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(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0,Δ=b2-4ac>0),如果a与ax2+bx+c同号,那么其解集在两根之外;如果a与ax2+bx+c异号,:同号两根之外,异号两根之间.
(2)解简单分式、指数、对数不等式根本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解.
[题组练透]
1.(2021·河北五校联考)如图,R是实数集,集合A={x|log(x-1)>0},B=,那么阴影局部表示集合是( )
A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1)D.(0,1]
解析:选D 由题意可知A={x|1<x<2},B=,且图中阴影局部表示是B∩(∁RA)={x|0<x≤1},应选D.
(x)=(ax-1)(x+b),假设不等式f(x)>0解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)<0解集是( )
A.∪B.
C.∪D.
解析:选A 由f(x)>0,得ax2+(ab-1)x-b>0,又其解集是(-1,3),
∴a<0,且解得a=-1或(舍去),
∴a=-1,b=-3,
∴f(x)=-x2+2x+3,
∴f(-2x)=-4x2-4x+3,
由-4x2-4x+3<0,得4x2+4x-3>0,
解得x>或x<-,应选A.
3.(2021·泉州质检)设函数f(x)=那么使得f(x)≤1成立x取值范围是________.
解析:由得0≤x≤9,由得-1≤x<0,故f(x)≤1解集为[-1,9].
答案:[-1,9]
[技法融会]
:第一步,二次项系数化为正数;第二步,解对应一元二次方程;第三步,假设有两个不相等实根,那么利用“大于在两边,小于夹中间〞得不等式解集.
2.(易错提醒)解形如一元二次不等式ax2+bx+c>0时,易无视系数a讨论导致漏解或错解,要注意分a>0,a<0进展讨论.
根本不等式:≥
(1)根本不等式成立条件:a>0,b>0.
(2)等号成立条件:当且仅当a=b时取等号.
(3)应用:两个正数积为常数时,它们和有最小值;两个正数和为常数时,它们积有最大值.
[题组练透]
+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,那么实数a最小值为( )
.
解析:选B 2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=4+2a,由题意可知4+2a≥7,解得a≥,即实数a最小值为,应选B.
2.(2021·湖北七市联考)直线ax+by-6=0(a>0,b>0)被圆x2+y2-2x-4y=0截得弦长为2,那么ab最大值是( )
.
解析:选B 将圆一般方程化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,圆心坐标为(1,2),半径r=,故直线过圆心,即a+2b=6,∴a+2b=6≥2,可得ab≤,当且仅当a=2b=3时等号成立,即ab最大值是,应选B.
,高为1m无盖长方体容器,该容器底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,那么该容器最低总造价是( )
解析:选C 设该容器总造价为y元,长方体底面矩形长为xm,因为无盖长方体容积为4m3,高为1m,所以长方体底面矩形宽为m,
依题意,得y=20×4+10
=80+20≥80+20×2
=160.
所以该容器最低总造价为160元.
4.(2021·江西两市联考)x,y∈R+,且x+y++=5,那么x+y最大值是( )
.
解析:选C 由x+y++=5,得5=x+y+,∵x>0,y>0,∴5≥x+y+=x+y+,∴(x+y)2-5(x+y)+4≤0,解得1≤x+y≤4,∴x+y最大值是4.
[技法融会]
(1)凑项:通过调整项符号,配凑项系数,使其积或和为定值.
(2)凑系数:假设无法直接运用根本不等式求解,通过凑系数后可得到和或积为定值,从而可利用根本不等式求最值.
(3)换元:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值.
2.(易错提醒)利用根本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等〞,三个条件缺一不可.
解决线性规划问题一般步骤
(1)作图——画出约束条件所确定平面区域和目标函数所表示平面直线系中任意一条直线l.
(2)平移——将l平行移动,.
(3)求值——解有关方程组求出最优解坐标,再代入目标函数,求出目标函数最值.
[题组练透]
1.(2021·河南六市联考)实数x,y满足如果目标函数z=x-y最小值为-1,那么实数m=( )
解析:选B 画出不等式组所表示可行域如图中阴影局部所示,作直线l:y=x,平移l可知,当直线l经过A时,z=x-y取得最小值-1,联立得即A(2,3),又A(2,3)在直线x+y=m上,∴m=5,应选B.
2.(2021·福建质检)假设x,y满足约束条件那么(x+2)2+(y+3)2最小值为( )
.
解析:选B 不等式组表示可行域为如下图阴影局部,由题意可知点P(-2,
-3)到直线x+y+2=0距离为=,所以(x+2)2+(y+3)2最小值为=,应选B.
3.(2021·全国甲卷)假设x,y满足约束条件那么z=x-2y最小值为________.
解析:不等式组表示可行域如图中阴影局部所示.
由z=x-2y得y=x-z.
平移直线y=x,易知经过点A(3,4)时,z有最小值,最小值为z=3-2×4=-5.
答案:-5
4.(2021·山西质检)设实数x,y满足那么最小值是________.
解析:画出不等式组所表示可行域,如下图,而表示区域内一点(x,y)与点D(1,1)连线斜率,∴当x=,y=时,有最小值为-.
答案:-
5.(2021·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、,乙材料1kg,用5个工时;,,,,乙材料90kg,那么在不超过600个工时条件下,生产产品A、产品B利润之和最大值为________元.
解析:设生产产品Ax件,产品By件,由可得约束条件为
即
目标函数为z=2100x+900y,
由约束条件作出不等式组表示可行域如图中阴影局部.
作直线2100x+900y=0,即7x+3y=0,当直线经过点B时,z取得最大值,联立解得B(60,100).
那么zmax=2100×60+900×100=216000(元).
答案:216000
[技法融会]
=ax+by最值确定方法
线性目标函数z=ax+by中z不是直线ax+by=z在y轴上截距,把目标函数化为y=-x+,可知是直线ax+by=z在y轴上截距,要根据b符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.
2.(易错提醒)解线性规划问题,要注意边界虚实;注意目标函数中y系数正负;注意最优整数解.
(1)a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc.
(2)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.
,但在一些题某一点可能考察,在今后复****中应引起关注.
[题组练透]
1.(2021·河南六市联考)假设<<0,那么以下结论不正确是( )
<<b2
+b<0D.|a|+|b|>|a+b|
解析:选D 由题可知b<a<0,所以A,B,C正确,而|a|+|b|=-a-b=|a+b|,故D错误,选D.
,b,c∈R,那么以下命题中正确是( )
>b,那么ac2>bc2
>,那么a>b
>b3且ab<0,那么>
>b2且ab>0,那么<
解析:选C 当c=0时,可知A不正确;当c<0时,可知B不正确;对于C,由a3>b3且ab<0知a>0且b<0,所以>成立,C正确;当a<0且b<0时,可知D不正确.
[技法融会]
,常用方法:一是直接使用不等式性质,逐个验证;二是用特殊法排除.
(1)不等式两边都乘以一个代数式时,考察所乘代数式是正数、负数或0;
(2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;
(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等.
一、选择题
(ax-1)(x+1)<0解集是(-∞,-1)∪,那么a=( )
.-2C.-D.
解析:选B 根据不等式与对应方程关系知-1,-是一元二次方程ax2+x(a-1)-1=0两个根,所以-1×=-,所以a=-2,应选B.
2.(2021·北京高考)A(2,5),B(4,1).假设点P(x,y)在线段AB上,那么2x-y最大值为( )
A.-
解析:选C 作出线段AB,如下图.
作直线2x-y=0并将其向下平移至直线过点B(4,1)时,2x-y取最大值为2×4-1=7.
3.(2021·福建四地六校联考)函数f(x)=x++2值域为(-∞,0]∪[4,+∞),那么a值是( )
解析:选C 由题意可得a>0,①当x>0时,f(x)=x++2≥2+2,当且仅当x=时取等号;②当x<0时,f(x)=x++2≤-2+2,当且仅当x=-=1,应选C.
(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)单调递增,那么f(2-x)>0解集为( )
A.{x|x>2或x<-2}B.{x|-2<x<2}
C.{x|x<0或x>4}D.{x|0<x<4}
解析:选C 由题意可知f(-x)=f(x),即(-x-2)·(-ax+b)=(x-2)(ax+b),(2a-b)x=0恒成立,故2a-b=0,即b=2a,那么f(x)=a(x-2)(x+2).
又函数在(0,+∞)单调递增,所以a>(2-x)>0即ax(x-4)>0,解得x<0或xC.
5.(2021·赣中南五校联考)对于任意实数a,b,c,d,有以下四个命题:
①假设ac2>bc2,且c≠0,那么a>b;
②假设a>b,c>d,那么a+c>b+d;
③假设a>b,c>d,那么ac>bd;
④假设a>b,那么>.
其中正确有( )
解析:选B ①ac2>bc2,且c≠0,那么a>b,①正确;②由不等式同向可加性可知②正确;③需满足a,b,c,d均为正数才成立;④错误,比方:令a=-1,b=-2,满足-1>-2,但<.应选B.
6.(2021·安徽江南十校联考)假设x,y满足约束条件那么z=y-x取值范围为( )
A.[-2,2]B.
C.[-1,2]D.
解析:选B 作出可行域(图略),设直线l:y=x+z,平移直线l,易知当l过直线3x-y=0与x+y-4=0交点(1,3)时,z取得最大值2;当l与抛物线y=x2相切时,z取得最小值,由消去y得x2-2x-2z=0,由Δ=4+8z=0,得z=-,故-≤z≤2,应选B.
7.(2021·河北五校联考)假设对任意正实数x,不等式≤恒成立,那么实数a最小值为( )
.
解析:选C 因为≤,即a≥,而=≤(当且仅当x=1时取等号),所以a≥.应选C.
8.(2021·河南八市联考)a>0,x,y满足约束条件假设z=3x+2y最小值为1,那么a=( )
解析:选B 根据约束条件作出可行域(如图中阴影局部所示),
把z=3x+2y变形为y=-x+,得到斜率为-,在y轴上截距为,随z变化一族平行直线,当直线z=3x+2y经过点B时,截距最小,即z最小,又B点坐标为(1,-2a),代入3x+2y=1,得3-4a=1,得a=,应选B.
、乙两种产品均需用A,B两种原料,生产1吨每种产品所需原料及每天原料可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,那么该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
解析:选D 设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,每天获得利润为z万元,
那么有z=3x+4y,
由题意得x,y满足
作出可行域如图中阴影局部所示,根据线性规划有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,.
10.(2021·湖北七市联考)设向量a=(1,k),b=(x,y),|x-2|≤y≤1x,y,都有θ∈,那么实数k取值范围是( )
A.(-1,+∞)B.(-1,0)∪(0,+∞)
C.(1,+∞)D.(-1,0)∪(1,+∞)
解析:选D 首先画出不等式|x-2|≤y≤1所表示区域,如图中阴影局部所示,
令z=a·b=x+ky,∴问题等价于当可行域为△ABC时,z>0恒成立,且a与b方向不一样,将△ABC三个端点值代入,即解得k>-1,当a与b方向一样时,1·y=x·k,那么k=∈[0,1],∴实数k取值范围是(-1,0)∪(1,+∞),应选D.
,y满足+=1,且不等式x+<m2-3m有解,那么实数m取值范围是( )
A.(-1,4)B.(-∞,-1)∪(4,+∞)
C.(-4,1)D.(-∞,0)∪(3,+∞)
解析:选B 由题可知,1=+≥2=,即≥4,于是有m2-3m>x+≥≥4,故m2-3m>4,化简得(m+1)(m-4)>0,即实数m取值范围为(-∞,-1)∪(4,+∞).
(x)=ax2+bx+c导函数为f′(x).假设∀x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,那么最大值为( )
A.+2B.-2
+-2
解析:选B 由题意得f′(x)=2ax+b,由f(x)≥f′(x)在R上恒成立,得ax2+(b-2a)x+c-b≥0在R上恒成立,那么a>0且Δ≤0,可得b2≤4ac-4a2,那么≤=,又4ac-4a2≥0,∴4·-4≥0,∴-1≥0,令t=-1,那么tt>0时,≤=≤=-2(当且仅当t=时等号成立),当t=0时,=0,故最大值为-2,应选B.
二、填空题
13.(2021·湖北华师一附中联考)假设2x+4y=4,那么x+2y最大值是________.
解析:因为4=2x+4y=2x+22y≥2=2,所以2x+2y≤4=22,即x+2y≤2,当且仅当2x=22y=2,即x=2y=1时,x+2y取得最大值2.
答案:2
14.(2021·河北三市联考)如果实数x,y满足条件且z=最小值为,那么正数a值为________.
解析:根据约束条件画出可行域如图中阴影局部所示,经分析可知当x=1,y=1时,z取最小值,即=,所以a=1.
答案:1
15.(2021·江西两市联考)设x,y满足约束条件那么取值范围是________.