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16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用.pdf

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目录

〔高斯分布〕1


〔分布〕2


(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布)2

〔柯西分布、柯西-洛伦兹分布〕2
2
〔卡方分布〕3



〔Poisson分布〕4


均匀分布X~U(a,b)是无信息的,可作为无信息变量的先验分布。
〔高斯分布〕
.z.
-
当影响一个变量的因素众多,且影响微弱、都不占据主导地位时,这个变量
很可能服从正态分布,记作X~N(,2)。正态分布为方差的正态分布N(,2)
的参数的共轭先验分布。

指数分布X~Exp()是指要等到一个随机事件发生,需要经历多久时间。其
中0为尺度参数。指数分布的无记忆性:PXst|XsP{Xt}。
〔分布〕
Beta分布记为X~Be(a,b),其中Beta(1,1)等于均匀分布,其概率密度函
数可凸也可凹。如果二项分布B(n,p)中的参数p的先验分布取Beta(a,b),实验
数据〔事件A发生y次,非事件A发生n-y次〕,则p的后验分布
Beta(ay,bny),即Beta分布为二项分布B(n,p)的参数p的共轭先验分布。

Gamma分布即为多个独立且一样分布的指数分布变量的和的分布,解决的问
题是“要等到n个随机事件都发生,需要经历多久时间〞,记为X~Ga(a,b)。
其中a0为形状参数,b0为尺度参数。Gamma分布为指数分布Exp()的参数
、Poisson分布P()的参数的共轭先验分布。

倒Gamma分布记为X~IGa(a,b)。假设随机变量X~Ga(a,b),则
1
~IGa(a,b)。其中a0为形状参数,b0为尺度参数。倒Gamma分布为指数
X
1
分布Exp()的参数、均值的正态分布N(,2)的参数2的共轭先验分布。

(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布)
威布尔分布记为X~W(m,)。其中m0为形状参数,0为尺度参数。
当m1,它是指数分布;m2时,是Rayleighdistribution〔瑞利分布〕。
常用于拟合风速分布,并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参
数。

Pareto分布记为X~Pa(a,b)。其中b0为门限参数,a0为尺度参数。
Pareto分布是一种厚尾分布。Pareto分布为均匀分布U(0,)的参数的共轭先
验分布。
〔柯西分布、柯西-洛伦兹分布〕
.z.
-
Cauchy分布记为X~Ca(a,b)。其中a为位置参数,b0为尺度参数。中位
数Mode(X)a,期望、方差都不存在。如果X,X,,X是分别符合柯西分布
12n
的相互独立同分布随机变量,则算术平均数X,X,,X/n服从同样的柯西分
12n
布。标准柯西分布Ca(0,1)是t分布的一个自由度。这种分布更适合拟合那种比
拟扁、宽的曲线。
10.2分布〔卡方分布〕
n
设X,X,,X是来自N(0,1)的样本,则称统计量2X2服从自由度为
12ni
i1
n的2分布,记为2~2(n)。

X
设X~N(0,1),Y~2(n),且*,Y相互独立,则称随机变量t服从自
Y
n
由度为n的t分布。记为t~t(n)。当自由度n时,t分布将趋于N(0,1)。有
时样本量很小,不知道总体的标准偏差,则可以依赖t统计量〔也称为t分数〕
X
的分布,其值由下式给出:~t(n1),其中X是样本均值,μ是总体均值,
s
n
s是样本的标准偏差,n是样本大小。

U
n
设U~2(n),V~2(n),且U,V相互独立,则称随机变量F1服从自
12V
n
2
由度为(n,n)的F分布,记为F~F(n,n)。设X,X,,X与Y,Y,,Y分别
121212n12n
12
是来自正态总体N(,2)和N(,2)的样本,且这两个样本相互独立。设X,
1122
Y分别是这两个样本的样本均值;s2,s2分别是这两个样本的样本方差,则有
12
s2
1
s2(XY)()
2~F(n1,n1);当222时,12~t(nn2),其中
212121112
1s
2wnn
212
(n1)s2(n1)s2
s21122。
wnn2
12

二项分布十分好理解,给你n次时机抛硬币,硬币正面向上的概率为p,问
.z.
-
在这n次时机中有k次〔k≤n〕硬币朝上的概率为多少。记为X~B(n,p)。当n
足够大,且p不接近于0也不接近于1时,二项分布B(n,p)可用正态分布
N(np,np(1p))来近似。
〔Poisson分布〕
泊松分布解决的是“在特定一段时间里发生n个事件的概率〞,记为
np
X~P()。当二项分布满足时,二项分布近似为泊松分布。泊松分布P()
n
当足够大时,变成正态分布N(,)。

对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果Y是正态
分布的随机变量,则e*p(Y)是对数正态分布;同样,如果*是对数正态分布,则
ln(*)为正态分布,如果一个变量可以看成是许多很小独立因子的乘积,则这个
变量可以看作是对数正态分布,如拟合风速分布模型,记为X~LN(,2)。

当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着一样的方差的正态分布时,
这个向量的模呈瑞利分布。
.z.