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1.2.1 第2课时.doc

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1.2.1 第2课时.doc

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第2课时 排列的综合应用
目标定位 ,能应用排列数公式解决简单的实际问题.
自主预****br/>
A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(n,m∈N*,m≤n)=.
A=n(n-1)(n-2)…2·1=n!(叫做n的阶乘).另外,我们规定0!=1.
:
即时自测

(1)如何选取排列数公式使计算更简便?
提示 ①排列数的第一个公式A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(n,m∈N*,m≤n)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式;在运用该公式时要注意它的特点是:从n起连续写出m个自然数的乘积即可.
②排列数的第二个公式A=适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等,在具体运用时,那么应注意先提取公因式再计算,同时还要注意隐含条件“m≤n且n,m∈N*〞的运用.
(2)有限制条件的排列问题的解题思路有哪些?
提示 ,常用的方法有直接法和间接法,直接法又有分步法和分类法两种.
(1)直接法
①分步法
第2页
按特殊元素或特殊位置优先安排,再安排一般元素(位置)依次分步解决,特别地:
(ⅰ)当某些特殊元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排序,这种分步法称为“捆绑法〞,即“相邻元素捆绑法〞.
(ⅱ)当某些特殊元素要求不相邻时,可以先安排其他元素,再将这些不相邻元素插入空档,这种方法称为“插空法〞,即“不相邻元素插空法〞.
②分类法
直接按特殊元素中选情况或特殊位置安排进行分类解决,即直接分类法.
特别地当某些元素按一定顺序排列时可用“等机率法〞,即n个不同元素参加排列,其中m个元素的顺序是确定的,这类问题的解法采用分类法:n个不同元素的全排列有A种排法,m个元素的排列有A种排法,因此A种排法中关于m个元素的不同分法有A类,而且每一分类的排法数是一样的,当这m个元素顺序确定时,共有种排法.
(2)间接法
,可先求与其对应的不符合条件的种数,进而求解,即“间接法〞.
,2,3,4,5这5个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数共有( )

解析 分2步完成:个位必为奇数,有A种选法;从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上,,共有A×A=36(个)无重复数字的三位奇数.
答案 B
,甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为( )
第4页

解析 (间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A×A;不考虑任何限制,6人的全排列有A.
∴符合题意的排法种数为A-A×A=576.
答案 C
,2,3,4,5的5张参观券全局部给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是________.
解析 5张参观券全局部给4人,分给同一人的2张参观券连号,方法数为:1和2,2和3,3和4,4和5,四种连号,其他号码各为一组,分给4人,共有4×A=96种.
答案 96
类型一 数字排列的问题
【例1】用0,1,2,3,4,5这六个数字
(1)可以组成多少个数字不重复的三位数?
(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数?
(3)可以组成多少个数字不重复的三位奇数?
(4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数?
(5)可以组成多少个大于3000,小于5421的不重复的四位数?
解 (1)分三步:
①先选百位数字,由于0不能作百位数字,因此有5种选法;
②十位数字有5种选法;
③个位数字有4种选法.
由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4=100(个).
(2)分三步:①百位数字有5种选法;②十位数字有6种选法;③个位数字有6种选法.
故所求三位数共有5×6×6=180(个).
(3)分三步:①先选个位数字,有3种选法;②再选百位数字,有4种选法;③选十位数字也有4种选法
第4页
,所以所求三位奇数共有3×4×4=48(个).
(4)分三类:①一位数共有6个;②两位数共有5×5=25(个);③三位数共有5×5×4=100(个).因此,比1000小的自然数共有6+25+100=131(个).
(5)分四类:①千位数字为3,4之一时,共有2×5×4×3=120(个);②千位数字为5,百位数字为0,1,2,3之一时,共有4×4×3=48(个);③千位数字为5,百位数字为4,十位数字为0,1之一时,共有2×3=6(个);④+48+6+1=175(个).
规律方法 排列问题的本质是“元素〞占“位子〞问题,有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上,或某个位子上不排某个元素.
解决此类问题的方法主要按“优先〞原那么,即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子,假设一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时,应分类讨论.
【训练1】用0,1,2,…,9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数:
(1)五位奇数;
(2)大于30000的五位偶数.
解 (1)要得到五位奇数,末位应从1,3,5,7,9五个数字中取,有5种取法;取定末位数字后,首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法;首末两位取定后,十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取,×8×A=13440个没有重复数字的五位奇数.
(2)要得偶数,末位应从0,2,4,6,8中选取,而要得比30000大的五位偶数,可分两类:
①末位数字从0,2中选取,那么首位可取3,4,5,6,7,8,9中任一个,共有7种选取方法,其余三个数位可从除首末两个数位上的数字之外的八个数字中选取,×7×A种不同情况.
②末位数字从4,6,8中选取,那么首位应从3,4,5,6,7,8,9中除去末位数字的六个数字中选取,其余三个数位仍有A种选法,所以共有3×6×A种不同情况.
第5页
由分类加法计数原理,比30000大的无重复数字的五位偶数共有2×7×A+3×6×A=10752(个).
类型二 排队问题(互动探究)
【例2】3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数:
(1)选5名同学排成一行;
(2)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端;
(3)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端;
(4)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端;
(5)全体站成一排,男、女各站在一起;
(6)全体站成一排,男生必须排在一起;
(7)全体站成一排,男生不能排在一起;
(8)全体站成一排,男、女生各不相邻;
(9)全体站成一排,甲、乙中间必须有2人;
(10)全体站成一排,甲必须在乙的右边;
(11)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右顺序不变;
(12)排成前后两排,前排3人,后排4人.
[思路探究]
探究点一 含有“在〞与“不在〞约束条件排列问题的求解原那么和常用方法是什么?
提示 解决这类排列问题的原那么主要是按“优先〞原那么,即按优先排特殊元素或优先满足特殊位子的分步计数,假设一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时,应分类讨论.
常用方法:①直接法:直接根据约束条件分步或分类计数;②间接法:问题的正面分的情况较多,或计算较复杂,而反面情况数较少或计算简单时选用间接法.
探究点二 对于“相邻〞与“不相邻〞问题,常用的处理方法是什么?
第7页
提示 相邻问题捆绑法,不相邻问题插空法.
探究点三 对于“定序〞问题,常用的处理方法是什么?
提示 对于定序问题,可采用“除阶乘法〞解决,即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.
解 (1)无限制条件的排列问题,只要从7名同学中任选5名排列,即可得共有N=A=7×6×5×4×3=2520(种).
(2)(直接分步法)先考虑甲有A种方案,再考虑其余6人全排A,
故N=AA=2160(种).
(3)(直接分步法)先安排甲、乙有A种方案,再安排其余5人全排A,
故N=A·A=240(种).
(4)法一(直接分类法)
按甲是否在最右端分两类:
第一类:甲在最右端有N1=A(种);
第二类:甲不在最右端时,甲有A个位置可选,而乙也有A个位置,而其余全排A,N2=AAA.
故N=N1+N2=A+AAA=3720(种).
法二(间接法)
无限制条件的排列数共有A,而甲或乙在左端(右端)的排法有A,且甲在左端且乙在右端的排法有A,
故N=A-2A+A=3720(种).
法三(直接分步法)
按最左端优先安排分步
对于左端除甲外有A种排法,
余下六个位置全排有A,但减去乙在最右端的排法AA种,
故N=AA-AA=3720(种).
(5)相邻问题(捆绑法)
男生必须站在一起,是男生的全排列,有A种排法,
女生必须站在一起,是女生的全排列,有A种排法,全体男生、女生各视为一个元素
第7页
,有A种排法,由分步乘法计数原理知,共有A·A·A=288(种).
(6)(捆绑法)即把所有男生视为一个元素,与4名女生组成5个元素全排,故N=A·A=720(种).
(7)即不相邻问题(插空法):先排女生共A种排法,男生在4个女生隔成的5个空中安排有A种排法,
故N=A·A=1440(种).
(8)比照(7)让女生插空:N=A·A=144(种).
(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体,与余下3个元素全排,故N=(A·A)·A=960(种).
(10)甲与乙之间的左右关系各占一半,
故N==2520(种).
(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变,即为所有甲、乙、丙排列的,
∴N==840(种).
(12)直接分步完成共有A·A=5040(种).
规律方法 排队问题的解题策略
排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外,还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题.
(1)对于相邻问题,可采用“捆绑法〞.
(2)对于不相邻问题,可采用“插空法〞,再将不相邻的元素插入空中.
(3)对于定序问题,可采用“除阶乘法〞.
【训练2】分别求出符合以下要求的不同排法的种数:
(1)6名学生排3排,前排1人,中排2人,后排3人;
(2)6名学生排成一排,甲不在排头也不在排尾;
(3)6人排成一排,甲、乙不相邻.
解 (1)分排与直排一一对应,故排法种数为A=720.
第8页
(2)甲不能排头尾,让受特殊限制的甲先选位置,有A种选法,然后其他5人排,有A种排法,故排法种数为AA=480.
(3)甲、乙不相邻,第一步除甲、乙外的其余4人先排好;第二步,甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排,共有AA=480(种)排法.
类型三 排列的综合应用
【例3】从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数,可以组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个?
解 先考虑组成一元二次方程的问题.
首先确定a,只能从1,3,5,7中选一个,有A种,然后从余下的4个数中任选两个作b,c,有A种.
由分步乘法计数原理知,共组成一元二次方程
A·A=48(个)方程要有实根,必须满足Δ=b2-4ac≥0.
分类讨论如下:
当c=0时,a,b可以从1,3,5,7中任取两个,有A种;
当c≠0时,分析判别式知b只能取5,7中的一个.
当b取5时,a,c只能取1,3这两个数,有A种;
当b取7时,a,c可取1,3或1,5这两组数,有2A种.
此时共有(A+2A)个.
由分类加法计数原理知,有实根的一元二次方程共有:
A+A+2A=18(个).
规律方法 该例的限制条件较隐蔽,需仔细分析,一元二次方程中a≠0需要考虑到,而对有实根的一元二次方程需有Δ≥:一是a不能为0;二是要保证b2-4ac≥0,,既要能观察出是排列问题,又要能搞清哪些是特殊元素,还要根据问题进行合理分类、分步,选择适宜的解法.
【训练3】从集合{1,2,3,…,20}中任选出3个不同的数,使这3个数成等差数列,这样的等差数列可以有多少个?
解 设a,b,c∈N*,且a,b,c成等差数列,那么a+c=2b,即a+c应是偶数.
第9页
因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列,那么第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数,,,选法只有两类.
(1)第一、三个数都是偶数,有A种;
(2)第一、三个数都是奇数,有A种.
于是,选出3个数成等差数列的个数为A+A=180(个).
[课堂小结]
,优先安排特殊元素或特殊位置.
,可考虑使用间接法.
,可使用“捆绑法〞“插空法〞.
,2位老师不相邻的排法种数为( )

解析 运用插空法,8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙),先把老师排在9个空隙中,有A种排法,再把8名学生排列,有A种排法,共有AA种排法.
答案 A
,4个不同的红球排成一排,要求黑球、红球分别在一起,不同的排法种数是( )

答案 C
、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球,放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中,假设不允许有空袋,且红口袋中不能装入红球,那么有________种不同的放法.
解析 ∵红口袋不能装入红球,∴红球只能放在黄、蓝、白、黑4种颜色的口袋中,∴红球有A种放法,其余的四个球在四个位置全排列有A种放法,由分步乘法计数原理得到共有A·A=96(种).
答案 96
第10页
,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个?
(1)偶数不相邻;
(2)偶数一定在奇数位上;
(3)1和2之间恰夹有一个奇数,没有偶数;
(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.
解 (1)用插空法,共有AA=1440个.
(2)先把偶数排在奇数位上有A种排法,再排奇数有A种排法,所以共有AA=576个.
(3)在1和2之间放一个奇数有A种方法,把1,2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有A种排法,所以共有AAA=720个.
(4)七个数的全排列为A,三个偶数的全排列为A,所以满足要求的七位数有=840个.
基础过关
,有3辆汽车需要停放,假设要使3个空位连在一起,那么停放的方法总数为( )

解析 3个空位连在一起作为1个元素与3辆汽车看成4个不同元素的全排列,故有A种停放方法.
答案 D
,B,C,D四个地区调研十二五规划的开局形势,要求每个地区只有1人,每人只去一个地区,且这6人中甲、乙两人不去A地区,那么不同的安排方案有( )

解析 A地区有A种方法,其余地区有A种方法,共有AA=240(种).
答案 B
,B,C三个展台,将甲,乙,丙,丁共4名“双语〞志愿者分配到这三个展台,每个展台至少1人,其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有( )