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函数及其表示
考点一求定义域的几种情况
①若f(x)是整式,则函数的定义域是实数集R;
②若f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;
③若f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;
④若f(x)是对数函数,真数应大于零。
⑤.因为零的零次幂没有意义,所以底数和指数不能同时为零。
⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;
⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题
考点二映射个数公式
Card(A)=m,card(B)=n,m,n,则从A到B的映射个数为。简单说成“前指后底”。
方法技巧清单
方法一函数定义域的求法
2.(2009江西卷理)函数的定义域为 ()
A. B. C. D.
。①y=.②y=.③y=
(x)的定义域为,求函数F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。
方法二函数概念的考察
下列各组函数中表示同一函数的是()==ln和
.
=f(x)的图像及直线x=2的公共点个数为
=定义域为,则其值域为
方法三分段函数的考察
ⅰ求分段函数的定义域和值域
2x+2x
1求函数f(x)=x的定义域和值域
3x
2(2010天津文数)设函数,则的值域是
(A)(B)(C)(D)
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【解析】依题意知,
ⅱ求分段函数函数值
3.(2010湖北文数),则
B. C.-4 D-
【解析】根据分段函数可得,则,所以B正确.
ⅲ解分段函数不等式
4.(2009天津卷文)设函数则不等式的解集是()
.
答案A解析由已知,函数先增后减再增当,令
解得。当,故,解得
5.(2009天津卷理)已知函数若则实数
的取值范围是 ABCD
解析:由题知在上是增函数,由题得,解得,故选择C。
6.(2009北京理)若函数则不等式的解集为____________.
解析(1)由.(2)由.
∴不等式的解集为,∴应填.
7。(2010天津理数)若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
(A)(-1,0)∪(0,1)(B)(-∞,-1)∪(1,+∞)(C)(-1,0)∪(1,+∞)(D)(-∞,-1)∪(0,1)
【答案】C由分段函数的表达式知,需要对a的正负进行分类讨论。
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解,解对数不等式既要注意真数大于0,同事要注意底数在(0,1)上时,不等号的方向不要写错。
ⅳ解分段函数方程
8.(2009北京文)已知函数若,则.
、基本运算的考查.
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由,无解,故应填.
方法四求函数的解析式
求下列函数的解析式
已知
已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).
已知f(x)满足求f(x).
方法五函数图像的考察
1
x
y
1
O
A
x
y
O
1
1
B
x
y
O
1
1
C
x
y
1
1
D
O
1.(2009山东卷理)函数的图像大致为 ().
解析函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.
2.(2009广东卷理)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)、乙车的速度曲线分别为(如图2所示).那么对于图中给定的,下列判断中一定正确的是 ()
,,甲车在乙车后面
,,乙车在甲车前面
解析由图像可知,曲线比在0~、0~及轴所围成图形面积大,
则在、时刻,甲车均在乙车前面,选A.
3.(2009江西卷文)如图所示,一质点在平面上沿曲线运动,
速度大小不变,其在轴上的投影点的运动速度的图象
大致为()
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ABCD
解析由图可知,当质点在两个封闭曲线上运动时,投影点的速度先由正到0、到负数,再到0,到正,故错误;质点在终点的速度是由大到小接近0,故错误;质点在开始时沿直线运动,故投影点的速度为常数,因此是错误的,故选.
4(2010山东理数)(11)函数y=2x-的图像大致是
【解析】因为当x=2或4时,2x-=0,所以排除B、C;当x=-2时,2x-=,故排除D,所以选A。
5(2010安徽文数)设,二次函数的图像可能是
【解析】当时,、同号,(C)(D)两图中,故,选项(D)符合
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
方法六映射概念的考察
设:是集合A到集合B的映射,如果B=,则A∩B=()
.
2集合M=,N=映射f:满足f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射f:的个数是()
3集合M=到集合N=一共有个不同的映射。
方法七函数值域和最值的求法
=的值域
=的值域
=的值域
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=的值域
=的值域
方法八函数奇偶性和周期性的考察
1.(2009全国卷Ⅰ理)函数的定义域为R,若及都是奇函数,则()
答案D解析及都是奇函数,,
函数关于点,及点对称,函数是周期的周期函数.,,即是奇函数。故选D
2.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=,
则f(2009)的值为 ()
A.-
答案C解析由已知得,,,,,,,,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f(2009)=f(5)=1,故选C.
3.(2009江西卷文)已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为
A. B. C. D.
答案C解析,故选C.
方法九函数奇偶性和对称性考察
1.(2009全国卷Ⅱ文)函数的图像 ()
(A)关于原点对称(B)关于主线对称(C)关于轴对称(D)关于直线对称
答案A解析由于定义域为(-2,2)关于原点对称,又f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图像关于原点对称,选A。
2.(2010重庆理数)(5)函数的图象
=
解析:是偶函数,图像关于y轴对称
方法十函数奇偶性和单调性的考察
1.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,则
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.
.
答案D解析因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数,则,,,又因为在R上是奇函数,,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.
2.(2009全国卷Ⅱ文)设则 ()
(A)(B)(C)(D)
答案B解析本题考查对数函数的增减性,由1>lge>0,知a>b,又c=lge,作商比较知c>b,选B。
3.(2009辽宁卷文)已知偶函数在区间单调增加,则满足<的x取值范围是 ()
(A)(,)B.[,)C.(,)D.[,)
答A解:由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(|x|)∴得f(|2x-1|)<f(),再根据f(x)的单调性得|2x-1|<解得<x<
4.(2009陕西卷文)定义在R上的偶函数满足:对任意的, ()
(A)B.
.
答案A解析由等价,于则在上单调递增,又是偶函数,,,,得,故选A.
5.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足:对任意的,有.
则当时,有()
(A)B.
.
答案C
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6.(2009江苏卷)已知,函数,若实数、满足,则、的大小关系为.
解析,函数在R上递减。由得:m<n
7.(2010安徽文数)(7)设,则a,b,c的大小关系是
(A)a>c>b(B)a>b>c(C)c>a>b(D)b>c>a
【解析】在时是增函数,所以,在时是减函数,所以。
方法十一抽象函数的解法
1.(2009四川卷理)已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是()
.
答A解:令,则;令,则由得,所以,故选择A。
2.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
答案-8解析因为定义在R上的奇函数,满足,所以,所以,由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0],那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以
-8-6-4-202468
y
x
f(x)=m(m>0)
方法十二对数函数的考察
3(2010全国卷1文数)(7),,则的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
C【命题意图】做本小题时极易忽视a的取值范围,而利用均值不等式求得a+b=,从而错选D,【解析1】因为f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或,所以a+b=又0<a<b,所以0<a<1<b,令由
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“对勾”函数的性质知函数在(0,1)上为减函数,所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
【解析2】由0<a<b,且f(a)=f(b)得:,利用线性规划得:,化为求的取值范围问题,,过点时z最小为2,∴(C)
4(2010全国卷1理数)(10)已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
方法十三函数创新题的解法
1.(2009浙江理)对于正实数,记为满足下述条件的函数构成的集合:且, ()
,,则
,,且,则
,,则
,,且,则
答案C解析对于,即有,令,有,不妨设,,即有,因此有,因此有.
2.(2009福建卷理)函数的图象关于直线对称。据此可推测,对任意的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程的解集都不可能是 ()
答案D解析对方程中分别赋值求出代入求出检验即得.