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[师说考点]
假设两条不重合直线l1,l2斜率k1,k2存在,那么l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2,那么要考虑斜率是否存在.
(1)两平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间距离d=.
(2)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0距离公式d=.
[典例] (1)“a=-1”是“直线ax+3y+3=0和直线x+(a-2)y+1=0平行〞( )
[解析] 选C 依题意,直线ax+3y+3=0和直线x+(a-2)y+1=0平行充要条件是解得a=-1.
(2)直线l过点(2,2),且点(5,1)到直线l距离为,那么直线l方程是( )
+y+4=-y+4=0
-y-4=-3y-4=0
[解析] 选C 由,设直线l方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,所以=,解得k=3,所以直线l方程为3x-y-4=0.
求直线方程2种方法
(1)直接法:选用恰当直线方程形式,由题设条件直接求出方程中系数,写出结果.
(2)待定系数法:先由直线满足一个条件设出直线方程,使方程中含有待定系数,再由题设条件构建方程,求出待定系数.
[演练冲关]
,B两点分别在两条互相垂直直线2x-y=0和x+ay=0上,且线段AB中点为P,那么线段AB长为( )
解析:选B 依题意,a=2,P(0,5),由得即互相垂直直线2x-y=0和x+ay=0相交于点O(0,0),于是|AB|=2|OPB.
(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,那么直线l方程为( )
-y+1=-y=0
+y+1=+y=0
解析:选A 由题意知直线l与直线PQ垂直,所以kl=-=-l经过PQ中点(2,3),所以直线l方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.
(-2,2)作直线l,使直线l与两坐标轴在第二象限内围成三角形面积为8,这样直线l一共有( )
解析:选C 由题意可知直线l方程为+=1(a<0,b>0),于是解得-a=b=4,.
[师说考点]
当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.
x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以为圆心,为半径圆.
[典例] (1)(2021·天津高考)圆C圆心在x轴正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0距离为,那么圆C方程为________.
[解析] 因为圆C圆心在x轴正半轴上,设C(a,0),且a>0,所以圆心到直线2x-y=0距离d==,解得a=2,
所以圆C半径r=|CM|==3,
所以圆C方程为(x-2)2+y2=9.
[答案] (x-2)2+y2=9
(2)(2021·浙江高考)a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,那么圆心坐标是________,半径是________.
[解析] 由二元二次方程表示圆条件可得a2=a+2,解得aa=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,配方得+(y+1)2=-<0,不表示圆;
当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,那么圆心坐标为(-2,-4),半径是5.
[答案] (-2,-4) 5
求圆方程2种方法
(1)几何法:通过研究圆性质、直线和圆、圆与圆位置关系,从而求得圆根本量和方程.
(2)代数法:用待定系数法先设出圆方程,再由条件求得各系数,从而求得圆方程.
[演练冲关]
(1,0),B(0,),C(2,),那么△ABC外接圆圆心到原点距离为( )
.
解析:选B 设圆一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
∴∴
∴△ABC外接圆圆心为,故△ABC外接圆圆心到原点距离为=.
2.(2021·福建模拟)与圆C:x2+y2-2x+4y=0外切于原点,且半径为2圆标准方程为________.
解析:所求圆圆心在直线y=-2x上,所以可设所求圆圆心为(a,-2a)(a<0),又因为所求圆与圆C:x2+y2-2x+4y=0外切于原点,且半径为2,所以=2,可得a2=4,那么a=-2或a=2(舍去).所以所求圆标准方程为(x+2)2+(y-4)2=20.
答案:(x+2)2+(y-4)2=20
[师说考点]
判断直线与圆位置关系2种方法
(1)代数法:将圆方程和直线方程联立起来组成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系:Δ>0⇔相交;Δ=0⇔相切;Δ<0⇔相离;
(2)几何法:把圆心到直线距离d和半径r大小加以比拟:d<r⇔相交;d=r⇔相切;d>r⇔相离.
[典例] (1)(2021·全国乙卷)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,假设|AB|=2,那么圆C面积为________.
[解析] 圆C:x2+y2-2ay-2=0化为标准方程为x2+(y-a)2=a2+2,
所以圆心C(0,a),半径r=,因为|AB|=2,点C到直线y=x+2a,即x-y+2a=0距离d==,由勾股定理得+=a2+2,解得a2=2,
所以r=2,所以圆C面积为π×22=4π.
[答案] 4π
(2)(2021·全国丙卷)直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l垂线与x轴交于C,D两点,那么|CD|=________.
[解析] 如下图,
∵直线AB方程为x-y+6=0,
∴kAB=,∴∠BPD=30°,从而∠BDP=60°.
在Rt△BOD中,∵|OB|=2,∴|OD|=2.
取AB中点H,连接OH,那么OH⊥AB,
∴OH为直角梯形ABDC中位线,
∴|OC|=|OD|,∴|CD|=2|OD|=2×2=4.
[答案] 4
弦长问题2种求解方法
(1)利用半径r,弦心距d,弦长l一半构成直角三角形,结合勾股定理d2+=r2求解;
(2)假设斜率为k直线l与圆C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,那么|AB|=|x1-x2|.
[演练冲关]
1.(2021·兰州模拟)直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且△ABC为等腰直角三角形,那么实数a值为( )
-1B.--
解析:选C 由题意得,圆心(1,-a)到直线ax+y-1=0距离为,∴=,解得a=±1,应选C.
:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=
A(-4,a)作圆C一条切线,切点为B,那么|AB|=( )
解析:选C 由于直线x+ay-1=0是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0对称轴,∴圆心C(2,1)在直线x+ay-1=0上,∴2+a-1=0,∴a=-1,∴A(-4,-1),∴|AC|2=36r=2,∴|AB|2=40-4=36.∴|AB|=6.
3.(2021·山东高考)圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段长度是2,那么圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1位置关系是( )
解析:选B 由题知圆M:x2+(y-a)2=a2(a>0),圆心(0,a)到直线x+y=0距离d=,所以2=2,解得aM,圆N圆心距|MN|=,两圆半径之差为1,故两圆相交.
直线和圆与其他知识交汇
高考对直线和圆考察重在根底,多以选择题、填空题形式出现,将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇,表达命题创新.
[典例] 不等式组表示平面区域Ω,过区域Ω中任意一个点P,作圆x2+y2=1两条切线且切点分别为A,B,当四边形PAOB面积最小时,cos∠APB值为( )
.
[解析] 选B作出平面区域Ω和单位圆x2+y2=1,l:x+y-2=0,
数形结合可得S四边形PAOB=2S△PAO=2××PA×1=PA.
∴当P到原点距离最小时,四边形PAOB面积最小,此时PO⊥l,且|PO|=2,故∠APO=,∴∠APB=,cos∠APB=.
求解与圆有关最值问题常用转化与化归思想,常见类型有:
(1)圆外一点与圆上任一点间距离最值;
(2)直线与圆相离,圆上点到直线距离最值;
(3)直线与圆相离,过直线上一点作圆切线,切线长最小值问题;
(4)形如求ax+by,等最值,转化为直线与圆位置关系.
[演练冲关]
1.(2021·长沙长郡中学检测)两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,假设a∈R,b∈R且ab≠0,那么+最小值为( )
.
解析:选A x2+y2+2ax+a2-4=0⇒(x+a)2+y2=4,x2+y2-4by-1+4b2=0⇒x2+(y-2b)2=1,由题意得两圆外切,所以a2+4b2=(2+1)2=9,因此+==
≥(5+2)=1,当且仅当a2=2b2时取等号,所以+最小值为1,选A.
=,假设k∈Z,且k∈A,使得过点B(1,1)任意直线与圆x2+y2+kx-2y-k=0总有公共点概率为________.
解析:由题意知A=[-1,2),又k2+4+k>0总成立,k∈Z,且k∈A,所以k有-1,0,1三个值,过点B(1,1)任意直线与圆x2+y2+kx-2y-k=0总有公共点,即点B(1,1)在圆上或圆内,即2+k-2-k≤0,得k≤0,即k有-1,0两个值,由古典概型概率公式知所求概率为.
答案:
一、选择题
1.(2021·福建厦门联考)“C=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0距离为3”( )
解析:选B 点(2,1)到直线3x+4y+C=0距离为3等价于=3,解得C=5或C=-25,所以“C=5〞是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0距离为3”充分不必要条件,应选B.
2.(2021·全国甲卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0圆心到直线ax+y-1=0距离为1,那么a=( )
A.-B.-
解析:选A 因为圆x2+y2-2x-8y+13=0圆心坐标为(1,4),所以圆心到直线ax+y-1=0距离d==1,解得a=-.
3.(2021·山西运城二模)圆(x-2)2+(y+1)2=16一条直径通过直线x-2y+3=0被圆所截弦中点,那么该直径所在直线方程为( )
+y-5=-2y=0
-2y+4=+y-3=0
解析:选D 直线x-2y+3=0斜率为,圆圆心坐标为(2,-1),该直径所在直线斜率为-2,所以该直径所在直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0,应选D.
=(x>0)上,与直线2x+y+1=0相切,且面积最小圆方程为( )
A.(x-2)2+(y-1)2=25
B.(x-2)2+(y-1)2=5
C.(x-1)2+(y-2)2=25
D.(x-1)2+(y-2)2=5
解析:选D 设圆心坐标为C(a>0),那么半径r=≥=,当且仅当2a=,即a==1时圆半径最小,此时r=,C(1,2),所以面积最小圆方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
5.(2021·福州模拟)圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a距离等于1点至少有2个,那么a取值范围为( )
A.(-3,3)
B.(-∞,-3)∪(3,+∞)
C.(-2,2)
D.[-3,3]
解析:选A 由圆方程可知圆心为O(0,0),半径为2,因为圆上点到直线l距离等于1点至少有2个,所以圆心到直线l距离d<2+1=3,即d==<3,解得a∈(-3,3),应选A.
6.(2021·河北五校联考)点P坐标(x,y)满足过点P直线l与圆C:x2+y2=14相交于A,B两点,那么|AB|最小值是( )
解析:选B 根据约束条件画出可行域,如图中阴影局部所示,设点P到圆心距离为d,那么求最短弦长,等价于求到圆心距离最大点,即为图中P点,其坐标为(1,3),那么d==,此时|AB|min=2=4,应选B.
二、填空题
7.(2021·山西五校联考)过原点且与直线x-y+1=0平行直线l被圆x2+(y-)2=7所截得弦长为________.
解析:由题意可得l方程为x-y=0,∵圆心(0,)到l距离为d=1,∴所求弦长=2=2=2.
答案:2
(x)=x3+ax-2b,如果f(x)图象在切点P(1,-2)处切线与圆(x-2)2+(y+4)2=5相切,那么3a+2b=________.
解析:由题意得f(1)=-2⇒a-2b=-3,又∵f′(x)=3x2+a,∴f(x)图象在点P(1,
-2)处切线方程为y+2=(3+a)(x-1),即(3+a)x-y-a-5=0,∴=⇒a=-,∴b=,∴3a+2b=-7.
答案:-7
9.(2021·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事休.〞事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b),可得f(x)=+最小值为________.
解析:∵f(x)=+=+,∴f(x)几何意义为点M(x,0)到两定点A(-2,4)与B(-1,3)距离之和,设点A(-2,4)关于x轴对称点为A′,那么A′为(-2,-4).要求f(x)最小值,可转化为|MA|+|MB|最小值,利用对称思想可知|MA|+|MB|≥|A′B|==5,即f(x)=+最小值为5.
答案:5
三、解答题
10.(2021·全国卷Ⅰ)过点A(0,1)且斜率为k直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k取值范围;
(2)假设=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
解:(1)由题设可知直线l方程为y=kx+1.
因为直线l与圆C交于两点,所以<1,
解得<k<.
所以k取值范围为.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,
整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
所以x1+x2=,x1x2=.
=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.
由题设可得+8=12,解得k=1,
所以直线l方程为y=x+1.
故圆心C在直线l上,所以|MN|=2.
(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB中点为M,O为坐标原点.
(1)求M轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l方程及△POM面积.
解:(1)圆C方程可化为x2+(y-4)2=16,
所以圆心为C(0,4),半径为4.
设M(x,y),那么=(x,y-4),=(2-x,2-y).
由题设知·=0,
故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.
由于点P在圆C内部,
所以M轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)可知M轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径圆.
由于|OP|=|OM|,故O在线段PM垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.
因为ON斜率为3,所以l斜率为-,
故l方程为y=-x+.
又|OM|=|OP|=2,O到l距离d为,
所以|PM|=2=,
所以△POM面积为S△POM=|PM|d=.
12.(2021·湖南东部六校联考)直线l:4x+3y+10=0,半径为2圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l右上方.
(1)求圆C方程;
(2)过点M(1,0)直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?假设存在,请求出点N坐标;假设不存在,请说明理由.
解:(1)设圆心C(a,0),那么=2⇒a=0或a=-5(舍).
所以圆C:x2+y2=4.
(2)当直线AB⊥x轴时,x轴平分∠ANB.
当直线AB斜率存在时,设直线AB方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0.
所以x1+x2=,x1x2=.
假设x轴平分∠ANB,那么kAN=-kBN⇒+=0⇒+=0⇒2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0⇒-+2t=0⇒t=4,
所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.