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什么叫做几何学和几何图形?
几何学是数学的一门分科,它是研究物体的形状、大小和相互地点关系的科学,也就是研究现实客观世界空间形式和数目关系的一门科学。
在我们的四周世界里,各样物体都拥有形状、大小和相互之间的地点关系。比方:课桌的桌面是长方形的,魔方的每个面是正方形的,各样车轮的形状是圆的。魔方有大小之分,魔方的面的大小也是不一样样的;汽车有大小,自行车也有大小,相同是车轮,大小也不一样样。还应当看到,物体与物体之间,有着相互地点关系。比方:上下关系、前后关系和左右关系等。
公元前338年,希腊数学家欧几里得总结了劳感人民在实践中获取的几何知识,并加以系统整理,依据图形在平面或空间的形式,在几何学中分出了“平面几何”和“立体几何”两个分支。
因为几何学是研究物体的形状、大小和相互地点关系的科学,依据研究结果加以抽象归纳,便产生了几何图形。几何图形是由点、线、面联合而成的,也是点、线、面的会合。一个图形全部的点,都在同一平面内,这样的图形叫做“平面几何图形”,如长方形、正方形、三角形、梯形和圆等图形,都是平面几何图形。假如一个图形的点不全在同一平面内,这个图形就叫做“立体几何图形”,如长方体、圆柱体和圆锥体等图形,都属于立体几何图形。
什么叫做点、线、面、体?
点:在平面上只有地点,没有大小(即没有长、宽、高),不可以够切割的。线和线订交于一个点。也能够理解为“点”是“线”的界线。
在几何中,用大写字母表示点。如,图中的A点、B点、C点。
线:假如两个面订交,就会交出一条线来。也就是面和面订交于线。
一张纸对折起来的印迹就是“线”。也能够理解为“线”是“面”的界线。
线有直线和曲线等。如:长方体相邻的两个面订交于一条线(也就是长方体的一条棱),就是直线。圆柱体的侧面和一个底面订交的一条线,就是曲线。
线但是面与面订交的界线,它没有大小(即粗细),只有长短,或许说,线只有长,而没有宽和高。
面:任何物体都占必然的空间,都是用它的表面和四周切割开来。所以,能够说“体”是由“面”围成的。如:课本的封面、黑板的面、粉笔的截面、
水桶的侧面和底面等都是“面”。也能够理解为“面”是“体”的界线。
因为面是物体的表面,假如放弃物体的自己,只独自想象物体的表面,这样的面就是几何的面。几何里的面是没有厚度的(即:高),所以,面只有长和宽,而没有高。
体:当我们只研究一个物体的形状、大小而不研究它的其余性质(如颜色、重量、硬度等)的时候,我们就把这个物体叫做几何体,简称“体”。比方:一块砖与一个和砖圆满相同的纸盒,固然它们的颜色、重量、硬度以及制作资料都不一样样,只需它们的形状、大小都相同,就能够以为它们是圆满相等的两个几何体。就上述的砖和纸盒来说,它们是两个相同的长方体。
直线、射线和线段有什么不一样样?
直线、射线和线段是易于混杂的三个见解,它们之间也是有联系的,直线是基础,射线和线段是直线见解的发展。它们也是有区其余,这是它们之间的主要方面。
第一看直线,一点在空间沿着必然方向和相反方向运动,所成的图形就是直线。一张纸的折痕、双手拉紧的线,都给人以直线的形象。我们把直线看作能够向双方无量延长的,直线是无头无尾的,即是没有端点的。
直线能够用表示它上边随意两点的两个大写字母来表示。比方,直线AB,或直线BA;也能够用一个小写字母表示一条直线。比方,直线l(以以以以下图)。
经过一点,能够画无数多条直线,但是,经过两点却只好画出一条直线,这就是直线的基天性质。
除此以外,两条直线订交,只有一个交点。
其次看射线,在直线上某一点一旁的部分叫做射线。这一点叫做射线的端点。射线的另一端是能够无量延长的,所以,没有端点。射线只有一个端点;是一条半直线。近似探照灯光和手电筒所射出的光芒,都能够看作射线的实质例子。
射线平常用表示它的端点和射线上其余一点的两个大写字母来表示,并且把表示端点的字母写在前面。比方,以点O为端点的射线,能够在射线上再取一点A,记作:射线OA(如图)。
最后再看线段,直线上随意两点间的部分叫做线段。拥有必然长度的拉直了的细绳,可看作线段的实质例子。线段是有长短的,所以能够进行胸怀。
线段平常用表示它的两个端点的大写字母来表示。比方,线段AB,或许线段BA。也能够用一个小写字母表示。比方,线段a(以以以以下图)。
在连结两点的全部线中,线段最短。这就是线段的基天性质。
什么叫做“角”?
几何中所指的“角”的定义是:从一点画出的两条射线所构成的图形,叫做“角”。这里所说的点(即两条射线的端点),叫做角的“极点”,构成角的两条射线,叫做角的“边”。
角的大小与两边的长短没关,只与角两边的相互地点关系相关。这一点,在初学时很简单混杂,必然惹起注意。
角用符号“∠”来表示。
如:
从图2中能够看到:角也能够看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的。
一个角一般有以下三种表示方法:
(1)用“∠”与三个大写字母表示角。
如:
图3中的角记作:∠AOB;
图4中的角记作:∠BOC,∠AOB,∠AOC。
(2)用“∠”与一个大写字母表示角。
这里所指的一个大写字母,应当是角顶上的字母。并且这类用一个大
写字母表示角的方法,只适用于单个的角。如图3,用∠O来表示,假如是
拥有共同极点的两个或两个以上的角时,则不可以够够用这类方法来表示角。如图
4,假如用∠O来表示,就表述不清终归∠O表示哪个角。
(3)用“∠”与一个小写希腊字母或一个数字表示角。
比方:以以以下图中的角分别记作:∠1、∠2、∠α、∠β。
几何中的角可分为哪几种?
(1)周角:一条射线绕着它的端点,按逆时针方向旋转,转到这条射线回到它的本来的地点时,就形成了一个周角。
如图
,转到这条射线又回来的地点,形成了一个周角。一个周角等于360°,一个周角是一个平角的
倍。
(2)平角:一条射线绕着它的端点,按逆时针方向旋转,转到和本来地点成为一条直线,这时所成的角,叫做平角。
如图
图中的射线OA绕它的端点O,按逆时针方向旋转,转到射线OB的地点上(射线OA与射线OB构成一条直线),形成一个平角。
一个平角等于180度,记作180°。
(3)优角:一个大于平角又小于周角的角,叫做优角。优角在小学数学教材中没有出现,但在讲课中经常碰到学生提出这样的问题:比周角小又比平角大的角叫什么角?181°的角是什么角等等。
如图
优角大于180°,小于360°。
(4)直角:等于平角一半的角,叫做直角。
如图
直角平常记作“RT∠”。直角的大小平常用d来表示,这样,平角等于2d,周角等于4d。
(5)钝角:一个比平角小又比直角大的角叫做钝角。
如图
钝角的度数大于90°,小于180°。
(6)锐角:小于直角的角叫做锐角。
如图
锐角小于90°。
(7)余角:当两个锐角∠AOB与∠BOC之和等于一个直角∠AOC时,此中一个角∠BOC叫做另一个角∠AOB的余角。这两个角叫做互为余角。
如图
(8)邻角:当两个角有一个公共的极点,有一条公共的边,这两个角其余两条边在公共边的双侧,这两个角叫做互为邻角。
如图
图中的OC是∠AOC与∠COB的公共边,∠AOC是∠COB的邻角;∠BOC也是∠COA的邻角。
(9)补角:两个角的和等于平角,这两个角叫做互为补角。也就是说,此中任一个角是另一个角的补角。
如图
图中的∠1是∠2的补角,∠2是∠1的补角,或许说,∠1与∠2互为补角。
(10)对顶角:把一个角的两边分别向相反方向延长,这两条延长线所夹的角,叫做原角的对顶角。
如图
图中的∠AOD与∠BOC、∠AOB与∠DOC;
两对顶角是相等的。图中的∠AOD=∠BOC;∠AOB=∠DOC;。
(11)三线八角:
两条直线被第三条直线所截,所得的
八个角,叫做三线八角。
图中的l1、l2、l3和∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8就是三线八角。按上述
八个角的相互地点,恩赐以下不一样样名称:
①同位角:当形成三线八角时,假如有两个角分别在两条直线的同一方,并且在第三条直线的同一旁,这样的一对角,叫做同位角。
如图中的∠1与∠5、∠2与∠6、∠4与∠8、∠3与∠7都是同位角。
②内错角:假如两个角都在两直线的内侧,并且在第三条直线的双侧,那么这样的一对角叫做内错角。
图中的∠6与∠6、∠4与∠5都是内错角。
③外错角:假如两个角都在两直线的外侧,并且在第三条直线的双侧,那么这样的一对角叫做外错角。
图中的∠1与∠8、∠2与∠7都是外错角。
④同旁内角:假如有两个角都在两条直线的内侧,并且在第三条直线的同旁,那么这样的一对角,叫做同旁内角。
图中的∠3与∠5、∠4与∠6都是同旁内角。
⑤同旁外角:假如有两个角都在两条直线的外侧,并且在第三条直线的同旁,那么这样的一对角,叫做同旁外角。
图中的∠1与∠7、∠2与∠8都是同旁外角。
垂直和垂线有什么不一样样?
垂直和垂线是两个不一样样的见解。垂直的含义是:两条直线订交成直角,这两条直线叫做相互垂直。
图中的直线AB与直线CD订交于O,并且它们所成的角等于90°,所以,直线AB与CD相互垂直。
在两条相互垂直的直线中,此中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。
垂直平常用符号“⊥”来表示。如图中的AB垂直于CD,可记作AB⊥CD,读作AB垂直于CD。有时为了把垂足也表示出来,也能够写作AB⊥CD于O,读作:AB垂直于CD于O点。
垂线还拥有以下两个性质:
1)经过一点且只有一条直线垂直于已知直线;
2)从直线外一点到这条线上的各点所连结的线段中,和这条直线垂直的线段最短。
画垂线时的重点是什么?
平常画垂线所借助的工拥有两种:一种是借助“三角板”画垂线;另一种是借助“直尺、圆规”来画垂线。
用三角板画一条直线的垂线,一般所给的条件有两种:
1)过直线外一点画这条直线的垂线。
2)过直线上的一点画这条直线的垂线。如图:
比方:已知点P是直线AB外的一点,用三角板过P点作PO垂直于
AB。
如图①,把三角板一条直角边靠在直线AB上(即把三角板的一条直角边与直线AB重合),并沿AB挪动,使另一条直角边靠上P点,固定住三角板,并用铅笔沿着这另一条直角边画一条直线PO,直线PO与直线AB交于O点,这样,PO就是直线AB的垂线。
用一个三角板作垂线时,经常在凑近垂足O点处的一段不简单作得很
好。能够采纳另一种方法,如图②所示:用两个三角板,把一个三角板(如虚
线中的三角板)先固定住,此后把另一个三角板与它靠紧,再拿去第一个
三角板,固定住第二个三角板,用铅笔沿着第二个三角板的一条边(靠上P
点的一条边)画一条直线PO。这类方法的重点是第二个三角板靠P点的
一条边与直线AB订交,所以,在垂足O处,能够画得正确些。
又如:已知点P是直线AB上的一点,用三角板过P点作PC垂直于直
线AB。
如图:
如图①,把三角板的一条直角边靠在直线AB上,沿着AB挪动,使另一条直角边靠上P点(即直角极点靠上P点)时,把三角板固定,并且用铅笔沿这另一条直角边画一条直线PC与直线AB订交于P点,则PC是AB的垂线。
与上例相同,也能够按图②所示,用两个三角板,当第一个三角板的一条直角边靠在直线AB上,沿AB挪动到另一条直角边靠上P点时,固定住三角板,把第二个三角板的一条边与它靠紧,此后拿掉第一个三角板,用铅笔沿第二个三角板靠P点的一边画一条直线PC,则PC是AB的垂线。
用直尺和圆规画一条直线的垂线时,平常有两种状况:
(1)过直线AB外的一点P作AB的垂线。
(2)过直线AB上的一点P作AB的垂线。
如图:
如图①,以P为圆心,以大于P到AB的距离为半径作弧,交AB于E、
PD,PD交AB于O,则PD是AB的垂线,垂足为O。
如图②,以P点为圆心,以任一长为半径作弧交AB于E、F;以E、
的垂线,垂足为P。
平行与平行线有什么关系?
平行与平行线是两个不一样样的见解,它们之间又有着内在的联系。