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第1讲因式分解
【知识精读】
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学****本章知识时,应注意以下几点。
;
;
,必须进行到每一个因式都不能再分解为止;
,也可以表示多项式;
,应写成幂的形式;
,一般指在有理数范围内分解;
:
〔1〕通常采用一“提〞、二“公〞、三“分〞、四“变〞的步骤。即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;
〔2〕假设上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项〔添项〕等方法;
【分类解析】
解析步骤:
x5-x4+x3-x2+x-1
=x4(x-1)+x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x4+x2+1) 
=(x-1)(x4+2x2+1-x2)
=(x-1)[(x2+1)2-x2]
=(x-1)(x2+x-1)(x2-x+1)
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解析步骤:
x3+3x2-4
=x3+2x2+x2-4
=x2〔x+2〕+〔x+2〕〔x-2〕
=〔x+2〕〔x2+x-2〕
=〔x+2〕〔x+2〕〔x-1〕
=〔x+2〕2〔x-1〕
例3:求证:多项式的值一定是非负数
解析步骤:
(x2-4)(x2-10x+21)+100
=(x2-4)[(x-5)2-4]+100
=x2(x-5)2-4(x-5)2-4(x2-4)+16+100化简得
=x2(x-5)2-8x(x-5)+16这步是关键
=[x(x-5)-4]2
所以一个平方数必大于等于0
例4:分解因式:
解析步骤:
〔a+2b+c)3-〔a+b〕3-(b+c)3
=a3+b3+c3-3abc
=(a+b)(a2-ab+b2)+c(c2-3ab)
=(a+b)(a2-ab+b2)+c(c2-3ab+a2-ab+b2-a2+ab-b2)
=(a+b)(a2-ab+b2)+c[(c2-a2-2ab-b2)+(a2-ab+b2)]
=(a+b)(a2-ab+b2)+c[c2-(a+b)2]+c(a2-ab+b2)
=(a+b+c)(a2-ab+b2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
中考点拨:
,三边a,b,c满足
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求证:
解析步骤:
配上一项:
a2+16b2-c2+6ab+10bc=0
a2+6ab+9b2-25b2-c2+10bc=0
a2+6ab+9b2=25b2-10bc+c2
(a+3b)2=(5b-c)2
由于是三角形的三边所以a+3b>0; 
且两边只和必须大于第三边:所以5b-c>0
推出:a+3b=5b-c得出:a+c=2b 
【小试牛刀】
,求证:的值不大于100。
【实战模拟】
:
2.:的值。
,两边x,y使,求矩形的面积。
:是6的倍数。〔其中n为整数〕
5.:a、b、c是非零实数,且,求a+b+c的值。
6.:a、b、c为三角形的三边,比拟的大小。