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分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定事件完成,那么要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要通过假设干步才能将规定事件完成,那么要用分步乘法计数原理将各步方法种数相乘.
[题组练透]
、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践活动,但去何工厂可自由选择,甲工厂必须有班级要去,那么不同分配方案共有( )
解析:选C 三个班去四个工厂不同分配方案共有43种,甲工厂没有班级去分配方案共有33种,因此满足条件不同分配方案共有43-33=37种.
2.(2021·全国甲卷)如图,小明从街道E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处老年公寓参加志愿者活动,那么小明到老年公寓可以选择最短路径条数为( )
解析:选B由题意可知E→F有C种走法,F→G有C种走法,由分步乘法计数原理知,共C·C=18种走法,应选B.
“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2,那么称这样三位数为凸数(如120,343,275),那么所有凸数个数为( )
解析:选A 分8类,当中间数为2时,有1×2=2个;
当中间数为3时,有2×3=6个;
当中间数为4时,有3×4=12个;
当中间数为5时,有4×5=20个;
当中间数为6时,有5×6=30个;
当中间数为7时,有6×7=42个;
当中间数为8时,有7×8=56个;
当中间数为9时,有8×9=72个.
故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240个凸数.
[技法融会]
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类加法计数原理.
(2)对于复杂两个计数原理综合应用问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、直观化.
2.(易错提醒)在应用计数原理时要分清是“分类〞还是“分步〞,这是解题关键.
名称
排列
组合
一样点
都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素,元素无重复
不同点
①排列与顺序有关;
②两个排列一样,当且仅当这两个排列元素及其排列顺序完全一样
①组合与顺序无关;
②两个组合一样,当且仅当这两个组合元素完全一样
[题组练透]
1.(2021·兰州模拟)将2名女教师,4名男教师分成2个小组,分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教,每个小组由1名女教师和2名男教师组成,那么不同安排方案共有( )
解析:选B 第一步,为甲校选1名女教师,有C=2种选法;第二步,为甲校选2名男教师,有C=6种选法;第三步,为乙校选1名女教师和2名男教师,有1种选法,故不同安排方案共有2×6×1=12种,选B.
2.(2021·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字五位数,其中奇数个数为( )
解析:选D 第一步,先排个位,有C种选择;
第二步,排前4位,有A种选择.
由分步乘法计数原理,知有C·A=72(个).
3.(2021·长春质检)小明试图将一箱中24瓶啤酒全部取出,每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤酒,那么小明取出啤酒方式共有( )
解析:选C 由题可知,取出酒瓶方式有3类,第一类:取6次,每次取出4瓶,只有1种方式;第二类:取8次,每次取出3瓶,只有1种方式;第三类:取7次,3次4瓶和4次3瓶,取法为C,.
4.(2021·河南八市联考)将标号为1,2,3,4四个篮球分给三位小朋友,每位小朋友至少分到一个篮球,且标号1,2两个篮球不能分给同一个小朋友,那么不同分法种数为( )
解析:选C 四个篮球中两个分到一组有C种分法,将分到一组两个篮球看成一个与其余两个篮球全排列有A种分法,标号1,2两个篮球分给同一个小朋友有A种分法,所以有CA-A=36-6=30种分法.
[技法融会]
解答排列组合问题4个角度
解答排列组合应用题要从“分析〞“分辨〞“分类〞“分步〞角度入手.
(1)“分析〞就是找出题目条件、结论,哪些是“元素〞,哪些是“位置〞;
(2)“分辨〞就是区分是排列还是组合,对某些元素位置有无限制等;
(3)“分类〞就是对于较复杂应用题中元素往往分成互相排斥几类,然后逐类解决;
(4)“分步〞就是把问题化成几个互相联系步骤,而每一步都是简单排列组合问题,然后逐步解决.
Tk+1=Can-kbk(k=0,1,2,…,n),其中C叫做二项式系数.
提示:Tk+1是展开式中第k+1项,而不是第k项.
(1)C+C+C+…+C=2n.
(2)C+C+…=C+C+…=2n-1.
[题组练透]
1.(2021·河北五校联考)在二项式(1-2x)n展开式中,偶数项二项式系数之和为128,那么展开式中间项系数为( )
A.-
解析:选C 根据题意,奇数项二项式系数之和也应为128,所以在(1-2x)n展开式中,二项式系数之和为256,即2n=256,n=8,那么(1-2x)8展开式中间项为第5项,且T5=C(-2)4x4=1120x4,即展开式中间项系数为1120,应选C.
2.(2021·山西四校联考)(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,那么a8等于( )
A.-
解析:选D ∵(1+x)10=[2-(1-x)]10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,∴a8=C·22=180.
3.(2021·天津高考)展开式中x7系数为________.(用数字作答)
解析:通项Tr+1=C(x2)8-r=(-1)rCx16-3r,当16-3r=7时,r=3,那么x7系数为(-1)3C=-56.
答案:-56
4.(2021·广州模拟)假设展开式中常数项为-40,那么a=________.
解析:展开式第r+1项为Tr+1=C(2x)5-r·=C25-rx5-2r,因为(2x+)5展开式中常数项为-40,所以axC22x-1+C23x=-40,所以40a+80=-40,解得a=-3.
答案:-3
[技法融会]
(1)二项式定理中最关键是通项公式,求展开式中特定项或者特定项系数均是利用通项公式和方程思想解决.
(2)二项展开式系数之和通常是通过对二项式及其展开式中变量赋值得出,注意根据展开式形式给变量赋值.
2.(易错提醒)在应用通项公式时,要注意以下几点:
(1)它表示二项展开式任意项,只要n与r确定,该项就随之确定;
(2)Tr+1是展开式中第r+1项,而不是第r项;
(3)公式中,a,b指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置.
二项式定理与其他知识交汇
近年,对二项式定理考察由单一考察向交汇考察转变,在考察时,多与定积分、直线方程、指数式与对数式运算相结合,复****时,应引起重视.
[新题速递]
1.(2021·贵州模拟)二项式(n∈N*)展开式中存在常数项一个充分条件是( )
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解析:选B 二项式展开式第r+1项是C(-1)rxn-2r,假设存在常数项,那么n=2r,即n是偶数,所以n=6是展开式中存在常数项充分条件,选项B正确.
2.(2021·广州五校联考)假设展开式中x3项系数为20,那么log2a+log2b=________.
解析:展开式通项为Tr+1=Ca6-r·brx12-3r,令12-3r=3,得r=3,
∴展开式中x3项系数为Ca3b3=20,∴ab=1,∴log2a+log2b=log2ab=log21=0.
答案:0
3.(2021·兰州模拟)(m+x)(1+x)3展开式中x奇数次幂项系数之和为16,那么xmdx=________.
解析:(m+x)(1+x)3=(m+x)(Cx3+Cx2+Cx+C),所以x奇数次幂项系数之和为mC+mC+C+Cm=3,所以xmdx=x3dx=x4|=0.
答案:0
[技法融会]
此类问题一般难度较小,主要表达在知识间交汇,求解时,只要理清知识间关系,然后对每个知识点逐一击破,问题便得以解决.
一、选择题
,N是两个非空集合,定义M⊗N={(a,b)|a∈M,b∈N},假设P={0,1,2,3},Q={1,2,3,4,5},那么P⊗Q中元素个数是( )
解析:选C 依题意,a有4种取法,b有5种取法,由分步乘法计数原理得,有4×5=20种不同取法,共有20个不同元素,应选C.
,抽取3名学生参加某档电视节目,如果按性别比例分层抽样,那么不同抽取方法数为( )
解析:选B 根据分层抽样,从12个人中抽取男生1人,女生2人,所以抽取2个女生1个男生方法有CC=112种.
3.(2021·四川高考)设i为虚数单位,那么(x+i)6展开式中含x4项为( )
A.-.-
解析:选A 二项式通项为Tr+1=Cx6-rir,由6-r=4,得r=2.
故T3=Cx4i2=-.
,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同数,其和为偶数,那么不同取法共有( )
解析:选D 从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同数,其和为偶数取法分为三类:第一类是取四个偶数,即C=1种方法;第二类是取两个奇数,两个偶数,即CC=60种方法;第三类是取四个奇数,即C=5,故有5+60+1=66种方法.
5.(2021·南昌一模)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,那么甲、乙所选课程中至少有1门不一样选法共有( )
解析:选A 甲、乙两人从4门课程中各选修2门有CC=36种选法,甲、乙所选课程中完全一样选法有6种,那么甲、乙所选课程中至少有1门不一样选法共有36-6=30种.
6.(x+2)15=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a15(1-x)15,那么a13值为( )
.-.-1024
解析:选B 由(x+2)15=[3-(1-x)]15=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a15(1-x)15,得a13=C×32×(-1)13=-945.
、2个小品类节目和1个相声类节目演出顺序,那么同类节目不相邻排法种数是( )
解析:选D 先安排小品类节目和相声类节目,然后让歌舞类节目去插空.
(1)小品1,相声,小品AA=48;
(2)小品1,小品2,=36;
(3)相声,小品1,ACA=36.
共有48+36+36=120种.
8.(2021·海口调研)假设(x2-a)展开式中x6系数为30,那么a等于( )
解析:选D 依题意,注意到展开式通项公式是Tr+1=C·x10-r·=C·x10-2r,展开式中含x4(当r=3时)、x6(当r=2时)项系数分别为C、C,因此由题意得C-aC=120-45a=30,由此解得a=2,选D.
,那么展开式中常数项是( )
解析:选B 依题意知n=10,
∴Tr+1=C()10-r·=C2r·x5-r,
令5-r=0,得r=2,
∴常数项为C22=180.
10.(2021·全国丙卷)定义“标准01数列〞{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,=4,那么不同“标准01数列〞共有( )
解析:选C 由题意知:当m=4时,“标准01数列〞共含有8项,其中4项为0,4项为1,且必有a1=0,a8=“对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0个数不少于1个数〞,那么中间6个数情况共有C=20(种),其中存在k≤2m,a1,a2,…,ak中0个数少于1个数情况有:①假设a2=a3=1,那么有C=4(种);②假设a2=1,a3=0,那么a4=1,a5=1,只有1种;③假设a2=0,那么a3=a4=a5=1,,不同“标准01数列〞共有20-6=14(种)..
(1-2x)2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016,那么++…+值为( )
.-1D.-2
解析:选C 当x=0时,左边=1,右边=a0,∴a0=1.
当x=时,左边=0,右边=a0+++…+,
∴0=1+++…+.
即++…+=-1.
12.(2021·河北五校联考)现有16张不同卡片,其中红色、黄色、蓝色、,要求这3张卡片不能是同一种颜色,( )
解析:选C 由题意,不考虑特殊情况,共有C种取法,其中每一种卡片各取3张,有4C种取法,取出2张红色卡片有C·C种取法,故所求取法共有C-4C-C·C=560-16-72=472种,选C.
二、填空题
13.(2021·山东高考)假设展开式中x5系数是-80,那么实数a=________.
解析:Tr+1=C·(ax2)5-r=C·a5-rx10--r=5,解得rx5系数为-80,那么有C·a3=-80,解得a=-2.
答案:-2
14.(2021·湖南东部六校联考)假设展开式中各项系数之和为128,那么展开式中系数是________.
解析:令x=1,得展开式中各项系数之和为(3-1)n=128=27,故nTr+1=Tr+1=C(3x)7-r×(-x-)r=(-1)r×37-rCx7-r-r,,令7-r=-3,得r=6,故展开式中系数是(-1)6×37-6C=21.
答案:21
,2,3,4,55张参观券全局部给4人,每人至少1张,如果分给同一人2张参观券连号,那么不同分法种数是________.
解析:5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,那么有4种分法,把这4份参观券分给4人,那么不同分法种数是4A=96.
答案:96
(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,那么函数f(x)=a2x2+a1x+a0单调递减区间是________.
解析:∵(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,∴a0=1,a1=-C=-5,a2=C=10,∴f(x)=10x2-5x+1=10+,∴函数f(x)单调递减区间是.
答案:
——全取送分、保分题就能稳进一本线