双曲线的渐近线和离心率问题.doc

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[题型分析·高考展望]双曲线作为圆锥曲线三大题型之一,也是高考热门,其性质是考察的
要点,,也会在填空题中考察,一般为
、用法是此类问题的解题之本.
常考题型精析
题型一
双曲线的渐近线问题
例1
(1)(2015·重庆)设双曲线x2
-y2=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左,右极点分别是A
a2
b2
1,
A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于
B,C两点,若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜
率为________.
2
(2)(2014江·西)如图,已知双曲线
C:
x2-y2=1(a>0),B分别在C的两条
a
渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
①求双曲线C的方程;
②过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:
x02x-y0
y=1与直线AF订交于点M,与直线x=
3相
a
2
:当点P在C上挪动时,MF恒为定值,并求此定值.
NF
评论(1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简略求法
b
xy
x2
y2
.由y=±x?
±=0?
2-
2=0,所
a
ab
a
b
2
2
以能够把标准方程x2-y2=1(a>0,b>0)中的“1”用“0”替代即可得出渐近线方程.
a
b
b
x2
y2
(2)已知双曲线渐近线方程:
y=ax,可设双曲线方程为
a2-b2=λ(λ≠0),求出λ即得双曲线
方程.
变式训练
1(2014·山东改编)已知a>b>0,椭圆C1
x2
y2
+
=1,双曲线C2
的方程为
的方程为a2
b2
x2
y2
3
,则C2的渐近线方程为______________________.
2-2=1,C1与C2的离心率之积为
2
a
b
题型二
双曲线的离心率问题
例2
(1)(2015·湖北改编)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增
加m(m>0)个单位长度,获得离心率为
e2的双曲线C2
,则以下命题正确的选项是
________.
①对随意的a,b,e1>e2;
②当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2;
③对随意的a,b,e1<e2;
④当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.
2
2
(2)已知O为坐标原点,双曲线
x2-y2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以OF为直径作圆交双曲
a
b
线的渐近线于异于原点的两点
→
→→
A、B,若(AO+AF)·OF=0,则双曲线的离心率e为________.
评论
在研究双曲线的性质时,
实半轴、虚半轴所组成的直角三角形是值得关注的一个重要
c
内容;双曲线的离心率波及的也比许多
.因为e=a是一个比值,故只要依据条件获得对于
a、
b、c的一个关系式,利用b2=c2-a2消去b,而后变形求
e,而且需注意e>
线方程中x,y的范围问题.
变式训练2(2014·湖南)如图,O为坐标原点,椭圆C1
x2
+y2=
:2
2
a
b
1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F、F,离心率为e;双曲线
C:
1
2
1
2
x2
-
y2
=1的左、右焦点分别为
F3
3
a2
b2
4
2
12
,
、F,离心率为

=
2
且F2F4=3-1.
求C1,C2的方程;
(2)过

F1作

C1的不垂直于

y轴的弦

AB,M

为

AB

的中点,当直线

OM

与

C2交于

P,Q

两点
时,求四边形

APBQ

面积的最小值

.
题型三双曲线的渐近线与离心率的综合问题
x2y2
例3(2014·福建)已知双曲线E:a2-b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别
为l1:y=2x,l2:y=-2x.
(1)
求双曲线E的离心率;
(2)
如图,O为坐标原点,动直线
l分别交直线
l1,l2于A,B两点(A,B
分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为
:能否存在总与直线
l有且只有一个
公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线
E的方程;若不存在,请说明原因.
评论解决此类问题:一是利用离心率公式,渐近线方程,斜率关系等列方程组
.二是数形
联合,由图形中的地点关系,确立有关参数的范围.
2
2
变式训练3(2014·浙江)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线x2-y2=1(a>0,b>0)的两条渐
a
b
近线分别交于点
A,(m,0)知足PA=PB,则该双曲线的离心率是________.
高考题型精练
1.(2015课·标全国Ⅰ改编)已知M(x0,y0)是双曲线C:
x2
-y2=1
上的一点,F1,F2是C的两
2
→
→
个焦点,若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是__________.
π
x2
-
y2
y2
x2
2.(2015镇·江模拟)已知0<θ<,则双曲线C1:
2
2=1与C2:
2-
2
2=1的
4
cos
θsinθ
sinθsin
θtanθ
________相等.(填序号)
①实轴长;②虚轴长;③离心率;④焦距.
2
2
-y2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆
C:x2+y2-6x+5=0
相切,且双曲
a
b
线的右焦点为圆
C的圆心,则该双曲线的方程为
______________.
2
2
2
2
x+y=1的右焦点为圆心,且与双曲线
x-y=1
的渐近线相切的圆的方程是

9
16
________________.
2
2
2
2
-y2=1(a>0,b>0)以及双曲线y2-x2=1的渐近线将第一象限三平分,则双
a
b
a
b
2
2
曲线x2-y2=1的离心率为________.
a
b
2
2
6.(2015镇·江模拟)已知双曲线C:x2-y
2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为
F1,F2,过F2
a
b
作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为
H,若F2H的中点M在双曲线C上,则双曲线C
的离心率为________.
2
2
=8x的准线过双曲线x2-y2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为
a
b
2,则该双曲线的方程为
________________.

C的中心在原点,且左,右焦点分别为
F,F,以FF
为底边作正三角形,
1
2
1
2
若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点,则双曲线
C的离心率为________.
x2
y2
,F2分别是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点
F2与双曲线的一条渐
近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点
M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双
曲线离心率的取值范围是
____________.
x2
y2
2
2
1
2

2-
2=1
的切线,切点为
E,直线EF
a
b
(a>0,b>0)的左焦点F作圆x
+y
=a
4
交双曲线右支于点
→
→
→
______.
P,若OE=1(OF
+OP),则双曲线的离心率是
2
2
2

y2-x2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为
2x+y=0,且极点到渐近线的距离
a
b
为255.
求此双曲线的方程;
→
(2)设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若AP
→
=PB,求△AOB的面积.
2
2
12.(2015盐·城模拟)已知双曲线
x2-y2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).
a
b
若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;
(2)以原点

O为圆心,

c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为

A,过

A作圆的切
线,斜率为-

3,求双曲线的离心率

.
答案精析
第30练双曲线的渐近线和离心率问题
常考题型典例分析
例1(1)±1
分析
双曲线
x2y2
a2-b2=1
的右焦点F(c,0),左,右极点分别为
A1(-a,0),A2(a,0),易求
b2
b2
Bc,a,C
c,-a
,则
b2
b2
2
a,kA1
B=
a
,又A1
2
kAC=
a+c
B
与AC垂直,
a-c
b2
b2
a
a
=-1,
则有kA1B·kA2C=-1,即
·
a+ca-c
b4
a2
∴c2-a2=1,∴a2=b2,即a=b,
b
∴渐近线斜率k=±a=±1.
(2)解
①设F(c,0),因为b=1,所以c=
a2+1,
1
直线OB的方程为y=-ax,
1
直线
BF的方程为y=a(x-c),
c
解得B(2,-2a).
1
又直线OA的方程为y=ax,
c
则A(c,c),kAB=a--2a=3.
aca
2c
31
又因为AB⊥OB,所以a·(-a)=-1,
解得a2=3,
x2
故双曲线C的方程为3-y2=1.
②由①知a=3,则直线l
的方程为
x0x
-y0y=1(y0≠0),即y=
x0x-3
.
3
3y
0
因为直线AF的方程为x=2,
2x-3
所以直线l与AF的交点为M(2,
0
);
3y
0
3
直线l与直线x=3的交点为N(3,
2x0-3
).
2
2
3y0
2x0-32
则MF
2
3y
0
2
2x0-3
2
2=
=
2
9
NF
3
2
9y0
2
1
2x0-3
4+4x0-2
4+
3y
02
4
0
-
3
2
2x
2.
=3·
2
3y+3x-2
0
0
x02
2
因为P(x,y)是C上一点,则3
-y=1,
0
0
0
MF2
4
2x0-32
代入上式得NF2=3·2
3x-2
2
x-3+
0
0
4
2x0-32
4
=·
2
=
3
,
34x0-12x0+9
即所求定值为MF=2=23.
NF33
变式训练1
x±2y=0
分析
由题意知e1=c1,e2=c2,
a
a
∴e1·e2=
c1c2
c1c2
3
a
·
=
a
2
=
.
a
2
2
2
2
2
2
2
又∵a
=b
+c1,c2=a
+b,
∴c12=a2-b2,
2
2
a4-b4
b4
∴c1c
2
a4
a4
=
=1-(a)
,
即1-(ba)4=34,
b2b2
解得a=±2,∴a=2.
x2y2
令a2-b2=0,解得bx±ay=0,
x±2y=0.
例2
(1)④(2)2
分析
(1)由题意e1=
a2+b2
b
2;双曲线C2的实半轴长为
a2=
1+a
a+m,虚半轴长
为b+m,
离心率e2=
a+m2+b+m2
b+m
a+m2
=
1+
2.
a+m
b+m
ma-b
,且a>0,b>0,m>0,a≠b,
因为
-b=
a+m
a
aa+m
ma-b
>0,即
b+m
b
所以当a>b时,
>.
aa+m
a+m
a
b+m
b
>0,
又
>0,
a+m
a
b+m
b2,
b+m
b2
所以由不等式的性质挨次可得
2
1
+a+m
2
,所以
a+m
>a
>1
+a
b+m2
b2
2
1
ma-b
2
1
1+
>
1+a,即e>e;同理,当a<b时,
<0,可推得
e<e.
a+m
aa+m
综上,当a>b时,e1
2
1
2
<e
;当a<b时,e>e.
→
→
→
可知AT⊥OF,
(2)如图,设OF的中点为T,由(AO+AF)·OF=0
c
又A在以OF为直径的圆上,∴A2,2,
b
又A在直线y=ax上,
∴a=b,∴e=2.
变式训练2解(1)因为e1e2=
3,所以
a2-b2
a2+b2
3,即a4-b4=3
a4,所以a2
a
·
a
=
2
2
4
=2b2,进而F2(b,0),F4(
3b,0),于是
3b-b=F2F4=
3-1,所以b=1,a2=2.
x2
x2
故C1,C2的方程分别为
2+y2=1,
2-y2=1.
(2)因AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),
故可设直线AB的方程为x=my-1.
x=my-1,
由x2得(m2+2)y2-2my-1=0.
2+y2=1
易知此方程的鉴别式大于0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1,y2是上述方程的两个实根,
1
2
2m
12
-1
.
所以y
+y=
2
,yy=
2
m+2
m+2
所以x+x=m(y+y)-2=
-4
,
2
1
2
1
2
m+2
于是AB的中点为M(
-2
m
),
,
m2+2
m2+2
m
m
故直线PQ的斜率为-
2,PQ的方程为y=-
2x.
m
y=-2x,
得(2-m2)x2=4,
由
x2
2-y2=1
4
m2
所以2-m2>0,且x2=2-m2,y2=2-m2,
进而PQ=2
x2+y2=2
m2+4
.
2-m2
设点A到直线PQ的距离为d,
则点B到直线PQ的距离也为d,
所以2d=
|mx1+2y1|+|mx2+2y2|
.
m2+4
因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,
所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,
于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|
|mx1+2y1-mx2-2y2|,
m2+2|y1-y2|
进而2d=
.
m2+4
又因为|y1
2
1
22
-4y1
y
2
-y|=
y
+y
22·1+m2
=
,
m2+2
2
2·1+m2
所以2d=
m2+4
.
1
22·1+m2
故四边形APBQ的面积S=2·PQ·2d=
2-m2
=22·
而0<2-m2≤2,故当m=0时,S获得最小值2.

3
-1+.
2-m2
综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.
例3解(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,
b
y=-2x,所以a=2,
所以
c2-a2
=2,故c=
5a,
a
c
进而双曲线E的离心率e=a=5.
x2y2
(2)方法一由(1)知,双曲线E的方程为a2-4a2=1.
设直线l与x轴订交于点C.
当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,
则OC=a,AB=4a.
又因为△OAB的面积为8,
1
所以2·OC·AB=8,
1
所以2a·4a=8,解得a=2,
22
xy
此时双曲线E的方程为-=1.
416
若存在知足条件的双曲线

E,
则E的方程只好为

x2y2
4-16=1.
以下证明:当直线

l不与

x轴垂直时,
x2y2
双曲线E:4-16=1也知足条件.
设直线l的方程为y=kx+m,依题意,
m
得k>2或k<-2,则C(-k,0).
记A(x1,y1),B(x2,y2).
由y=kx+m,得y1=2m,同理,得y2=2m.
y=2x,2-k2+k
1
由S△OAB=2|OC|·|y1-y2|,得
1
m
2m
2m
|-
k
||·-
|=8,
2
2-k
2+k
即m2=4|4-k2|=4(k2-4).
y=kx+m,
由x2y2
4-16=1,
得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.
因为4-k2<0,
所以=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)