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导数题的解题技巧
【命题趋向】导数命题趋势:
导数应用:导数-函数单调性-函数极值-函数最值-导数的实际应用.
【考点***】
(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.
;掌握两个函数和、差、积、,会求某些简单函数的导数.
;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.
【例题解析】
考点1导数的概念
对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.
例1.(2006年辽宁卷)及方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为
.
[考查目的]
[解答过程],,
即:,所以.
故选A.
例2.(2006年湖南卷)设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是()
A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由
综上可得MP时,
考点2曲线的切线
(1)关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
(2)关于两曲线的公切线
若一直线同时及两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.
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典型例题
例3.(2004年重庆卷)已知曲线y=x3+,则过点P(2,4)的切线方程是_____________.
思路启迪:求导来求得切线斜率.
解答过程:y′=x2,当x=2时,y′=4.∴切线的斜率为4.
∴切线的方程为y-4=4(x-2),即y=4x-4.
答案:4x-y-4=0.
例4.(2006年安徽卷)若曲线的一条切线及直线垂直,则的方程为()
.
.
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]及直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为.
故选A.
例5.(2006年重庆卷)过坐标原点且及x2+y2-4x+2y+=0相切的直线的方程为()
=-3x或y==-3x或y=-=-3x或y=-=3x或y=x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1:设切线的方程为
又
故选A.
解法2:由解法1知切点坐标为由
故选A.
,取何值时,有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.
思路启迪:先对求导数.
解答过程:函数的导数为,曲线在点P()处的切线方程为,即 ①
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曲线在点Q的切线方程是即
②
若直线是过点P点和Q点的公切线,则①式和②式都是的方程,故得
,消去得方程,
若△=,即时,解得,此时点P、Q重合.
∴当时,和有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为.
考点3导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而及不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,,应高度重视以下问题:
1..求函数的解析式;;;(最值);
.
典型例题
例7.(2006年天津卷)函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.
故选A.
,且图象关于原点对称,当时,的极小值为,求出函数的解析式.
思路启迪:先设,再利用图象关于原点对称确定系数.
解答过程:设,因为其图象关于原点对称,即
,得
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由,
依题意,, ,
解之,得.
故所求函数的解析式为.
.
思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。
解答过程:由得,,即函数的定义域为.
,
又,
当时,,
函数在上是增函数,而,的值域是.
例10.(2006年天津卷)已知函数,其中为参数,且.
(1)当时,判断函数是否有极值;
(2)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;
(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程](Ⅰ)当时,,则在内是增函数,故无极值.
(Ⅱ),令,得.
由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.
①当时,随x的变化的符号及的变化情况如下表:
x
0
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此,函数在处取得极小值,且.
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要使,必有,可得.
由于,故.
②当时,随x的变化,的符号及的变化情况如下表:
+
0
-
0
+
极大值
极小值
因此,函数处取得极小值,且
若,,的极小值不会大于零.
综上,要使函数在内的极小值大于零,参数的取值范围为.
(III)解:由(II)知,函数在区间及内都是增函数。
由题设,函数内是增函数,则a须满足不等式组
或
由(II),参数时时,.要使不等式关于参数恒成立,必有,即.
综上,解得或.
所以的取值范围是.
例11.(2006年山东卷)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数的定义域为,且
(1)当时,函数在上单调递减,
(2)当时,由解得
、随的变化情况如下表
—
0
+
极小值
从上表可知
当时,函数在上单调递减.
当时,函数在上单调递增.
综上所述:当时,函数在上单调递减.
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当时,函数在上单调递减,函数在上单调递增.
例12.(2006年北京卷)已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,:
(Ⅰ)的值;
(Ⅱ)的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,函数及方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一:(Ⅰ)由图像可知,在上,在上,在上,
故在上递增,在上递减,
因此在处取得极大值,所以
(Ⅱ)
由
得
解得
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设
又
所以
由即得
所以
例13.(2006年湖北卷)设是函数的一个极值点.
(Ⅰ)求及的关系式(用表示),并求的单调区间;
(Ⅱ)设,.若存在使得成立,求的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程](Ⅰ)f`(x)=-[x2+(a-2)x+b-a]e3-x,
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由f`(3)=0,得-[32+(a-2)3+b-a]e3-3=0,即得b=-3-2a,
则f`(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a]e3-x
=-[x2+(a-2)x-3-3a]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
令f`(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,
所以x+a+1≠0,那么a≠-4.
当a<-4时,x2>3=x1,则
在区间(-∞,3)上,f`(x)<0,f(x)为减函数;
在区间(3,―a―1)上,f`(x)>0,f(x)为增函数;
在区间(―a―1,+∞)上,f`(x)<0,f(x)为减函数.
当a>-4时,x2<3=x1,则
在区间(-∞,―a―1)上,f`(x)<0,f(x)为减函数;
在区间(―a―1,3)上,f`(x)>0,f(x)为增函数;
在区间(3,+∞)上,f`(x)<0,f(x)为减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f(x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[min(f(0),f(4)),f(3)],
而f(0)=-(2a+3)e3<0,f(4)=(2a+13)e-1>0,f(3)=a+6,
那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].
又在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是[a2+,(a2+)e4],
由于(a2+)-(a+6)=a2-a+=()2≥0,所以只须仅须
(a2+)-(a+6)<1且a>0,解得0<a<.
故a的取值范围是(0,).
例14(2004年天津卷)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;
(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求出此切线方程.
思路启迪:(1)分析x=±1处的极值情况,关键是分析x=±1左右(x)的符号.(2)要分清点A(0,16)是否在曲线上.
解答过程::(1)(x)=3ax2+2bx-3,依题意,(1)=(-1)=0,
即
解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3-3x,(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).
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令(x)=0,得x=-1,x=1.
若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则(x)>0,
故f(x)在(-∞,-1)上是增函数,f(x)在(1,+∞)上是增函数.
若x∈(-1,1),则(x)<0,故f(x)在(-1,1)上是减函数.
所以f(-1)=2是极大值,f(1)=-2是极小值.
(2)曲线y=x3-3x,点A(0,16)不在曲线上,设切点M(x0,y0),则y0=x03-3x.
∵(x0)=3x02-3,
∴切线方程为y-y0=3(x02-1)(x-x0).
代入A(0,16)得16-x03+3x0=3(x02-1)(0-x0).
解得x0=-2,∴M(-2,-2),切线方程为9x-y+16=0.
小结:过已知点求切线,当点不在曲线上时,求切点的坐标成了解题的关键.
考点4导数的实际应用
建立函数模型,利用
典型例题
,现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器(切、焊损耗不计).有人应用数学知识作了如下设计:如图(a),在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剩余部分围成一个长方形,该长方体的高为小正方形的边长,如图(b).
x
x
a
b
请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积;
由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费),请你重新设计切焊方法,使材料浪费减少,而且所得长方体容器的容积.
解答过程:(1)设切去的正方形边长为x,则焊接成的长方体的底面的边长为4-2x,高为x,所以,,.
∴.
令,得(舍去).
而,
又当时,.
当时,,
∴当时,取最大值.
(2)重新设计方案如下:
如图①在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形;如图②,将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间;如图③,将图②焊成长方体容器。
图③
2
2
3
图②
1
4
2
3
1
图①
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新焊成的长方体容器底面是一个长方形,长为3,宽为2,此长方体容积
,显然.
故第二种方案符合要求.
例16.(2006年福建卷)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为:
已知甲、乙两地相距100千米.
(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程](I)当时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,
要耗没(升).
答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,。
(II)当速度为千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为升,依题意得
令得
当时,是减函数;当时,是增函数.
当时,取到极小值
因为在上只有一个极值,所以它是最小值.
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,.
【专题训练及高考预测】
一、选择题
=esinxcos(sinx),则y′(0)等于()
C.-1
=相切的方程是()
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+y=0或+y=0 -y=0或+y=0
+y=0或-y=0 -y=0或-y=0
(x)可导,且f′(0)=0,又=-1,则f(0)()
(x)的极值 (x)的极值
(x)的极小值
(x)=n2x2(1-x)n(n为正整数),则fn(x)在[0,1]上的最大值为()
C. D.
5、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处()
有极大值B、无极值C、有极小值 D、无法确定极值情况
(x)=ax3+3x2+2,f’(-1)=4,则a=()
A、B、C、 D、
=x2上的点M()的切线的倾斜角是()
A、300B、450C、600 D、900
(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是()
A、(0,1)B、(-∞,1)C、(0,+∞)D、(0,)
=x3-3x+3在[]上的最小值是()
B、1 C、 D、5
10、若f(x)=x3+ax2+bx+c,且f(0)=0为函数的极值,则()
A、c≠0B、当a>0时,f(0)为极大值
C、b=0D、当a<0时,f(0)为极小值
11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是()
A、(2,3) B、(3,+∞) C、(2,+∞) D、(-∞,3)
12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中()
A、至少有2个元素B、至少有3个元素C、至多有1个元素D、恰好有5个元素
二、填空题
′(x0)=2,=_________.
(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.
(x)=loga(3x2+5x-2)(a>0且a≠1)的单调区间_________.
,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大.
三、解答题