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(时间:120分钟满分150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只
有一个是符合题目要求的)
=而在商+后7i的定义域为(D)
,+8)B.(一8,2J
C.[0,2]D.[0,2)
5—2x>0,
[解析]由{ln(5—2%)>0,可得0Wx<)的定义域为。2).故选D.
0—120
:)是幕函数,且满足招=3,财信)=(C)
.-3
.—1
[解析]设./W",则储=±=2。=3,所以心)=(3)。=/=;.故选C.
3.(202。河南南阳一中模拟)已知函数
x
2-2,则槌]=(A)
段)=,
10g2(X—1),X>1,
1
.-1
.
53r31
[解析]由题意知X])=k)g2Z,.,..〃(j,|=21og2]—2=-].故选A.
9,+1
4.(2021•南昌市联考)函数火x)=下-的图象(B)
=x对称
9-'+1
[解析]因为段)=-5「=3,+3",易知兀v)为偶函数,所以函数/U)的图象关于y轴对
称.
5.(2021•山东宁津月考)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+8)上单调递减的函
数是(B)
0页
==ln七
==cosx
I解析]对于A,函数是奇函数,不满足题意:对于B,因为111占=山土,所以函数
是偶函数,在区间(0,+8)上,y=-lnx,函数单调递减,故满足题意;对于C,因为2口1
=2叫所以函数是偶函数,在区间(0,+8)上,>=2工,函数单调递增,故不满足题意;对于
D,函数是偶函数,在区间(0,+8)上,不是单调函数,.
x__—X
=景号•的图象大致是(C)
[解析]由<一工)=。“一:=一;]“:1=~/(X),,於)为奇函数,排除选项B;当时,
i।QX—ex
修一屋》=彳一6—4>0,2因一1<0,.•.於)<0,排除选项D;当xG(2,十8)时,左)=不二
,(eA+e-0(2r-l)-2(e'-e-0e'(2x-3)+er(2x+1)上,乂
则,㈤二1------Q」)2-----L-一------40,...兀t)在xe(2,+8)时单
调递增,排除选项A,故选C
7.(理)(2021•苏锡常镇调研区x)=e<—x在区间[—1,1]上的最大值是(D)
+-
+—1
(文)函数<x)=V—3f+2在区间[-1,1]上的最大值是(C)
A.-
[解析](理/令/'(x)=0,得x=0,令/(x)>0,得x>0,令/(x)<0,得
x<0,则函数/(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,共-1)=b1+1,式l)=e—1,1一
1)一心)=5+2—e<;+2—e<0,所以川)/一1),故选D-
0页
(文/(x)=36x,令,(x)=0,得x=[-1,0)上是增函数,在(0,1]
[-1,1]上的最大值为40)=.
8.(2020•长沙模拟)等差数列{%}中的0,043是函数段)=以3—4%2+6为-1的极值点,
则log2a2022等于(A)
[解析]/'(》)=/-8x+6,因此0,“4043是方程*一8犬+6=0的两根,由韦达定理有
〃1+〃4043=8,所以2a2022=8,42022=4,故log2a2022=log24=.
9.(202「河南溪河高中模拟)己知函数兀0是R上的偶函数,且1l-x)=/U+x),当XG
[0,1]时,段)=/,则函数尸兀v)Tog5X的零点个数是(B)
[解析1由题意知式1+》)=犬1-x)=/(x-i),
;./(x+2)=/(x),是周期为2的周期函数,在同一坐标系中作出>'=/%),y=log5
的图象
X
由图可知y=y(x)—logs%.
10.(2021•海口模拟改编)函数«r)=2?+ln二1二的零点所在的大致区间可以是(B)
入x1
A.(1,2)B.(2,3)
C.(3,4)D.(4,5)
212
[解析]易知函数/U)=:+ln=T7=;—ln(x—l)在(1,+8)上单调递减,式2)=1—In1
:!2
=1,正3)=争一1112=2詈=沼龙<(2,3).故选B.
11.(2021•安徽颍上一中模拟改编)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过
5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死
亡前的千分之一时,用--
射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是(C)
[解析I设死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过〃(〃£N*)个"半衰期''后碳14
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的含量为(,",由卜岛5,解得">"GN",所以"
量,至少需要经过10个''半衰期".故选C.
12.(理)已知函数凡r)=gWF+/一2x+l,则使得不等式人2⑼勺的+1)成立的实数机的
取值范围是(A)
(文)()若函数),=段)为偶函数,当尤》0时,於)=©},则满足不等式於)
的x的取值范围为(B)
A.(-1,1)B.[-1,1]
C.(一8,1]D.[-1,+8)
[解析](理)函数—2x+l变形后可得式x)=gkF+(x-l)2,
所以凡r)的图象关于x=l对称.
由函数单调性可知,当x>l时,函数人x)单调递增,
因为#2相)勺(机+1),所以满足|2〃L1|<|团|.
变形可得(2/九一1)2〈机2,展开可知3/n2—4/H+1<0,
因式分解可得(3加一1)(小-1)<0,
解不等式可得上<,〃<1,即实数〃?的取值范围为(;,1).
故选A.
(文)因为函数y=/(x)为偶函数,所以当x<0时,Kx)=/(-x)=(;)r=
或["'.
[x<0,
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,)
13.()若基函数段)=(祖2—5,”+7)/在R上为增函数,
+21g5+lg4+mlog〃*=4.
[解析]由题意得,加之一5团+7=1,解得m=2或加=》)在R上为增函数,.7/U)
__13131
=/m=3,/.Iog,„yj27+21g5+lg4+""og"D=log33^+21g10+31og3/=/+2+/=4.
(a-l)x~2afx<2,
14.(2020・济宁模拟)若函数於)=,、八(〃>0且aWl)在R上单调递减,
logflX,
0页
则实数a的取值范围是」乎」)
a—1<0,
[解析]由题意得解得乎即实数a的取值范围是[乎,
.log«2<(a-l)X2-2a,
1).故填[乎,1)
(x)=%+2ar-|nx,若人箝在区间1,2上是增函数,则实数a的取值范围是
[解析]/(x)=x+2“一:N0在1,2上恒成立,
即2。2一x+/在1,2上恒成立,
g(x)=-x+q在2上递减,
所以所以2a2*即a2*
-4x>2
16.()已知函数4x)=J『'若关于x的方程火x)=fcc
、(x—1)\0</<2,
有且仅有1个实根,则实数k的取值范围是(-8,0]U
I解析I关于x的方程兀0=区有且仅有1个实根,等价于函数y=/U)的图象与直线y=
=/(x)的图象与直线>=日,如图所示,
12
易知A(2,l),BQ,2),所以•由图可知,当%<0时,关于x的方程式犬)=区
有且仅有1个实根;当TwAWl时,关于x的方程_/U)="
范围为(-8,0]U1,1.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分次工)=0/一4x+3,i/GR.
0页
(1)若。=—i,求y(x)的单调区间;
(2)若ZU)有最大值3,求。的值.
[解析](1)当。=一1时,,/U)=G)—4x+3,
令/=-x2—4x+3,
由于函数f=-x2—4x+3在(-8,—2)上单调递增,在(-2,+8)上单调递减,
而y=g)在R上单调递减,
所以外)在(一8,—2)上单调递减,在(-2,+8)上单调递增,
即函数兀丫)的单调递增区间是(-2,+8),单调递减区间是(一8,-2).
(2)令8")=加-4x+3,则犬x)=Q)m),
卜>0,
由于“0有最大值3,所以g(x)—4解得。=1,
即当式x)有最大值3时,。的值为1.
18.(本小题满分12分)已知定义在R的函数兀r)=e,-er,其中e是自然对数的底数.
(1)判断/U)的奇偶性,并说明理由;
(2)若关于x的不等式2)+/(cos2x+4sinx)<0在R上恒成立,求实数m的取值范围.
|解析I(l)VxCR,正一x)=e)-e'=-/U),
所以xx)为R上的奇函数.
(2)由题意知兀v)=e'-er是R上的增函数,
2)<—y(cos2jc+4sinx)—y(—cos2x_4sinx),
则w<2—cos2x_4sinx=sin2x—4sinx+1=(sinx—2)2—3,
因为sinxW[—•1,1],则当sinx=l时,g(x)=sin2_r—4sinx+1取最小值一2,所以m<一
2.
即实数小的取值范围是(一8,-2).
19.(本小题满分12分)设_/(x)=a(x—5)2+6lnX,其中“ER,曲线y=/(x)在点(1,11))
处的切线与),轴相交于点(0,6).
(1)确定〃的值;
(2)求函数/U)的单调区间与极值.
[解析](1)因为4x)=a(x—5>+61nx,
所以/(x)=2a(x—5)+*
令x=l,得-1)=16。,f(1)=6—8a,
所以曲线y=/(x)在点(1,.汜))处的切线方程为)-16a=(6—8a
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由点(0,6)在切线上,可得6-16a=8a-6,故a=g.
(2)由(1)知,/x)=1(x-5)2+61nx(x>0),
(x—2)(x—3)
X
令f1(x)=0,解得x=2或3.
当0a<2或x>3时,f'(x)>0,
故/力在(0,2),(3,+8)上为增函数;
当2a<3时,/'(x)<0,故7U)在(2,3)上为减函数.
9
由此可知7U)在x=2处取得极大值,/(2)=2+61n2,在x=3处取得极小值_/(3)=2+61n3.
9
综上,#x)的单调递增区间为(0,2),(3,+8),单调递减区间为(2,3),兀0的极大值为]+
61n2,极小值为2+6为3.
]A'e"
20.(本小题满分12分)(理)(2021冻北四校联考)已知负*)=:+1一3,F(x)=lnx+--3x
Ace
+2.
(I)判断TU)在(o,+8)上的单调性;
(2)判断函数尸(x)在(0,+8)上零点的个数.
(文)(2021・沈阳调研)已知函数/(x)=/一2x+a,g(x)=or+5—2a.
(1)若函数y=/(x)在区间[―2,0]上存在零点,求实数a的取值范围;
(2)若对任意的a©[0,3],总存在及右[0,3],使得/Ui)=g(X2)成立,求实数”的取值范围.
1p-vfe*—e
[解析](理)(1)[(x)=—7+"=-彳一,
令g(x)=x2eA—e,x>0,
则g'(x)=eX(f+2x)>0,
即g(x)在(0,+8)上单调递增,
又g(l)=0,所以当0a<l时,g(x)<g(l)=0,则/(x)<0,当x>]时,g(x)X),则:(x)>0,
所以4%)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增.
1e"
⑵f(x)=J(x)=-+--3,且火1)=-1<0,
由(1)得三汨,X2,满足0<Xl<142,
0页
使得人X)在(0,X。上大于0,在(方,X2)上小于0,在。2,+8)上大干0,
即F(x)在(0,XI)上单调递增,在(为,X2)上单调递减,在(X2,+8)上单调递增,
而尸(1)=0,X-0时,F(x)——"8,xf+8时,F(x)—+«=,
画出函数F(X)图象的草图,如图所示.
故F(x)在(0,+8)上的零点有3个.
(文)(1)因为函数./U)的对称轴是x=l,
所以y=段)在区间[—2,0]上是减函数,
因为函数y=7(x)在区间[―2,0]上存在零点,
则必有k0)W0,
8+4》0,
即一八解得一8WaW0,
故所求实数。的取值范围[-8,0].
⑵若对任意的xi©[0,3],总存在垃G[0,3],
使得/Ui)=g(X2)成立,只需当xG[0,3]时函数y=/(x)的函数值组成的集合为函数y=g(x)
的函数值组成的集合的子集,
2x+a在区间xW[0,3]的函数值组成的集合为[a—1,a+3],
①当a=0时,g(x)=5为常数,不符合题意,舍去;
5—2aWa—I,
②当a>0时,g(x)在区间[0,3]的值域为[5—2小〃+5],所以,解得a22.
a+3Wa+5,
|"a+5Wa—1,
③当"0时,g(x)在区间[0,3J的值域为3+5,5—20,所以,一无解.
O+3W5—2a,
综上所述,实数。的取值范围为[2,+8).
21.(本小题满分12分)(“荆、荆、襄、宜四地七校”模拟)湖北省第二届(荆州)
园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办,本届园林博览会以“辉煌
荆楚,生态园博”为主题,展示荆州生态之美,文化之韵,吸引更多优秀企业来荆投资,从
而促进荆州经济快速发展,在此博览会期间,某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购,
,每生产一台需另投入
80元,设该公司一年内生产该设备x万台,且全部售完,且每万台的销售收入G(x)(万元)与
180-2x,0aW20,
年产量x(万台)的函数关系式近似满足G(x)=*{,20009000
70+—x>20.
(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式;(年利润=年销售收入一总
成本)
0页
(2)当年产量为多少万台时、该公司获得的利润最大?并求最大利润.
[解析]⑴W(x)=xG(x)~80x一50,
-2r+100^-50,04W20,
・•・W(x尸9000
-10x卜1950,x>20.
X
(2)当0<xW20时,W(x)=一正+100x—50=—2(x—25)2+1200,在(0,20]上单调递增,
...当x=20时,W(x)取得最大值
W(x)m”=-2X25+1200=1150(万元);
当x>20时,W(x)=1950-10x—上譬
=1950—10(x+^)Wl950-10义2弋+等=1350.
当且仅当》=*,即x=30时,等号成立.
W)max=1350(万元).
答:当年产量为30万台时,该公司获得的利润最大,最大利润为1350万元.
22.(本小题满分12分)(理)已知函数段)=上斗丫
(1)若函数火x)在区间(。,上存在极值,求正实数。的取值范围:
(2)如果当时,不等式犬x)》者恒成立,求实数%的取值范围.
(文)(2020•河北鸡泽一中期中)已知函数兀x)=lnx+5
(1)求於)的最小值;
(2)若方程_/(x)=a有两个根xi,X2(xi<T2),证明:xi+X2>2.
[解析](理)(1)函数的定义域为(0,+8),
/、1—1—InxInx
f(笛=一7一—丁
令f(x)=0,得x=l.
当xG(0,l)时,f(x)>0,单调递增;
当xC(l,+8)时,/(%)<0,兀0单调递减,
所以x=l为函数犬x)的极大值点,且是唯一极值点,
所以0<a<l<a+J,
故即实数a的取值范围为Q,1).
(2)当亢21时,kW------------^怛成立,
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人(x+l)(l+lnx)
令g(x)=-------------(x21),
(l+lnx+1+vM-(x+l)(l+lnx)
则g'(x)---------------p--------------
x-Inx
再令/?(x)=x—Inx(xel),贝!|(x)=l—
所以/z(x)》版1)=1,所以g'(x)>0,
所以g(x)为单调增函数,所以g(x)》g(l)=2,
故kW2,即实数”的取值范围是(-8,2].
、,11x—1
(又)(1»U>0)
所以4X)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,
故/(X)的最小值为/U)=1.
(2)若方程式x)=a有两个根xi,X2(0<%i<%2),
则lnxi+]=lnx2+±,即喏>0.
X1X2X1X2X1
要证XI+X>2,需证(X1+及)>:、">21n仔,
2X[X2A|
即证家第2喷,
设孑=7«>1),则孑一?>21n产等价于r-7>21n/.
X\X\X2X\i
令g(f)=L:-21nt,则g,⑺=]+A[=(l_;)2>0,
所以g⑺在(1,+8)上单调递增,g«)>g(i)=o,即?一;>21nf,故XI+X2>2.