文档介绍：该【几何图形中的最值问题 】是由【泰山小桥流水】上传分享，文档一共【10】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【几何图形中的最值问题 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。几何图形中的最值问题
前言:最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包括三个方面的问题:
函数:①二次函数有最大值和最小值;②一次函数中有取值围时有最大值和最小值。
不等式:①如x≤7,最大值是7;②如x≥5,最小值是5.
几何图形:①两点之间线段线段最短。②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短,③在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
一、最小值问题
B
A
L
C
图1B'
,已知正方形的边长是8,M在DC上,且DM=2,N为线段AC上的一动点,
DN+MN的最小值。
解:作点D关于AC的对称点D/,则点D/与点B重合,连BM,交AC于N,连DN,则DN+MN
最短,且DN+MN=BM。
CD=BC=8,DM=2,∴MC=6,
在Rt△BCM中,BM=8
2
6
2=10,
∴DN+MN的最小值是10。
0
例2,已知,MN是⊙O直径上,MN=2,点A在⊙O上,∠AMN=30,B是弧AN的中点,P是MN上的一动点,则PA+PB的最小值是
解:作A点关于MN的对称点
//
A,连AB,交MN于P,则PA+PB最短。
/
连OB,OA,
0
∵∠AMN=30,B是弧AN的中点,
/
0
依据对称性可知
∴∠BOA=30,
/
0
/0
∴∠NOA=60,
∴∠MOA=90,
/
/
在Rt△ABO中,OA=OB=1,
∴A/B=2
即PA+PB=2
,已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x上确立一点P,使点P到D、
两点的距离之和最小,并求出最小值。
解:作点E关于直线y=x的对称点M,
y
连MD交直线y=x于P,连PE,
2
y=x
则PE+PD最短;即PE+PD=MD。
1
O
x
∵E(-1,-4),
∴M(-4,-1),
-4-3-2-1
1234
M
-1
N
P
过M作MN∥x轴的直线交过D作DN∥y轴的直线于N,
-2
则MN⊥ND,
又∵D(1,-3),则N(1,-1),
-3
D
E
-4
2
2
=
29。
图6
在Rt△MND中,MN=5,ND=2,∴MD=5
2
∴最小值是
29。
练****br/>(20123分)如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯离杯底4cm的
C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正幸好杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂
蚁到达蜂蜜的最短距离为▲cm.
【答案】15。
【解】如图,圆柱形玻璃杯睁开(沿点A竖直剖开)后侧面是一个长18宽12的矩形,作点A关于杯上沿MN的对称点B,连接BC交MN于点P,
连接BM,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知
AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,且AP=BP。
由已知和矩形的性质,得DC=9,BD=12。
在Rt△BCD中,由勾股定理得BCDC2BD29212215。
∴AP+PC=BP+PC=BC=15,
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
正方形ABCD边长是4,∠DAC的均分线交CD与点E,点P,Q分别是AD,AE上的动点(两动点不重合),则PQ+DQ的最小值是
解:过点D作DF⊥AC,垂足为F,则DF即为PQ+DQ的最小值.∵正方形ABCD的边长是4,
AD=4,∠DAC=45°,
在直角△ADF中,∠AFD=90°,∠DAF=45°,AD=4,
∴DF=AD?sin45°=4×
2=22
2
故答案为2
(2009?)如图,在锐角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,
∠BAC的均分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则
C
BM+MN的最小值是______.
解:过B作关于AD的对称点B/,则B/
在AC上,
/
//
MN最短,即为
/
且AB=AB=4,MB=MB,B
BH最短。
/
在Rt△AHB中,
/
/
∠BAH=45°,AB=4,
∴B/H=4,
BM+MN的最小值是4.
如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别
为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为,
解:∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,
∵∠A=120°,∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°,
作点P关于直线BD的对称点P′,连接P/Q,PC,则P/Q的长即为PK+QK的最小值,由图可知,
/
当点Q与点C重合,CP⊥AB时PK+QK的值最小,
Rt△BCP/中,∵BC=AB=2,∠B=60°,
/
CP=BC?sinB=2×=.
M
A
NB/
M
A
NH
D
B
C
D
B
5.(2012)如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别
找一点M、N,使△AMN周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为【】
°°°°
解:作A关于BC和ED的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△,
∵∠EAB=120°,
∴∠HAA′=60°,
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°,
∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″
2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°,应选:B.
(2011?贵港)以下列图,在边长为2的正△ABC中,E、F、G分别为AB、AC、BC
的中点,点P为线段EF上一个动点,连接BP、GP,则△BPG的周长的最小值是
解:要使△PBG的周长最小,而BG=1必定,
只要使BP+PG最短即可,
连接AG交EF于M,
∵等边△ABC,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,
∴AG⊥BC,EF∥BC,
∴AG⊥EF,AM=MG,
∴A、G关于EF对称,
即当P和E重合时,此时BP+PG最小,即△PBG的周长最小,
AP=PG,BP=BE,
最小值是:PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3.
故答案为:3.
7.(第二阶段十三)在平面直角坐标系中,Rt△OAB的极点A的坐标是(9,0),tan∠BOA=
3,
3
点C的坐标为(2,0),点P为斜边OB上的一个动点,则
PA+PC的最小值为67
解:作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P,
连接AP,过D作DN⊥OA于N,则此时PA+PC的值最小,
∵Rt△OAB的极点A的坐标为(
9,0),∴OA=9,
∵tan∠BOA=
3∴AB=33,∠B=60°,
3
∴∠AOB=30°,∴OB=2AB=63
1
1
△OAB
×OA×AB=×OB×AM,
由三角形面积公式得:S=
2
2
即9×33=6
3AM,
∴AM=9,∴AD=2×9=9,
2
2
∵∠AMB=90°,∠B=60°,∴∠BAM=30°,
∵∠BAO=90°,∴∠OAM=60°,
∵DN⊥OA,∴∠NDA=30°,∴AN=1
2
2
AD=9,由勾股定理得:DN=
AD2
AN2
=
92
9
=9
3,
2
2
2
∵C(2,0),∴CN=9――29=5,
2
2
2
2
93
5
在Rt△DNC中,由勾股定理得:
DC=
DN2
CN2
=
=67
2
2
即PA+PC的最小值是
67,
8.(2013)如图,在平面直角坐标系中,
Rt△OAB的极点
A在x
轴的正半轴上,极点
B的坐
标为(
3,
3),点
C的坐标为(
1,0),点
P为斜边
OB上的一动点,则△
PAC周长
2
的最小值为()
解:作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P,连接
则此时PA+PC的值最小,
AP,过
D作DN⊥OA于
N,
DP=PA,∴PA+PC=PD+PC=CD,
B(3,),
∴AB=,OA=3,∠B=60°,由勾股定理得:OB=2,
由三角形面积公式得:×OA×AB=×OB×AM,
∴AM=,∴AD=2×=3,
∵∠AMB=90°,∠B=60°,∴∠BAM=30°,
∵∠BAO=90°,∴∠OAM=60°,
∵DN⊥OA,∴∠NDA=30°,
AN=AD=,由勾股定理得:DN=,
∵C(,0),∴CN=3﹣﹣=1,
在Rt△DNC中,由勾股定理得:DC==,
即△PAC周长的最小值为5+,
2
9.(2013?)在平面直角坐标系中,矩形ABCD的极点A,B,C的坐标分别是(0,
0),(20,0)(20,10)。在线段AC、AB上各有一动点M、N,则当BM+MN为最小值时,
点M的坐标是()
解:如图,作点B关于AC的对称点B′,过点B′作B′N⊥OB于N,B′N交AC于M,则
B′N=B′M+MN=BM+MN,′N的长就是BM+′,交DC于P.
∵四边形ABCD是矩形,∴DC∥AB,
∴∠BAC=∠PCA,
∵点B关于AC的对称点是B′,∴∠PAC=∠BAC,
∴∠PAC=∠PCA,∴PA=PC.
PA=x,则PC=x,PD=20-x.
222
在Rt△ADP中,∵PA=PD+AD,
∴x2=(20-x)2+102,∴x=.
∵cos∠B′ON=cos∠OPD,∴ON:OB′=DP:OP,
∴ON:20=:,∴ON=12.
∵tan∠MON=tan∠OCD,∴MN:ON=OD:CD,
∴MN:12=10:20,∴MN=6.
∴点M的坐标是(12,6).故答案为(12,6).
,在矩形ABCD中,AB=20,BC=10,在AC、AB上各取一点求最小值。
解:如图,作点B关于直线AC的对称点B′,交AC与E,连接B′M,
B′作B′G⊥AB于G,交AC于F,
由对称性可知,B′M+MN=BM+MN≥′G,D
M、N,使得BM+MN有最小值,
B'
C
M
ANB
当且仅当M与F、点N与G重合时,等号成立,AC=105,
∵点B与点B′关于AC对称,∴BE⊥AC,
∴S△ABC=1AC?BE=1AB?BC,
2
BE=45,BB′=2BE=85
因∠B′BG+∠CBE=∠ACB+∠CBE=90°,
则∠B′BG=∠ACB,
又∠B′GB=∠ABC=90°,
//
得△B′GB∽△ABC,BGBB
ABAC
B′G=16,故BM+MN的最小值是16cm.
故答案为:16cm.
如图,已知正方形ABCD的边长为10,点P是对角线BD上的一个动点,
CD边上的中点,则PM+PN的最小值是
解:作点N关于BD的对称点N′,交AD与N/,连接N/M,则N/M=ABA最短。
/
故答案为:MN=10cm
12.(仿真六)如图,正方形ABCD的边长为2,
是BD上的一个动点(P与B、D不重合)
A
1)求证:△APB≌△CPB;
2)设折线EPC的长为y,求y的最小值,并说明点P此时的地址.
解:AE=5,BD=2
2,
可证BP=1BD,∴BP=2
2,距B点2
2。
B
3
3
3
,△ABC是等腰直角三角形,∠
0
,BC=2
2,B是三角
C=90
形的角的均分线,点
E、F是BD和BC上的动点,则
CE+EF的
最小值
解:作C关于BD的对称点C/,
A
过C/作C/F⊥BC于F,则CE+EF
/
的最小值是CF。
E
D
B
B
F
C
M、N分别是BC、
N'D
PN
MC
D
P
EC
A
C'
DFC
/
BC/
C/
F
CF∥AC,∴
BA
=
AC
22=C/F
422
∴C/F=2,CE+EF的最小值是2.
,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=DC=4,BC=8,N中BC上,CN=2,E是BC的中点,M是AC上的一个动点,则EM+MN的最小值
解:作N点关于AC的对称点N’,连接N’E交AC于M
∴∠DAC=∠ACB,∠DAC=∠DCA,∴∠ACB=∠DCA,
∴点N关于AC对称点N′在CD上,CN=CN′=2,
又∵DC=4,
∴EN’为梯形的中位线,
1
∴EN′=(AD+BC)=6,
2
∴EM+MN最小值为:EN′=6.
,AD∥BC,AB=DC,AC均分∠BCD,BA⊥AC,若AC=43,P、M、N分别是
AC、AD、DC上的任意一点,则PM+PN的最小值
解:作点N关于AC的对
称点N/,过N/作BC的垂
AMD
N
AMD
N
/
线交AD于M,MN交AC于
P
P
点P,则MN最短是夹在
CB
C
B
H
N'
AD与BC间的垂线段最
0
3,则AB=4.
短。可知∠B=60,在Rt△ABC中,AC=4
在Rt△ABH中,AH=sin600×4=3×4=2
+PN的最小值是2
3。
2
二,最大值问题
知识点:求PAPB的最大值;①A,B在直线l
的同侧.②A,B在直线l的双侧.
B
A
B/
A
PPlPPl
B
,B在直线
MN外的同侧,点A到MN的距离AC=8,点B到MN的距离BD=5,CD=4,
P在直线MN上运动,则
PAPB的最大值是
。
B
A
A
B
E
DPCl
P/
DPCl
解:延长AB交L于点P′,
//
AB>|PA-PB|,AB>|PA-PB|,
∵PA-PB=AB,由三角形三边关系可知
∴当点P运动到P′点时,|PA-PB|最大,
BD=5,CD=4,AC=8,
过点B作BE⊥AC,则BE=CD=4,AE=AC-BD=8-5=3,
∴AB2=AE2+BE2=16+9=25.∴AB=5.
|PA-PB|=:5.
△ABC中,AB=3,AC=2,以BC为边的△BCP是等边△,求AB的最大值和最小值。
解:将△PAC绕P点逆时针旋转
0
/
/
60
获取△PBA,则AA=AP
/
/0
/
AB=AC,∠APA=60,可获取等边三角形
AAP.
/
/
∴AB=3,AC=AB=2,则AA:
P
C
//
/
∴AB-AB≤AA≤AB+AB
A
即1≤AA/≤5,故AP的最大值是
5,最小值是1.
B
,正方形ABCD的边长为
1,点P为边BC上任意一
A/
点(可与B点或C点重合),分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别是B′、C′、D′,
则BB′+CC′+DD′的最大值为2,最小值为2
解:连接AC、DP,S正方形ABCD=1×1=1,由勾股定理得:AC=2
AB=1,∴1≤AP≤2
S△DPC=S△APC=1AP×CC′,
2
1=S正方形ABCD=S△ABP+S△ADP+S△DPC=1·AP(BB′+DD′+CC′),
2
1·AP=1/BB′+DD′+CC′
2
∵1≤AP≤2,即1≤AP≤1,
2
2
∴1
≤1/BB′+DD′+CC′≤
1
(如1
≤1
≤1)
2
2
4
3
2
2≤BB′+CC′+DD′≤2,
故答案为:2,2