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高二数学第二学期期末考试模拟卷
数学试题
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,计40分)
,则S等于(A)
+1C.(x-2)+4
,2,…,9这九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是(C)
A. B. C. D.
,则落体运动从到所走的路程为(C)
A. B. C. D.
,则n的最小值是(A)
,记,则等于(A)
A. .
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(D)
A. .
,且),在复平面内,Z1、Z2所对应的点及原点组成的三角形是 (C)
:①已知A、B、C、D是空间的任意四点,则;
②若{}为空间的一组基底,则{}也构成空间的一组基底;
③;④对于空间的任意一点O和不共线的三点A、B、C,若(其中),则P、A、B、C四点共面.
其中正确的个数是 ( B )
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,计30分)
、n作为点P的坐标,则点P落在直线x+y=5下方的概率是
△ABC,A(1,1),B(2,3),C(3,-1),在矩阵作用所得到的图形围成的面积是___________.
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,则集合中元素的个数是 3.
,所围成的图形的面积可用定积分表示为.
,,则满足方程的二阶方阵=
,已知命题:若矩形ABCD的对角线BD及边AB和BC所成角分别为,则若把它推广到长方体ABCD—A1B1C1D1中,试写出相应命题形式:
若长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1及BA1,BB1,BC所成的角分别为,则。.
三、解答题(共90分)
,z2,满足.
(1)若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两根,求z1,z2.
(2)若z1=1+mi(i为虚数单位,m∈R),,复数w=z2+3,求|w|的取值范围.
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解:(1)∵z1,z2是一个实系数一元二次方程的两个虚根,因此必共轭,
可设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0),则z2=a-bi,
由得(a+bi)2=a-bi即:a2-b2+2abi=a-bi
根据复数相等,∵b≠0解得:或,
∴或.
(2)由于,z1=1+mi,w=z2+3,∴w=(1+mi)2+3=4-m2+2mi.
∴,
由于且m≠0,可解得0<m2≤1,令m2=u,,
在u∈(0,1)上,(u-2)2+12是减函数,∴.
:,
(1)求;
(2)猜想的表达式,并证明你的结论。
解:⑴…………2’
…………2’
⑵猜想:……………………3’
下面用数学归纳法证明:
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①当n=1时,,已知,显然成立………………1’
②假设当时,猜想成立,即
则当时,
……3’
即对时,猜想也成立。
结合①②可知:猜想对一切都成立。………………2’
,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球放入5个盒子内.
只有一个盒子空着,共有多少种投放方法?
没有一个盒子空着,但球的编号及盒子编号不全相同,有多少种投放方法?
(3)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号及盒子编号是相同的,有多少种投放方法?
解:(1)C52A 54=1200(种)……4分
(2)A55-1=119(种)……8分
(3)满足的情形:第一类,五个球的编号及盒子编号全同的放法:1种
第二类,四个球的编号及盒子编号相同的放法:0种
第三类,三个球的编号及盒子编号相同的放法:10种
第四类,二个球的编号及盒子编号相同的放法:2C52=20种
∴满足条件的放法数为:
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1+10+20=31(种)……14分
,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.
(Ⅰ)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;
(Ⅱ)当D1E⊥平面AB1F时,求二面角C1―EF―A的余弦值以及BA1及面C1EF所成的角的大小.
解:(1)以A为原点,直线AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
不妨设正方体的棱长为1,且,则
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
E
F
于是
由
于是,可解得
所以当点F是CD的中点时,
(2)当时,F是CD的中点,
平面AEF的一个法向量为
而在平面C1EF中,
所以平面C1EF的一个法向量为
,
又因为当把,都移向这个二面角内一点时,背向平面AEF,而指向平面C
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1EF
故二面角C1―EF―A的大小为
又,,所以
BA1及平面C1EF所成的角的大小为.
,放有标号分别为,,的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、,记.
(Ⅰ)求随机变量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;
(Ⅱ)求随机变量的分布列和数学期望.
解:(Ⅰ)、可能的取值为、、,
,,,且当或时,
因此,,
.
答:随机变量的最大值为3,事件“取得最大值”的概率为.
(Ⅱ)的所有取值为.
时,只有这一种情况,
时,有或或或四种情况,
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时,有或两种情况.
,,.
则随机变量的分布列为:
因此,数学期望.
,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设:
(1)由于自然繁殖,兔子数每年增长10%,狐狸数每年减少15%;
(2)由于狐狸吃兔子,,;
(3)第n年时,兔子数量用表示,狐狸数量用表示;
(4)初始时刻(即第0年),兔子数量有只,狐狸数量有只。
请用所学知识解决如下问题:
(1)列出兔子及狐狸的生态模型;(2)求出、关于n的关系式;
(3)讨论当n越来越大时,兔子及狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态,说明你的理由。
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解:⑴……………………4’
⑵设,
∴=……=
又矩阵M的特征多项式
=
令得:
特征值对应的一个特征向量为
特征值对应的一个特征向量为……………………6’
且
∴=
∴………………………………14’
⑶当n越来越大时,越来越接近于0,,分别趋向于常量210,140。即随着时间的增加,兔子及狐狸的数量逐渐增加,当时间充分长后,兔子及狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。……2’