文档介绍：该【高中数学解题技巧数列放缩 】是由【1485173816】上传分享，文档一共【27】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高中数学解题技巧数列放缩 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。1/27
数列放缩技巧
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能及后继学****能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:
一、裂项放缩
例1.(1)求的值;(2)求证:.
解析:(1)因为,所以
(2)因为,所以
奇巧积累:(1)(2)
(3)
(4)
(5)(6)
(7)(8)
(9)
(10)(11)
(11)
(12)
(13)
(14)(15)
(15)
例2.(1)求证:
2/27
(2)求证:
(3)求证:
(4)求证:
解析:(1)因为,所以
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先,所以容易经过裂项得到
再证而由均值不等式知道这是显然成立的,所以
:
解析:一方面:因为,所以
另一方面:
当时,,当时,,
当时,,所以综上有
例4.(2008年全国一卷)..设,:.
解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则
,否则若,则由知
3/27
,,因为,
于是
,求证:.
解析:首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证,即等价于
,即等价于
而正是成立的,所以原命题成立.
,,求证:.
解析:
所以
从而
,,求证:
证明:,因为
,所以
所以
二、函数放缩
:.
解析:先构造函数有,从而
4/27
因为
所以
:(1)
解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案
函数构造形式:,
:
解析:提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先:,从而,
取有,,
所以有,,…,,,相加后可以得到:
另一方面,从而有取有,,
所以有,所以综上有
:和.
解析:构造函数后即可证明
:
解析:,叠加之后就可以得到答案
函数构造形式:(加强命题)
:
解析:构造函数,求导,可以得到:
5/27
,令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
.
解析:,然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路:
。于是,
即
注:题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路及探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩:
,
即
例15.(2008年厦门市质检)已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.(I)求证:函数上是增函数;
(II)当;
(III)已知不等式时恒成立,
求证:
解析:(I),所以函数上是增函数
(II)因为上是增函数,所以
两式相加后可以得到
6/27
(3)
……
相加后可以得到:
所以令,有
所以
(方法二)
所以
又,所以
例16.(2008年福州市质检)已知函数若
解析:设函数
∴函数)上单调递增,在上单调递减.
∴的最小值为,即总有
而
即
令则
7/27
例17.⑴设函数,求的最小值;
⑵设正数满足,证明
.
解析:对函数求导数:
于是
当在区间是减函数,
当在区间是增函数.
所以时取得最小值,,
(Ⅱ)证法一:用数学归纳法证明.
(i)当n=1时,由(Ⅰ)知命题成立.
(ii)假定当时命题成立,即若正数,
则
当时,若正数令
则为正数,且由归纳假定知
①
同理,由可得
②
综合①、②两式
即当时命题也成立.
根据(i)、(ii)可知对一切正整数n命题成立.
8/27
证法二:
令函数
利用(Ⅰ)知,当
对任意
.①
下面用数学归纳法证明结论.
(i)当n=1时,由(I)知命题成立.
(ii)设当n=k时命题成立,即若正数
由①得到
由归纳法假设
即当时命题也成立.
所以对一切正整数n命题成立.
,且,定义函数若为正实数,证明不等式:.
解析:当
上为增函数
9/27
,
由可知同理可得
又由(Ⅰ)知
所以
三、分式放缩
姐妹不等式:和记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
:和也可以表示成为
和
解析:利用假分数的一个性质可得
即
:
解析:运用两次次分式放缩:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:
所以有
四、分类放缩
10/27
:
解析:
例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编)在平面直角坐标系中,轴正半轴上的点列及曲线(≥0)上的点列满足,,.
(1)证明>>4,;(2)证明有,使得对都有<.
解析:(1)依题设有:,由得:
,又直线在轴上的截距为满足
显然,对于,有
(2)证明:设,则
设,则当时,
。
所以,取,对都有: