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内蒙古巴彦淖尔一中2013-2014学年高二数学下学期期中试题理
(含剖析)
第I卷(选择题)
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评卷人得分
一、选择题(题型说明)
(1,1)处的切线方程是()
【答案】D
【剖析】
B.
2x
y
3
0
D.
2x
y
1
0
试题剖析:
y'
2x
k
y'
x1
2;故所求切线方程为:y
12(x1)即
2xy
1
0应选D.
考点:函数导数的几何意义.
6i
3
4i,则复数z为(
)
20i
B
.
2
10i
C
.
8
20i
D
.2
20i
【答案】B
【剖析】
试题剖析:由已知得
z
(3
4i)
(5
6i)
(3
5)
(4
6)i
2
10i应选D
考点:复数的加减法.
“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的选项是(
)
B
.假设最稀有两个钝角
D
.假设没有一个钝角或最稀有两个钝角
【答案】B
【剖析】
试题剖析:注意到:“至多有一个”的否定应为:“最稀有两个”知需选B.
考点:1.
反证法;.
:9011,912
11,923
21,
934
31,,猜想第n(n
N*)个等式应为(
)
(n
1)
n
10n
9
B
.9(n
1)
n
10n
9
(n
1)
10n
1
D
.9(n
1)
(n
1)
10n
10
DOC版.
..
【答案】B
【剖析】
试题剖析:先观察已知等式的左边,可得第n(nN*)个等式的左边应为:9(n1)n;再
观察已知等式的右边结果:1、11、21、31、知它们构成以1为首项,10为公差的等差数
列,因此第n(nN*)个等式的右边应为:110(n1)10n9;应选B
考点:归纳猜想.
()
x
【答案】D
【剖析】
试题剖析:(lnx)
'
1
41
lnx
4
.
,
dx
2
x
2x
考点:定积分.
,正确的个数为:()
①公安人员由罪犯的踪影的尺寸估计罪犯的身高情况,所运用的是类比推理.
②农谚“瑞雪兆丰年”是经过归纳推理获取的.
③由平面几何中圆的一些性质,推测出球的某些性质这是运用的类比推理.
④个位是5的整数是5的倍数,2375的个位是5,因此2375是5的倍数,这是运用的演绎推理.
【答案】C
【剖析】
试题剖析:①人的身高与脚长的关系
:身高=踪影长
(中国人),是经过统计数据
,用
线性回归的思想方法获取的,故不是类比推理,因此错误;②农谚“瑞雪兆丰年”是人们在
长远的生产生活实践中提炼出来的,
因此是用的归纳推理,故正确;③由球的定义可知,球
与圆是有计多近似性质的,
故由平面几何中圆的一些性质,
推测出球的某些性质是运用的类
比推理是正确的;④这是运用的演绎推理的“三段论”
:大前提是:“个位是5的整数是5
的倍数”,小前提是:“2375的个位是
5”,结论为:“2375是5的倍数”,因此正确;应选
C.
考点:推理与证明.
f(x)在区间(a,b)内可导,且x0
f(x0
h)
f(x0
h)
(a,b),则lim
h
h0
的值为()
'(x0)
'(x0)
'(x0)
【答案】B
【剖析】
试题剖析:注意到:
lim
f(x0
h)
f(x0)
f'(x0)
,
进而原式可变形
h0
h
为
:
lim[
f(x0
h)
f(x0)
f(x0)
f(x0
h)]
=
h0
h
h
DOC版.
..
lim
f(x0h)
f(x0)
lim
f(x0
(
h))
f(x0)=f'(x0)+f'(x0)=2f'(x0)应选B.
h0
h
h
0
h
考点:导数的定义.
5
z
=3
是()
4i,则
B
.5
C
.1
D
.7
【答案】C
【剖析】
试题剖析:z
z
5
5
5
1
,应选C.
32
42
3
4i
3
4i
考点:复数的模.
3
3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴成立极坐标系,则点
P
的极坐标为(
)
A.(
32
,3
)
B.(
32
,5
)
C.(
3,5
)
D.(3,3
)
4
4
4
4
【答案】A
【剖析】
试题剖析:由复数的几何意义知点的直角坐标为
(-3,3),
再由极坐标与直角坐标的互化公
式:
x2
y2
且
所在象限与点(x,y)
所在象限
一致,获取
tan
y
x
32,
3
2k
,k
z取k=0知A正确.
4
考点:1.
复数的几何意义;.
x
t
1
t表示的曲线是(
)
y
2
B.
两条射线
C.
一条线段
D.
抛物线的一部分
【答案】B
【剖析】
试题剖析:由于当
1
;而当t<0
时t
1
2的,因此x
2或x
2
,应选
t>0时t
2
t
t
B.
考点:1.
基本不等式;.
:y
kx2
0与曲线C:
2cos
有交点,则k的取值范围是(
)
3
B.
k
3
C.
kRD.
kR但k0
4
4
【答案】A
DOC版.
..
【剖析】
试题剖析:由曲线C:
2
2cos两边同时乘以可得:2cos,化为直角坐标方程
得:
x
2
y
2
2x即
2
2
(x
1)
y
1
,因此曲线C是以(1,0)为圆心,1为半径的圆;由直线
l:ykx
k
2
3
20与曲线C有交点获取:
1解得:k
,应选A.
k2
1
4
考点:1.
曲线极坐标方程与直角坐标方程的互化
;.
a与函数y
x3
3x
的图像有三个相异的交点,则
a的取值范围为(
)
A.(2,2)
B.
[2,2]
C.
[2,
)D.
(
,2]
【答案】A
【剖析】
试题剖析:
y'
3x2
33(x
1)(x1)
0得x1
1,x2
1列表:
x
(-
,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+
)
y'
+
0
-
0
+
y
递加
极大值为2
递减
极小值-2
递加
画出大到图象可得:
-2<a<2,应选A.
考点:函数的极值.
DOC版.
..
第II
卷(非选择题)
请点击更正第II
卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题(题型说明)
an的前n项和为Sn,则S4,S8S4,S12
S8,S16S12
成等差数列.
类比以上结论有:设等比数列bn
的前n项积为Tn,则
T16
T4,______,_______,成等比数列.
T12
【答案】T8,T12
T4
T8
【剖析】
试题剖析:类比等比数列与等比数列的见解、通项公式及前n项和公式可知:将等差数列有关的等式中的加法改为乘法,同时减法改为除法,乘法改为乘方恰好可获取等比数列对应
成立的一个等式;由此可知应填入:T8,T12.
T4T8
考点:类比推理.
,若复数(1ai)(2i)是纯虚数,则实数a等于.
【答案】2
【剖析】
试题剖析:
(1
ai)(2
i)
(2
a)(2a
1)i是纯虚数,
2
a
0
2a
1
,故a=2.
0
考点:复数的有关见解及运算.
y
0
,y
x2
2x所围成图形的面积
.
【答案】9
2
【剖析】
试题剖析:由
y
x
解得:
x1
0,x2
3;画出图象可知所求面积应
y
x
2
2x
(3x2
1x3)03
为:
[x(x2
2x)]dx
3
(3x
x2)dx
9
3
0
0
2
3
2
考点:定积分求面积.
DOC版.
..
(x)
lnx
3x,对任意的x
[1,
)有f(x)
m恒成立,求实数m的取值
范围_______.
3
【答案】[ln1
1,
)
3
【剖析】
试题剖析:由于对任意的x[1,
)有f(x)
m恒成立,等价
[1,
1
3
1
3x
[1,)上恒成立,所
于:m
f(x)max,x
);而f'(x)
3
0在x
3
x
x
3
以f(x)在x
[1,
)上是减函数,进而f(x)max
ln1
1,故实数m的取值范围为
1
3
3
1,
).
[ln
3
考点:不等式的恒成立.
评卷人得分
三、解答题(题型说明)
:sin2tan2tan2sin2.
【答案】详见解析
【剖析】
试题剖析:从左边证到右边,切化弦;注意右边式子的形式及特点,应用平方关系和商数关系即可获证.
试题剖析:证明:左边=sin2
sin2
sin2
(1
cos2
)
cos2
cos2
sin2
sin2
cos2
tan2
sin2
右边
cos2
原命题成立。
考点:
;.
(x)
x
2t8)dt(x
0).
(t2
0
(1)求F(x)的单调区间;(2)求函数F(x)在[1,3]
上的最值.
【答案】(1)单调增区间是(2,),单调递减区间是(0,2);(2)最大值是F(3)
6,
最小值是F(2)
28
.
3
【剖析】
试题剖析:(1)第一利用牛顿-莱布尼兹公式求出函数
F(x)的表达式,并注意题中所给F(x)
DOC版.
..
的定义域为(0,
),再利用导数经过解不等式F
(x)
0及F(x)
0并与定义域取交集而
求得函数的单调区间;(2)求函数最值的一般步骤
:①求出函数在给定区间上的极值及区间
的端点所对应的函数值
;②比较上述值的大小;③得结论:其中最大者即为函数的最大值
,最
小者即为函数的最小值.
x
2
13
2
x
1
3
2
试题剖析:依题意得,
F(x)
(t
8)dt
,定义
2t
t
t8t
0
x
x
8x
0
3
3
域是(0,
).
(1)F(x)x2
2x8,
令F(x)
0,得x
2或x
4,
令F(x)
0,得
4
x2
由于定义域是(0,
),
函数的单调增区间是
(2,
),单调递减区间是
(0,2)
.
(2)令F(x)0,得x2(x
4舍),
20
,F(2)
28
6,
由于F(1)
,F(3)
3
3
28
F(x)在[1,3]上的最大值是
F(3)
.
6,最小值是F(2)
3
考点:1.
定积分的基本公式;;.
25sin,以极点为原点,极轴为
x轴正半轴,成立
平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
写出曲线C的一般方程,并说明它表示什么曲线;
(2)过点P(3,
5)作倾斜角为
3
AB的
的直线L与曲线C订交于A,B两点,求线段
4
长度和PAPB的值.
【答案】(1)
x
2
y
2
(0,5)
5
;2AB=2
(
5)5它是以
为圆心,半径为
,
的圆()
PAPB4.
【剖析】
试题剖析:(
1)由极坐标与直角坐标的互化公式:
x
cos
,且
2
x2
y2
,在已知
y
sin
曲线C的极坐标方程是
25sin两边同时乘以
得:
2
2
5
sin
,进而获取曲
DOC版.
..
线C的一般方程;
配方可知曲线C所表示曲线的种类
;(2)写出直线
l
的参数方程是
x=3-
2
t
2
C的一般方程中可获取关于
(t
是参数),
将其代入到曲线
t
的一个一元二次
y=5
2t
2
方程,由直线参数几何意义可知
AB
(t1
t2)2
4t1t2,PAPB=t1
t2t1t2,
应用韦达定理即可求出线段
AB的长度和PA
PB的值.
试题剖析:(
1)x2
(y
5)2
5
它是以(0,5)为圆心,半径为
5的圆.
=
3-
2
x
t
(2)设直线l的参数方程是
2
(t
是参数),
2t
y=5
2
代人x2
y2
25y
0,得t2
32t40
t1t2
32,t1t2
4
AB
(t1
t2)2
4t1t2
2,PAPB4
考点:1.
极坐标方程与一般方程的互化
;;.
f(x)
xalnx(a
R)
(1)当a=2时,求曲线
y
f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
求函数f(x)的极值.
【答案】(1)x
y20;(2)a
0时,函数f(x)无极值;a
0时,函数f(x)在xa
处获取极小值a
alna,无极大值.
【剖析】
试题剖析:(1)
由a=2得f(x)的剖析式,进而可求出导数f'(x);由导数的几何意义可知:
曲线y
f(x)在点A(1,f(1))处的切线的斜率k
f'(1)
,进而用直线的点斜式可写出切线
方程;(2)由f'(x)发现:当a0时f'(x)
0
方程f'(x)
0无解,当a0时,由
f'(x)
0,解得xa,因此需按a
0和a
0分类议论.
试题剖析:函数
f(x)的定义域为(0,
),f'
(x)
1
a.
x
DOC版.
..
当a=2
时,
f(x)x
2lnx,f'(x)
1
2(x
0),
f(1)
1,f'
(1)
1
,
曲线
x
y
f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为:
y
1
(x
1),即xy
2
0.
f'(x)1
a
xa,x0
由
x
x
可知:
①当a
0时,
f'(x)
0,
函数f(x)为(0,
)上增函数,函数f(x)无极值;
②当a
0时,
由f'(x)
0
,
解得x
a;
x
(0,a)时f'
(x)
0,
x
(a,
)时,
f'(x)
0
f(x)在x
a处获取极小值,且极小值为
f(a)
a
alna,无极大值.
综上:当a
0时,函数
f(x)无极值;
当a
0
时,函数f(x)在x
a处获取极小值
a
alna,无极大值.
考点:;.
:
1
1
n
1
1
1
13
(n2,nN*)
n
2
n3
2n
24
【答案】详见解析
【剖析】
试题剖析:由数学归纳法证明不等式的一般步骤可知
:第一步应试据初值
n0
2
时不等式成
立;第二步进行归纳假设
:假设当n
k(k
2)时所证不等式成立
,在此基础上来证明当
n
k
1
时所证不等式也成立
;特别注意在证
n
k1
时必然要用到
n
k(k
2)
时的结
论;第三步下结论:在第一步及第二步的基础上即可得出所证不等式对所有
n
2,n
N*都
成立.
试题剖析:证明:(1)当n
2
时,
1
1
14
,14
13
命题成立。
2
1
2
2
24
24
24
(2)假设当n
k时,
1
1
k
1
3
1
13成立
k
1
k2
2k
24
当n
k
1时,
1
1
1
1
1
k2
k
3
2k
2k
1
2k
2
1+
1
1
1
1
1
1
k1k2k3
2k2k12k2k1
13
1
1
1
24
2k1
2k2
k
1
DOC版.
..
1
1
1
1
0
2k
1
2k
2
k
1
2(2k
1)(k
1)
1
1
1
1
13
(k
1)
1
(k
1)
2
(k1)
3
2(k1)
24
当nk1时命题成立。
因此关于任意n2,nN都成立.
考点:数学归纳法.
(x)x(ex1)ax2(aR).
1
当a时,求函数f(x)的单调区间;
2
(2)
若当x
0时f(x)
0,求a的取值范围.
【答案】(1)增区间(
,
1],[0,
),减区间[
1,0]
;(2)(
,1]
【剖析】
试题剖析:(1
)由a
1
获取f(x)x(ex
1)
1x2,求其导数
2
2
'
x
x
x
,
解不等式
'
0
f
(x)
e
1
xe
x
(e
1)(x
1)
f
x
获取函数的增区间,
解不等
( )
式f'(x)
0获取函数的减区间;
(2)法一:
由当x
0时f(x)
0
得:
f(x)x(ex
1)
ax2
x(ex
1
ax)
0等价于:
ex
1ax
0在x0时恒成立,令
g(x)
ex
1
ax,注意到g(0)
0
,因此只需g'(x)
0在x
[0,
)上恒成马上可,故有
ex
a
0
在[0,
)上恒成立,则a
ex,x
[0,
)因此有a
:将ex
1
ax
0
在x
0时恒成立等价转变成
:ex
ax
1,x[0,
)恒成立
函数yex,x
[0,
)
的图象恒在函数
y
ax1,x
[0,
)图象的上方,由图象可求得a的取值范围.
试题剖析:(1)当a
1时,f(x)
x(ex
1)
1x2,
2
2
f'(x)ex
1xex
x(ex
1)(x1)
当x
(
,1)
时,f'
(x)
0
;当x
(
1,0)时,f'(x)
0时,
当x
(0,
)时,
f
'
(
)
0,
x
增区间(
,
1],[0,
),减区间[
1,0]