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.教课内容:
函数的定义域与值域、单一性与奇偶性
:
理解函数的性质,能够运用函数的性质解决问题。:函数性质的运用.
:函数性质的理解。[学****过程]
一、知识概括:
求函数的分析式
1)求函数分析式的常用方法:①换元法(注意新元的取值范围)②待定系数法(已知函数种类如:一次、二次函数、反比率函
数等)
③整体代换(配凑法)
④结构方程组(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g
x)为偶函数等)
2)求函数的分析式应指明函数的定义域,函数的定义域是使式子存心义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实质意义。
3)理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。
求函数的定义域
求用分析式y=f(x)表示的函数的定义域时,常有以下几种
状况:
①若
②若
f(x)是整式,则函数的定义域是实数集R;f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于
0的实数
集;
③若f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数会合;
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都存心义的实数会合;
⑤若f(x)是由实质问题抽象出来的函数,则函数的定义域应切合实质问题.
求函数值域(最值)的一般方法:
1)利用基本初等函数的值域;
2)配方法(二次函数或可转变为二次函数的函数);
3)不等式法(利用基本不等式,特别注意形如型的函数)
4)函数的单一性:特别关注的图象及性质
5)部分分式法、鉴别式法(分式函数)
6)换元法(无理函数)
7)导数法(高次函数)
8)反函数法
9)数形联合法
求函数的单一性
1)定义法:
2)导数法:
3)利用复合函数的单一性:
4)对于函数单一性还有以下一些常有结论:①两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减
(增)函数的差是______;
②奇函数在对称的两个区间上有_____的单一性;偶函数在对称
的两个区间上有_____的单一性;
③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单一性;
5)求函数单一区间的常用方法:定义法、图象法、复合函数法、导数法等
6)应用:比较大小,证明不等式,解不等式。
函数的奇偶性
奇偶性:定义:注意区间能否对于原点对称,比较f(x)与f
(-x)的关系。f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶
函数;
(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。鉴别方法:定义法,图象法,复合函数法
应用:把函数值进行转变求解。
周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的随意x知足:f
x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其余:若函数f(x)对定义域内的随意x知足:f(x+a)=f
x-a),则2a为函数f(x)的周期.
应用:求函数值和某个区间上的函数分析式。二、典型例题剖析
={a1,a2,a3},B={b1,b2}求从会合A到会合
B的映照的个数。
剖析:解决这种问题,要点是要掌握映照的观点:设A、B是两
个会合,对于会合A中的任何一个元素,依据某种对应法例f,若集
合B中都有独一确立的元素和它对应,这时对应法例f叫做从会合A
到会合B的映照。这里要掌握要点的两个词“任何”、“独一”。对
于本例,会合A={a1,a2,a3}中的每一个元素的象都有b1或b2这
两种情况,由乘法原理可知,A到B的映照的个数共有N=222=8个。
|BC|=4,BC的中点为M,点A与B、C两点的距离之和为6,设|AM|=y,|AB|=x,求y=f(x)的函数表达式及这函数的定义域。
解:1若A、B、C三点不共线,如下图,由余弦定理可知,
x2=22+y2-4ycosAMB①
6-x)2=22+y2-4ycos(180-AMB)②
+②x2+(6-x)2=2y2+8y2=x2-6x+14
又x2-6x+14=(x-3)2+5恒正,又三点A、B、C能构成三角形
<x<5
若三点A、B、C共线,由题意可知,
x+4=6-x,x=1或4+6-x=xx=5
综上所述:
说明:第一,第一要剖析三点A、B、C能否在同一条直线上,由于由题意,A、B、C不必定能构成三角形,它们也可在同一条直线上,所以要分两种情况来议论。第二,实质问题在求分析式时要特别注意函数的定义域。
(x)为定义在R上的偶函数,当x-1时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0),斜率为1的射线,又在y=f(x)的图象中有一部分是极点在(0,2),且过点(-1,1)的一段抛物线,试写出函数f(x)的表达式,并在图中作出其图象。
解:(1)当x-1时,设f(x)=x+b
∵射线过点(-2,0)0=-2+b即b=2,f(x)=x+2
2)当-11时,设f(x)=ax2+2
∵抛物线过点(-1,1),1=a(-1)2+2,即a=-1f(x)=-x2+2
3)当x1时,f(x)=-x+2
综上可知:f(x)=作图由读者来达成。
(1)(2)
解:(1)
x4或x-1且x-3,即函数的定义域为(-,-3)(-3,-1)
[4,+]
(2),则
0x2-3x-108,即
3x<-2或5<x6即定义域为[-3,-2](5,6)
说明:求函数的定义域,我们经常能够从以下三个方面来考虑:
如有分母则分母不为零、如有偶次根式则被开方数大于或等于零、如有对数式,则真数大于零、底数大于零且不等于1。求函数的定义域,实质上就是求由以上不等式构成的不等式组的解集。
变、已知函数f(x)的定义域为[-1,4],求的定义域。
解:,则
又,或
则或即为所求函数的定义域。
说明:本题实质上是求复合函数的定义域,我们把当作是由y
f(u)、两个函数复合而成的,由于-1u<4,则,进而求出x的范围,此外,对不等式进行倒数运算时,应注意不等式两边一定同号,取倒数后不等号的方向改变,这里也是学****时经常简单发生错误的地方,应加以重视。
,不等式:恒建立,务实数a的取值范
围。
解:令f(x)=|x-1|+2|x-2|,去绝对值把f(x)表示成分段函数后为
5-3xx<1
(x)=3-xx23x-5x>2
作出y=f(x)的图象如图,由此可知f(x)的最小值为1,f
x)>a对一确实数x恒建立,则a<1。
说明:该题看上去是一个不等式的问题,若用去绝对值分类讨
论的方法来求解则比较繁锁,而假如注意到不等式左侧是一个对于x
的函数,只需利用数形联合的思想求出此函数的最小值就很快解决了
问题,这种解题思想应惹起我们的注意。此外,对于函数f(x)=
|x-1|+2|x-2|只需把它写成分段函数的形式,作出函数的图象,则该函数的全部性质,包含函数的单一区间,值域等全部问题都能够水到渠成了。
。解:令,则13-4x=t2
该二次函数的对称轴为t=1,又t0由二次函数的性质可知y4,
当且仅当t=1即x=3时等式建立,原函数的值域为(-,
4)。
说明:对于全部形如的函数,求值域时我们能够用换元法律
转变为对于t的二次函数在区间[0,+)上的最值来办理。这里
要注意t0的范围不可以少。如:已知f(x)的值域为,试求函数的值域。该题我们只需要把f(x)当作是一个变量,则求值域时仍可用上述换元法,可是假如被开方数不是对于x的一次式,而含x的平方项,则就不可以用上述换元法了。如求函数的值域,若令,则x没法用
t来表示。这里我们假如注意到x的取值范围:-22,则-11的话,
我们就能够用三角换元:令[0,],问题也就转变为三角函数求最值
了。相同我们作三角换元时,要注意的限制条件,由于当取遍0到之
间的每一个值时,恰巧能够取遍-1到1之间的每一个值,若不限制
的范围,则根号没法直接去掉,就会给我们解题增加麻烦。
。(1)(2)
解:(1)先求出函数的定义域:
-27,又在区间[-2,7]上函数单一递加,单一递加,所以在
定义域内也单一递加。
当x=-2时,;当x=7时,
(2)∵0y2=x2(1-x2)由基本不等式可知:
y2=x2(1-x2),又y,。
说明:对于一些比较复杂的函数,求值域或最值时,假如我们
能利用函数的单一性、奇偶性或运用基本不等式,问题常常会很快得
到解决。在运用基本不等式求最值时,要注意“一正二定三相等”的
条件,特别是要注意等号可否建立。
>0,x[-1,1]时函数y=-x2-ax+b有最小值-1,
最大值1,求使函数获得最小值和最大值时相应的x的值。
解:
a>0,<0,又定义域为[-1,1]
=1时,即-1-a+b=-1a-b=0
下边分a的情况来议论:
当0>-1即0<a2时,当时,即,则
a2+4a-4=0,
又a(0,2),则
当<-1,即a>2时,当x=-1时
1+a+b=1,a+b=2又a=ba=1与a>2矛盾,舍去综上所述:x=1时,,时。
=f(x)=(a,b,cR,a0,b0)是奇函数,当x0时,f(x)有最小值2,此中bN且f(1)
1)试求函数f(x)的分析式;
2)问函数f(x)的图象上能否存在对于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明原因
解:(1)∵f(x)是奇函数,
(-x)=-f(x),即
=0,∵a0,b0,x0,f(x)=2,
当且仅当x=时等号建立,于是2=2,a=b2,
由f(1)<得<即<,2b2-5b+2<0,解得<b<2,又bN,b
1,a=1,f(x)=x+
(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上,而且对于
1,0)的对称点(2-x0,-y0)也在y=f(x)的图象上,则消去y0得x02-2x0-1=0,x0=1
=f(x)的图象上存在两点(1+,2),(1-,-2)对于(1,
0)对称
(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+)上是增函数,能否存在实数m,使f(cos2-3)+f(4m-2mcos)f
0)对全部[0,]都建立?若存在,求出切合条件的全部实数m的范围,若不存在,说明原因
解:∵f(x)是R上的奇函数,且在[0,+)上是增函数,f
(x)是R上的增函数于是不等式可等价地转变为(fcos2-3)(f2mcos
4m),
即cos2-32mcos-4m,即cos2-mcos+2m-2
设t=cos,则问题等价地转变为函数
(t)?=t2-mt+2m-2=(t-)2-+2m-2在[0,1]上的值恒为正,又转变为函数g(t)在[0,1]上的最小值为正
当0,即m0时,g(0)=2m-21与m0不符;当01时,即02时,g(m)=-+2m-20
4-24+2,?4-22
当1,即m2时,g(1)=m-11m2
综上,切合题目要求的m的值存在,其取值范围是m4-2
另法(仅限当m能够解出的状况)cos2-mcos+2m-20对于[0,]
恒建立,
等价于m(2-cos2)/(2-cos)对于[0,]恒建立
∵当[0,]时,(2-cos2)/(2-cos)4-2,