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命题范围:数列求和常用的方法.
[基础强化]
一、选择题
{&}的通项公式为&=2"+2〃-1,则数列{a}的前"项和为()
"+n-"+'+n-l
"+〃-2
{4}的公差为2,若色,冬,备成等比数列,贝"{&}的前〃项和S,=()
A./?(/?+1)(n—1)
n(T?+1)n(/?-1)
C.---------D.---------
3,数歹ijLi+2,1+2+3'…,1+2+3H---n…的刖'项和为(
C----D---------
n+12(〃+l)
()
A.,2O18+1B..2018—1
+-l
}满足则其前100项和为()
{4}满足:a+1=为一&1(422,〃£N"),<31=1,a=2,S,为数列{&}的前
〃项和,则$018=()
7.[2022•陕西省西安中学三模]数列{a},依}满足"e=1,8=#+54+6,
则{4}的前10项之和为()
45
A,13B,13
c—1)—
3939
为+2,〃是奇数,
{a“}中,ai=a2=l,a,,+2=L0/由我则数列{为}的前20项和为()
[2a,„〃是偶数,
9.[2022•江苏模拟]已知等差数列{a,,}的前9项和为18,函数f(x)=(x-2):'+l,则
f(ai')+/(a2)H---Ff(与)=()
二、填空题
,为等差数列{a,,}的前〃项和,已知国+a+&1=6,则W=.
{4}满足a,=l,且an+1—a„=n+l(/?GN,),则数歹ll1}]的前10项的和为
12.[2020•全国卷I]数列{4}满足a„+2+(-l)-a„=3n-l,前16项和为540,则a,
[能力提升]
,1+2,1+2+2%1+2+22+2\1+2+2%…+2",…的前〃项和
为()
"-,2"-n
"+'—〃+'-p-2
14.[2022•安徽省联考]已知数列{a}为等比数列,公比gWl,国=3,3a,2&,♦成
等差数列,将数列{aj中的项按一定顺序排列成a“a”a"&,aha3,a”a“a3,a”…
的形式,记此数列为{&,},数列{4}的前〃项和为S”则S的值是()
15.[2022•安徽省滁州市检测]已知数列{&}满足:31—1,&=4,4&+L3&-酰2=0,
设(2几+1)1g(2所+1)'•则打+庆+…+如笈=--------,
16.[2022•江西省赣州市一模]数列{4}满足a+&+】=〃2•sin(差•)(〃£2),若数列
{&}前n项和为S„则S°=
专练31数列求和
=(2+―+…+2")+(1+3+5+…+?〃-1)=2+(1+21—1)"=艺
1—22
+,—2+星
,a=a成等比数列,,片=aa,
;・(4+34=(功+中(国+7#,得松=d=2,
n(n—1)
Sn=na\+---------d=n(刀+1).
3B_______1_______=__?_
•1+2+3+…+"—(l+〃)〃n+V'
,$=2(1-宗系)
c/1\2/7
=2"—)="•
,:扁+犷后7b:.Soi8=(^2-1)+(4-^2)+…+(^2019-
42018)=#2019—1.
=2k-l时,幽+a2i=2,...{a,}的前100项和Soo=(a,+a2)+(a3+S1)+•••
+(外+au»)=50X2=100.
•H〃+1=3n-Bn-1fHl=1,念=2,
.'.a3=L&=-1,次=—2,ae=-1,a?=l,由=2,…,故数列{a}是周期为6的周
期数列,且每连续6项的和为0,故£018=336*0+4017+e018=臼+/=3.
〃=1,an=n+5/?+6,故4=正日不^=廿万一S5,故{4}的前10项
之和为———+—一—+…+———=一一—=—
445121331339,
,数列{瓯}是首项为1,公比为2的等比数列,数列{瓯-J是首项为
/1___910\1AKZQ
1,公差为2的等差数列,故数列{&}的前20项和为———+10X1+--X2=1123.
1—Z2
选C.
,£=7=18,所以国+悬=4,a+a=/+々+的=&+
卷=2左=4,55=2,又f(x)=(x—2)'+1,则f(x)+F(4—x)=(%—2)J+l+(4—x—2)"+1
=2,所以f(a)+F(H2)T卜—="(a)+f(a&)]+[f(&)+F(ag)]+"(&)+/*(&)]+
"(a)+A<36)]+Ha)=4X2+1=9.
:18
解析:设等差数列仿〃}的公差为d•••&+备+加=6,
,3ai+l2d=6,即团+4d=2,.•.a=2,.•.■$,='3七;'一义「=」色会」=18.
H-答案:YY
解析::&+1—a=〃+1,,当〃22时,也一囱=2,用一为=3,国一金=4,…,an—a„
-\=n,
(2+〃)(刀-1)..(刀+2)(77-1)n+n.、.
••3n-dl=2,•・4=1I2=2(〃32)
2I
nn
又当〃=1时51=1符合上式,/.afi=o,
Z=7+^=2(n-7+T)
...航=2(T+,打…+5―。)=2(T)若
:7
解析:令n=2k(D,则有即+2+骸=64一IJehO,
/.a2+^i=5,<3fi+a=17,aio+ai2=29,a,i+a6=41,
・,•前16项的所有偶数项和S偶=5+17+29+41=92,
・••前16项的所有奇数项和S奇=540—92=448,
令〃=24一1(女£“),则有色人】一色—=64—4(左£叶),
S2A+1~31=(&-4)+(曲-&)+(&-a)+•,,+(&什1一愚*-1)=2+8+14+…+64-4
k(2+64—4)
=A(3A—1)(A-eN*),
2
.,.a2A+i=A(3A—1)+c?i(AeN*),
・・。3=2+囱,的=10+鼻,多=24+为,曲=44+4,臼1=70+d,***@13=102+功,<315=140
+dl,
・・・5奇=a+&+・・・+&5=84+2+10+24+44+70+102+140=8功+392=448.
31=7.
1—9°
,得a=1+2+2“+…+2"i=~~=2n—1,
1—z
9—2"+i
:5=(2'-1)+(22-1)+(23-1)+-+(2"-1)=(2+2?+…+2")~n^~~;-一n=
1—Z
2"+'-n-2.
{a}为等比数列,公比g#l,a=3,3&,2a”为成等差数列,所以
4a2=3at+a3,即4g=3+不,解得夕=1或g=3.
因为所以片3,所以a,,=a『=3",其前〃项和为—U二:;
1—6Z/
所以£』+…£+^(f-|)+44+-+<4+44
1,2,3,,7、,3'3,3'3
=吊(3-+3+…+3)+---X7=1638+T—TX7=1668.
乙乙乙乙乙
2022
:
2023
解析:依题悬4=1,&=4,4&+1-3a,-2+2=0,a+2-&+1=3(a+1-a),
所以数列仿大一为}是首项/一&=3,公比为3的等比数歹是所以a+1一品=3”,
afi=a\+(含一&)+(&-/)+・・♦+(4-&LI)
1—V—1
=1+3+3?+…+3〃T=丁得=三,a=l也满足,
1—32
所以a=3号”-1,
,_1_1」1
“Iog33"log33"+in(T?+1)n〃+1'
所以b\+bi-\----------Fb2022=l-)+)—-…1_____1________1___2022
^2022~2023^1-2023=2023'
乙乙3
:-800
n•sin(等),〃为奇数
:
解析:由已知可得an+a„+]—n•sin(g~)=<
.0,"为偶数
So=(句+&)+(a^+ai)+(全+a)+…+(&g+aio)
=/Xsin-+32Xsin^~+52Xsin^-H---F392Xsin片
=l2-32+52-----392
=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+••■+(37-39)(37+39)
=-2X(1+3+5+7+…+37+39)
1+39
=-2X—X20=-800.