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第十一章有限元分析方法概述
1、基本概念
有限元分析方法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代没计计算方法。它是20世纪50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法,随后很快就广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题.
在工程分析和科学研究中,常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题,如位移场、应力场和温度场等问题。求解这类场问题的方法主要有两种:用解析法求得精确解;用数值解法求其近似解。应该指出,能用解析法求出精确解的只是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。而对于绝大多数问题,则很少能得出解析解。这就需要研究它的数值解法,以求出近似解。目前工程中实用的数值解法主要有三种:有限差分法、,以有限元法通用性最好,解题效率高,目前在工程中的应用最为广泛.
下面通过一个具体例子,分别采用解析法和数值解法进行求解,从而体会一下有限元分析方法的含义及其相关的一些基本概念.
如下图所示为一变横截面杆,杆的一端固定,另一端承受负荷,试求杆沿长度方向任一截面的变形大小。其中,杆的上边宽度为,下边宽度为,厚度为,长度为,杆的材料弹性模量为。已知=4450N,=50mm,=25mm,=3mm,=250mm,=72GPa。
①采用解析法精确求解
假设杆任一横截面面积为,其上平均应力为,应变为。根据静力平衡条件有:
根据虎克定律有:
而任一横截面面积为:
任一横截面产生的应变为:
将上述方程代入静力平衡条件,进行变换后有:
沿杆的长度方向对上式两边进行积分,可得:
将表达式代入上式,并对两边进行积分,得杆沿长度方向任一横截面的变形量:
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当分别取0、62。5、125、187。5、250值时,变截面杆相应横截面处的沿杆长方向的变形量分别为:
②采用数值解法近似求解
将变横截面杆沿长度方向分成独立的4小段,每一小段采用等截面直杆近似,等截面直杆的横截面面积为相应的变截面杆横截面面积的平均面积表示,每一小段称为一个单元,,变横截面杆就可以用5个节点和4个单元组成的模型来近似表示,如右图所示。
假设任一横截面面积为A、长为的等截面直杆,在轴向拉力F的作用下产生变形量,则该直杆横截面上的应力和应变分别为:
根据虎克定律:可得:
上述方程与线性弹簧的方程极为相似,表明一个中心点集中受力且横截面相等的等截面直杆可以等效为一个弹簧,其等效刚度为:
因此,变横截面杆可以看作由四个线性弹簧串联起来的模型来近似表示,如下图所示,每一个单元都可以视为一个线性弹簧,其弹性行为符合以下方程:
下面考虑每一个节点的受力,根据静力平衡条件,每一个节点上的受力总和为0,即:
节点1:
节点2:
节点3:
节点4:
节点5:
将反作用力R1和外力P从内力中分离出来,重新对上述五个方程组成的方程组进行变换,得:
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节点1:
节点2:
节点3:
节点4:
节点5:
将上述方程组写成矩阵形式,有:
将反作用力和外力分离出来,可以重组上述矩阵,得:
写成一般形式,可得:
即表示:
引入边界条件,根据本题的要求,节点1的位移为0,即,则有如下矩阵形式:
通过求解上述矩阵方程,可得每个节点的位移,进而可以求得每个节点的反作用力,每一个单元的应力和应变。即:
根据变横截面杆结构的已知参数可得:
当时,
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当时,
当时,
当时,
当时,
每个单元的等效刚度系数
总体刚度矩阵:
应用边界条件和负荷,可以得到:
求解该方程,可得:
而第一种精确求解方法求得的每个节点处的位移分别为:
比较两种结果表明:采用数值解法近似求解的结果与解析法精确求解的结果相当接近,如果将变横截面杆沿杆长方向分离成的单元越多,数值解法求解的结果将与精确解法求得的结果误差将会越来越小。
2、有限元法的分析过程
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所谓连续体是指所求解的对象(物体或结构),所谓离散化就是将所求解的对象划分为有限个具有规则形状的微小块体,每个微小块体称为单元,两相邻单元之间只通过若干点互相连接,,相邻单元只在节点处连接,载荷也只通过节点在各单元之间传递,用这些有限个单元构成的集合体来近似代替原来的连续体。这种由单元和节点构成的集合体称为有限元分析模型。
离散化也称为划分网格或网格化。单元划分后,给每个单元及节点进行合理编号;选定坐标系,计算各个节点坐标;确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。下图所示为将一悬臂梁建立有限元分析模型的例子,图中将该悬臂梁划分为许多三角形单元,三角形单元的三个顶点都是节点。
结构离散化后,单元与单元之间利用单元的节点相互连结起来,单元节点的设置、性质、数目等应视具体问题的性质、描述变形形态的需要和计算精度而定。所以有限元法中分析的结构已不是原有的物体或结构物,而是同样材料的由众多单元以一定方式连结成的离散物体。这样,用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理,则所获得的结果就与实际情况相接近。
2。2单元特性分析
连续体离散化后,即可对单元体进行特性分析,简称为单元特性分析。单元特性分析主要有两项:选择单元位移模式(位移函数)和分析单元的特性,即建立单元刚度矩阵。
根据材料学、工程力学原理可知,弹性连续体在载荷或其他因素作用下产生的应力、应变和位移,、应变和应力,必须对各单元中位移的分布作出某种假设,也就是假定单元中任一点的位移是单元节点位移的某种简单的函数,以此模拟单元内位移的分布规律,这种函数就称为位移模式或位移函数。
选择适当的位移函数是有限单元法分析与计算中的关键,通常采用多项式作为位移模式。因为多项式的数学运算比较方便,并且所有光滑函数的局部都可以用多项式逼近。至于多项式的项数和阶次的选择,,多项式的项数应等于单元的自由度数(单元节点独立位移的个数),多项式的阶次应包含常数项和线性项等。
选定好单元位移模式后,即可进行单元力学特性分析,将作用在单元上的所有力(表面力、体积力、集中力)等效地移置为节点载荷。根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等,应用
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有关的力学原理建立单元内节点力与节点位移之间的方程式,从而导出单元刚度矩阵。
2。3整体分析
在对全部单元进行完单元分析之后,就要进行单元组集,即把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵,以及将各单元的节点力向量集成总的力向量,。
由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数方程,在求解之前,必需根据具体情况,分析与确定求解对象问题的边界约束条件,并对这些方程进行适当修正.
2。5有限元方程求解
解方程,即可求得各节点的位移,进而根据位移计算单元的应力及应变.
3、有限元法的理论基础
有限元法是一种离散化的数值解法,对于结构力学特性的分析而言,其理论基础是能量原理。根据未知数的性质和分析方法的不同,有三种基本解法:
1)位移法。位移法采用最小势能原理或虚位移原理进行分析。它以节点位移作为基本未知量,选择适当的位移函数,进行单元的力学特性分析,在节点处建立单元刚度方程,再合并组成整体刚度矩阵,解出节点位移后,,规律性强,易于编写计算机程序。所以得到广泛应用,其缺点是精度稍低。
2)应力法。应力法常采用最小余能原理进行分析。它以节点力作为基本未知量,在节点处建立位移连续方程,求解出节点力后,再求解节点位移和单元应力。力法的特点是计算精度高。
3)混合法。,建立平衡方程进行求解。
在进行结构静力学分析中,对大多数问题,位移法要比应力法简单得多,从而得到了最广泛的应用和发展,在本书中只讨论有限元位移法。
4、有限元分析软件
目前有限元分析软件可以分为三类:
1)通用有限元分析软件:这类软件自成体系,侧重点有所不同,但解决工程问题的领域比较宽,适应性和通用性强,比较有代表性的有:ABAQUS、ADINA、ANSYS、MARC和NASTRAN等
2)专用有限元分析软件:主要特点是在某一专门领域内,开发了专门的功能,强调专用性。比较有代表性的有:ADAMS、DADS、MSC/FATIGUE等等。
3)嵌套在CAD/CAM系统中的有限元分析模块:这类分析模块与设计软件集成为一体,有限元分析在工程师所熟悉的设计环境中进行,功能没有专用或通用有限元分析软件那么强大全面,但它们解决一般工程问题的能力也是很强的,比较有代表性的有:I
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—DEAS、PRO/ENGINEER和UNIGRAPHICS等CAD/CAM/CAE系统中的有限元分析模块。
采用有限元分析软件进行结构分析的基本步骤包括:
1)预处理阶段,分析对象的有限元网格剖分与数据生成。主要包括以下几个方面:建立求解域并将之离散化成有限元,即将问题分解成节点和单元;假设代表单元物理行为的形函数,即假设代表单元解的近似连续函数;对单元建立方程;将单元组合成总体的问题,构造总体刚度矩阵;应用边界条件、初值条件和负荷。
2)求解阶段。求解线性和非线性的微分方程组,得到节点的值.
3)后处理阶段。根据工程和产品模型与设计要求,对有限元分析结果进行用户所要求的加工和检查,并已图形方式将结果提供给用户,辅助用户判定计算结果与设计方案的合理性。具体包括:有限元分析结果的数据平滑,各种物理量的加工和检查,如:结构变形图、应力分布图和结构动力振型图等,针对工程和产品设计的要求与工程规范对结果进行校核,根据计算结果进行设计优化与模型修改,还包括计算结果的文档整理等。
目前,应用比较广泛的有限元分析软件主要是ANSYS软件。
ANSYS软件是融结构、传热、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件,由美国有限元分析软件公司ANSYS开发,并能与多数CAD软件接口,实现数据的共享和交换,如Pro/Engineer,NASTRAN,Alogor,I—DEAS,AutoCAD等,是现代产品设计中的高级CAD工具之一。软件主要包括3个部分:
前处理模块:提供强大的实体建模及网格划分工具,用户可以方便地构造有限元模型;
分析计算模块:包括结构分析(可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析)、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析,可模拟多种物理介质的相互作用,具有灵敏度分析及优化分析能力;
后处理模块:可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示(可看到结构内部)等图形方式显示出来,也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。
软件提供了100种以上的单元类型,用来模拟工程中的各种结构和材料。分析类型主要包括以下几种:
1)、应力和力。,而且也可以进行非线性分析,如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触分析。
2)结构动力学分析。,动力分析要考虑随时间变化的力载荷以及它对阻尼和惯性的影响。ANSYS可进行的结构动力学分析类型包括:瞬态动力学分析、模态分析、谐波响应分析及随机振动响应分析。
3)。ANSYS程序可求解静态和瞬态非线性问题,包括材料非线性、几何非线性和单元非线性3种.
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4)动力学分析。ANSYS程序可以分析大型三维柔体运动。当运动的积累影响起主要作用时,可使用这些功能分析复杂结构在空间中的运动特性,并确定结构中由此产生的应力、应变和变形。
5):传导、对流和辐射。热传递的3种类型均可进行稳态和瞬态、线性和非线性分析。热分析还具有可以模拟材料固化和熔解过程的相变分析能力以及模拟热与结构应力之间的热-结构耦合分析能力。
6)电磁场分析。主要用于电磁场问题的分析,如电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线分布、力、运动效应、电路和能量损失等。还可用于螺线管、调节器、发电机、变换器、磁体、加速器、电解槽及无损检测装置等的设计和分析领域。
7)流体动力学分析。ANSYS流体单元能进行流体动力学分析,、,还可以使用三维表面效应单元和热-流管单元模拟结构的流体绕流并包括对流换热效应。
8),,研究音乐大厅的声场强度分布,或预测水对振动船体的阻尼效应。
9)压电分析。用于分析二维或三维结构对交流(AC)、直流(DC)或任意随时间变化的电流或机械载荷的响应。这种分析类型可用于换热器、振荡器、谐振器、:静态分析、模态分析、谐波响应分析、瞬态响应分析。
下面主要讨论一下总体刚度矩阵与单元刚度矩阵的关系
我们取任一等截面直杆单元,用线性弹簧近似表示,如图所示.
在节点处传递的力为:
将其表示成矩阵形式:
则单元刚度矩阵为:
总体刚度矩阵为:
对于本题,其总体刚度矩阵为:
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下面采用最小势能原理来推导总体刚度矩阵
物体受到外力的作用会产生变形,外力所做的功以弹性能的形式储存在物体中,即物体储存应变能.
假设:有一等截面杆,长,在集中力的作用下变形伸长
根据虎克定律,有:
杆内储存的能量:
将上式写成标准应力和应变的形式:
则变形能为:
由n个单元和m个节点组成的物体的总势能II为总应变能和外力所做功的差:
根据最小总势能原理,对于一个稳定的系统,平衡位置会发生位移,并使系统的总势能最小。即:
对于例1,任意单元(e)的应变能由应变能公式可得:
则:
写成矩阵形式:
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而:
将总势能最小公式写成矩阵形式,得出
根据力边界条件,可知:
F1=—RF2=0F3=0F4=0F5=P
则得:
根据位移边界条件:u1=0
则有:
求解上式矩阵,得出的结果与采用直接公式法得出的结果相同。