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第三章测度论(总授课时数14学时)
教学目的引进外测度定义,研究其性质,由此过渡到可测集
本章要点要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别,测度概念抽象,要与具体点集
诸如面积体积等概念进行比较.
§1、外测度
教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.
2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.
本节要点外测度的定义及其基本性质.
本节难点外测度的定义.
授课时数4学时
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一、引言
(1)Riemann积分回顾(分割定义域)
bn
(R)f(x)dxlimf()x,xxx,xx
a||T||0iiiii1i1ii
i1
积分与分割、介点集的取法无关。
几何意义(非负函数):函数图象下方图形的面积。
(2)新的积分(Lebesgue积分,从分割值域入手)
记E{x:yf(x)y},yy,则
ii1ii1ii
n
(L)f(x)dxlimmE
ii
[a,b]0
i1
问题:如何把长度,面积,体积概念推广
达布上和与下和
上积分(外包)(达布上和的极限)
bn
f(x)dxlimMx
aii
||T||0
i1
下积分(内填)达布下和的极限
bn
f(x)dxlimmx
ii
a||T||0
i1
二、Lebesgue外测度(外包)
:设ERn,称非负广义实数(R{}R*):.

mEinf{|I|:EI,I
为开区间}
ii1ii
i1
为E的Lebesgue外测度。
下确界:
(1)是数集S的下界,即xS,x
(2)是数集S的最大下界,即0,xS,使得x

mEinf{|I|:EI,I为开区间}
iii
i1
i1

0,开区间列{I},使得EI且
ii
i1

m*E|I|m*E
i
i1
即:用一开区间列{I}“近似”替换集合E
i
例1设E是[0,1]中的全体有理数,试证明E的外测度为0.
证明:由于E为可数集,故不妨令
E[0,1]Q{r,r,r,L}
123
0,作开区间

I(r,r),i1,2,3,L
ii2i1i2i1

则EI且
i
i1

|I|
,
i2i1
i1i1
从而m*E,再由的任意性知m*E0
思考:
,则E的外测度为0
提示:找一列包含有理点集的开区间

I(r,r)(r,r),(r,r)QQ,i1,2,3,L
ii12i2i12i2i22i2i22i2i1i2

提示:找一列包含x轴的开区间

I(r1,r1)(,),rZ,i1,2,3,L
iii2i12i1i:.
,我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体,是否这可数个开区
间也覆盖[0,1](除可数个点外).
注:对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列(如Cantor集的余集的构成区间)

(1)非负性:mE0,当E为空集时,mE0
(2)单调性:若AB,则mAmB
证明:能覆盖B的开区间列也一定能覆盖A,从而能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开
区间列要少,相应的下确界反而大。

(3)次可数可加性m*(A)m*A
n1nn
n1
证明:对任意的0,由外测度的定义知,对每个A都有
n

一列开区间(即用一开区间I列近似替换A)I,I,LI,L,使得AI且
nmnn1n2nmnnm
m1

m*A|I|m*A
nnmn2n
m1

从而AI,且
nnm
n1n1m1

|I||I|(m*A)m*A
nmnmn2nn
n,m1n1m1n1n1
可见

m*(A)|I|m*A
nnmn
n1
n1m1n1

由的任意性,即得m*(A)m*A
nn
n1
n1
注:(1)一般证明都是从大的一边开始,因为外测度的定义用的是下确界
(2)外测度的次可数可加性的等号即使A,B不交也可能不成立(反例要用不可测
集),但有:若d(A,B)0则
m(AB)m(A)m*(B)
当区间I的直径很小时候,区间I不可能同时含有A,B中的点从而把区间列I分成
iii
两部分,一部分含有A中的点,:.
例2对任意区间I,有mE|I|.
思考:书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在
此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广
例3Cantor集的外测度为0.
证明:令第n次等分后留下的闭区间为I(n)i1,2,L2n
i
从而
n2n2n12n
2
m*(P)m*(I(n))|I(n)|0

i1ii3n3
i1i1
故mP0
注:称外测度为0的集合为零集;零集的子集,有限并,可数并仍为零集.
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作业:P751,2
练****题
1如果将外测度的定义改为“有界集E的外测度是包含E的闭集的测度的下确界.”是否合
理
2设AB,问在什么条件下有
m*(AB)m*B
3对于有界集ER1,是否必有m*E
4设E是直线上的一有界集,mE0,则对任意小于mE的正数c,恒有子集E,
1
使mEc
1
§2可测集合
教学目的1、深刻理解可测集的定义,学会用Caratheodory条件验证集合的可测性.
2、掌握并能运用可测集的性质.
本节要点学会用Caratheodory条件验证集合的可测性.
本节难点用Caratheodory条件验证集合的可测性.
授课时数4学时
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Lebesgue外测度(外包):.

mEinf{|I|:EII
且为开区间}
ii1ii
i1

0,{I},EIm*E|I|m*E
开区间列使得且
iii
i1
i1
即:用一开区间列“近似”替换集合E

次可数可加性(即使A两两不交)m*(A)m*A
nnn
n1
n1
一、可测集的定义
若TRn,有mTm(TE)m*(TEc)(Caratheodory条件),则称E为
Lebesgue可测集,此时E的外测度称为E的测度,记作mE.
注:Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集,但此方法对处理问题很
不方便,故我们采用上述方法.
例1:零集E必为可测集
证明:TRn,有mTm(TE)m*(TEc)m(E)m*(T)m*(T)
从而mTm(TE)m*(TEc)即E为可测集。
二、Lebesgue可测集的性质
(1)集合E可测(即TRn,有mTm(TE)m*(TEc)
AE,BEc,有m(AB)m(A)m*(B)
证明:(充分性)
TRn,令ATE,BTEc即可
(必要性)令TAB
(2)若A,B,A可测,则下述集合也可测
i

Ac,AB,AB,AB,A,A
ii
i1i1
即可测集类关于差,余,有限交和可数交,有限并和可数并,以及极限运算封闭;
若AB,则TRn,有
m(T(AB))m(TA)m*(TB)
注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得
若A两两不交,则(测度的可数可加性)
i

m(A)mA
i1ii
i1:.
若A,B可测,AB,mA,则有可减性
m(BA)mBmA
证明:由可测集的定义:TRn有mTm(TE)m*(TEc)
易知Ac可测
若AB可测已证明,则易知AB(AcBc)c,ABABc也可测。
n1
若当A为两两不交时,A可测已证明,则通过令BAA可把一般情形转化
iinni
i1i1
n
为两两不交的情形,通过取余即可证明A
i
i1
下面证明若A,B可测,则AB可测
证明:TRn,有
mTm(T(AB))m*(T(AB)c)
(m(1)m*(2))(m(3)m*(4))
m*((1)(2))m((3)(4))(B可测)
m*((1)(2)(3)(4))(A可测)
m*(T)
从而mTm(T(AB))m*(T(AB)c)

Am(A)mA
下面证明若两两不交,则
ii1ii
i1
证明:TRn,有
nnn
mTm(T(A)m*(T(A)c)m(T(A)m*(T(A)c)
i1ii1ii1ii1i
n
m(TA)m*(T(A)c)
ii1i
i1
从而

mTm(TA)m*(T(A)c)
ii
i1
i1:.

m(T(A))m*(T(A)c)(*)
i1ii1i

另外显然有mTm(T(A))m*(T(A)c)
ii
i1i1

从而A可测,并用TA代入(*)式,即得结论
ii
i1i1
nn
例2:设[0,1]中可测集A,A,L,A满足条件mAn1,则A必有正测度。
12nii
i1
i1
nnn
证明:m(A)m(((A)c)c)m([0,1](A)c)
iii
i1i1i1
nn
m([0,1]Ac)m([0,1])m(Ac)
ii
i1i1
n
1m([0,1]A)
i
i1
nn
1(1mA)mA(n1)0
ii
i1i1
单调可测集列的性质
(1)若A是递增的可测集列,则m(limA)limmA
nnn
nn
(2)若A是递减的可测集列且mA,则m(limA)limmA
n1nn
nn
注:(1)左边的极限是集列极限,而右边的极限是数列极限,(2)中的条件mA不可
1
少,如An,
n

注:(2)若A是递减集列,limAA
nnn
nn1

若A是递增集列,limAA
nnn
nn1

AA(AA)L(AA)L
n121nn1
n1
若A,B可测,AB,mA,则m(BA)mBmA
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作业:P755,6
练****题
1设mE0,能否断定E可测能否断定E的任一子集可测:.

{E}mEm(limE)0
2设是可测集列,且,则
nnn
n
n1
3证明:任意点集E的外测度等于包含它的开集G的测度的下确界,即
mEinf{mG:EG,G为开集}
4设A,B是R的子集,A可测,证明等式
n
m(AB)m(AB)m(A)m(B)
§3可测集类
教学目的1、熟悉并掌握用开集、闭集、G型集、F型集刻画可测集的几个定理,弄清

可测集类和Borel集类之间的关系.
2、了解一些集合可测的充要条件.
本节要点可测集类和Borel集类之间的关系.
本节难点可测集类和Borel集类之间的关系.
授课时数4学时
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一、可测集
例1区间I是可测集,且mI|I|
注:(1)零集、区间、开集、闭集、G型集(可数个开集的交)、F型集(可数个闭

集的并).
Borel型集(粗略说:从开集出发通过取余,取交或并(有限个或可数个)运算得到)都是
可测集。
(2)开集、闭集既是G型集也是F型集;

有理数集是F型集,但不是G型集;

无理数集是G型集,但不是F型集。

有理数集可看成可数个单点集的并,而单点集是闭集;
通过取余G型集与F型集相互转化(并与交,开集与闭集互换)

二、可测集与开集、闭集的关系
(1)若E可测,则0,存在开集G,使得EG且m(GE)
即:可测集与开集、闭集只相差一小测度集(可测集“差不多”就是开集或闭集),:.
从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。
(2)若E可测,则0,存在闭集F,使得FE且m(EF)
证明:(1)当mE时,由外测度定义知

0,存在开区间列{I},使得EI且m*E|I|m*E
iii
i1
i1

令GI,则G为开集,EG,且EmGmI|I|mE
iii
i1
i1i1
从而(这里用到mE)m(GE)mGmE
(2)当mE时,
这时将E分解成可数个互不相交的可测集

EE(mE)
ii
i1
对每个E应用上述结果,存在开集G,使得
ii

EG且m(GE)
iiii2i

令GG,则G为开集,EG,且
i
i1

m(GE)m(GE)m((GE))
iiii
i1i1i1i1

m((GE))m((GE)
iiii2i
i1
i1i1
若(1)已证明,由Ec可测可知
0,存在开集G,使得EcG且m(GEc).
取FGc,则F为闭集FE且
m(EF)m(EFc)m((Ec)cFc)m(FcEc)m(GEc)
例2设ERn,若0,开集G,使得EG且m(GE),则E是可测集.
11
证明:对任意的,G(开集),使得EG且m(GE)
nnnnn

令OG,则O是G型集且EO
n
n1
1
m(OE)m(GE),n1,2,3,L
nn
故m(OE)0:.
从而EO(OE)为可测集.
例3:设E为[0,1]中的有理数全体,试各写出一个与E只相差一小测度集的开集和闭
集。
E{r,r,r,L}
123

开集:G(r,r)
i2i1i2i1
i1
闭集:空集.
例4:设E*为[0,1]中的无理数全体,试各写出一个与E*只相差一小测度集的开集和闭
集。
开集:(0,1)

闭集:F[0,1](r,r)
i2i1i2i1
i1
三、可测集与G集和F集的关系

(1).若E可测,则存在G型集O,使EO且m(OE)0

可测集可由G型集去掉一零集,或F型集添上一零集得到。

(2).若E可测,则存在F型集H,使HE且m(EH)0

证明:若(1)已证明,由Ec可测可知G型集O,使得EcO且m(OEc)0

取HOc,则H为F型集,HE且

m(EH)m(EHc)m((Ec)cHc)m(HcEc)m(OEc)0
(1).若E可测,则存在G型集O,使EO且m(OE)0

11
证明:对任意的,存在开集G,使得EG且m(GE)
nnnnn

令OG,则O为G型集,且EO
n
n1
m(OE)m(GE)1,n1,2,3,L
nn
故m(OE)0
例5:设E为[0,1]中的有理数全体,试各写出一个与E只相差一
零测度集的G型集或F型集。
:.
11

nn
G型集:OIUr,r
i2i1i2i1
n1i1


F型集:空集

注:上面的交与并不可交换次序.
例6:设E*为[0,1]中的无理数全体,试各写出一个与E*只相差一零测度集的G型集

或F型集。

G型集:(0,1)

11

nn
F型集:H[0,1]r,r
i2i1i2i1
n1i1


类似可证:若ERn,则存在G型集O使得EO且mOmE(称O为E的等测包)

证明:由外测度定义知
11
,{I},使得EI且m*E|I|m*E
nnininin
i1
i1

令GI,则G为开集,EG且
nninn
i1
1
m*EmGmI|I|m*E
nninin
i1i1

令OG,则O为G型集,且OE,mOm*E
n
n1
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作业:P758,9,11
练****题
1设A,B是R的子集,证明不等式
n
m(AB)m(AB)m(A)m(B)
2试证有界集E(Rn)可测的充要条件是
0,存在开集GE及闭集FE,使得m(GF).
3证明E(Rn)可测的充要条件是:存在开集GE及GCE,使
12:.
m(GG)
12
§4不可测集
教学目的了解不可测集的构造思路和步骤.
本节要点无.
本节难点无.
授课时数2学时
存在不可测集(利用选择公理构造,教材p73;1970,证明不可测集存在
蕴涵选择公理)
(利用Cantor函数和不可测集构造)
参见:《实变函数》周民强,p87