这类共轭根式与的有关问题,一般用平方法都可
以进展化简

【例6】化简
【方法导引】假设直接展开,计算较繁,如利用公式,
那么使运算简化.
【解】原式
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【例7】化简
【解】令,那么:
原式

【例8】化简
【解】原式各项分母有理化得
原式
【例9】化简
【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁,但我们不难发现每一个分
数的分子等于分母的两个因数之和,于是那么有如下简解:
【解】原式
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【例10】化简
【解】构造对偶式,于是没
,
那么,,
原式
,逐层化简
【解】∵
而
∴原式
【解后评注】对多重根式的化简问题,应采用由里向外,由局部到整体,逐层化简
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的方法处理.
,逐项化简
【例11】化简
【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系,因此从右向左进展化简.
【解】原式
.
【解后评注】平方差公式和整体思想是解答此题的关键,由平方差公式将多重根号
逐层脱去,逐项化简,其环节紧凑,一环扣一环,如果不具有熟练的技能是难以到达化
简之目的的.
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