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三角形的中位线济宁附中李涛

三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
如图:DE是△ABC的中位线。
符号语言
说明:(1)一个三角形有3条中位线
(2)定义有双重性:即是性质,也是判定
(3)注意与三角形中线的区别:要把三角形的中位线与三角形的中线区
,而三角形中位线是连结三角
形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的的线段.

定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半
符号语言:(重点,书上记了)
说明:(1)作用:证明平行关系,倍分关系;转移线段,转移角。
(2)常用辅助线:见中点,构造中位线。
(3)分离基本图形:全等,平行四边形
证明(转化思想,常用辅助线)
证明1:
如图,延长DE到F,使EF=DE,连结CF.-------(中线加倍,构造全等)
∵DE=EF∠AED=∠CEFAE=EC
∴△ADE≌△CFE(SAS)
∴AD=FC∠A=∠ECF
∴AB∥FC
又∵AD=DB
∴BD∥CF,BD=CF
∴四边形BCFD是平行四边形
三角形的中位线知识、方法总结
∴DE∥BC且DE=1/2BC
证明2:
如图,延长DE到F,使EF=DE,连结CF、DC、AF
∵AE=CEDE=EF
∴四边形ADCF为平行四边形
∴AD∥CF,AD=CF
∵AD=BD
∴BD∥CF,BD=CF
∴四边形BCFD为平行四边形
∴BC∥DF,BC=DF
∴DE∥BC且DE=1/2BC
中位线的应用:
(1)中点三角形
定义:中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次
连接起来的一个新三角形.
性质:(1)这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三
边长的一半且分别平行,角的度数与原三角形分别相等,4个三角形都全等
(2)中点三角形周长是原三角形的周长一半。
(3)中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。
补充:中点三角形与原三角形不仅相似,而且位似。
(2)中点四边形
定义:依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。
性质(1)不管原四边形的形状怎样改变,中点四边形的形状始终是
平行四边形。
证明:连接AC,BD-----------(连对角线,构造中位线)
∵E,H,G,F是边AB,AD,DC,BC中点
∴EH,GF是△ABD,BCD的中位线
∴EH=1/2BD,GF=1/2BD,EH//BD,GF//BD
∴EH平行等于GF
∴EFGH是平行四边形
三角形的中位线知识、方法总结
(2)中的四边形周长是原四边形对角线之和。
(3)中点四边形面积是原四边形面积的二分之一。
结论:
任意四边形中点连线连成的四边形总是平行四边形,菱形中点连线所得的图形是矩形,
正方形中点连线所得的图形是正方形,矩形中点连线所得的图形是菱形,等腰梯形中点连线
所得的图形是菱形。这个定义同样适用于凹四边形和折四边形。
总结为:
任意四边形-------平行四边形
平行四边形-------平行四边形
矩形-------菱形
菱形-------矩形
正方形-------正方形
等腰梯形-------菱形
规律:顺次连接各边中点所得的四边形(中点四边形只与原四边形的对角线有关)
若原四边形对角线相等,则中点四边形为菱形;
若原四边形对角线互相垂直,则中点四边形为矩形;
若原四边形对角线互相垂直又相等,则中点四边形为正方形.
所以:
(1)平行四边形的对角线没有以上特殊关系,故其中点四边形还是平行四边形;
(2)直角梯形对角线也没有上面的特殊关系,故其中点四边形还是平行四边形;
(3)等腰梯形的对角线相等,故其中点四边形为菱形.
结论:经过三角形一边的中点,且与另一边平行的直
线,必平分三角形的第三边。(6中辅助线方法,掌握本质)
辅助线本质:通过添加辅助线,构造基本图形。
补充:梯形的中位线(书上已记)
补充:三角形的中位线判定
(1)在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角
形第三边一半的线段是三角形的中位线。