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初一数学思维导图
有理数
正数和负数
正数:大于0的数;
负数:小于0的数;
(2)0既不是正数,也不是负数;
在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义;
-a不一定是负数,+a也不一定是正数;
自然数:0和正整数统称为自然数;
a>0a是正数;a≥0a是正数或0a是非负数;
a<0a是负数;a≤0a是负数或0a是非正数.
有理数
正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数;
正整数、0、负整数统称为整数;
有理数的分类:
数轴:规定了原点、正方向、单位长度的一条直线;(即数轴的三要素)
一般地,当a是正数时,则数轴上表示数a的点在原点的右边,距离原点a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,距离原点a个单位长度;
两点关于原点对称:一般地,设a是正数,则在数轴上与原点的距离为a的点有两个,它们分别在原点的左右,表示-a和a,我们称这两个点关于原点对称;
相反数:只有符号不同的两个数称为互为相反数;
一般地,a的相反数是-a;特别地,0的相反数是0;
相反数的几何意义:数轴上表示相反数的两个点关于原点对称;
a、b互为相反数a+b=0;(即相反数之和为0)
a、b互为相反数或;(即相反数之商为-1)
a、b互为相反数|a|=|b|;(即相反数的绝对值相等)
绝对值:一般地,在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值;(|a|≥0)
一个正数的绝对值是其本身;一个负数的绝对值是其相反数;0的绝对值是0;
绝对值可表示为:
;;
有理数的比较:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序。即左边的数小于右边的数;(①正数大于0,0大于负数,正数大于负数;②两个负数,其绝对值大的反而小;)
有理数的加减法
有理数的加法法则:①同号的两数相反,取相同符号,并把绝对值相加;
②绝对值不相等的两数相加,取绝对值大的符号,并用绝对值大的减去绝对值
小的。互为相反数的两个数相加为0;
③一个数与0相加仍得这个数;
有理数加法的运算律:①加法交换律:a+b=b+a;②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即:a-b=a+(-b);
有理数的乘除法
有理数的乘法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
②任何数与0相乘均为0;
倒数:在有理数中仍然成立,即乘积是1的两个数互为倒数;
积的符号与负因数个数之间的关系:几个不是0的数相乘,当负因数的个数为偶数时,积是正数;当负因数的个数为奇数时,积是负数;几个数相乘时,当有因数是0时,积为0;
有理数的乘法运算律:①乘法交换律:ab=ba;②乘法结合律:(ab)c=a(bc);
③乘法分配律:a(b+c)=ab+ac;
(5)有理数的除法法则:除以一个不为0的数,等于乘以其倒数;即:
(6)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0除以任一不为0的数,都得0;
(7)在有理数的加减乘除混合运算中,若无括号,则按照先“先乘除后加减”的顺序进行运算;
有理数的乘方
乘方:相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂;(在中,a是底数,n是指数)
有理数的乘方运算法则:①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;②正数的任何次幂是正数;
③0的任何正次幂是0;
有理数的混合运算顺序:①先乘方,再乘除,最后加减;
②同级运算,从左到右;
③如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号的顺序进行;
(4)科学记数法:把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法;
(5)近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.
(6)有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.
整式的加减
整式
单项式:表示数或字母的积的式子;(单独一个数或一个字母也是单项式)
单项式的系数:单项式中的数字因数;单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数和;
多项式:几个单项式的和;
多项式的项:每个单项式叫做多项式的项;多项式的次数:多项式里次数最高项的次数;
常数项:不含字母的项;
整式:单项式与多项式统称为整式;
整式的加减
同类项:所含字母相同,并且相同的字母的指数也相同的项;(几个常数项也是同类项)
合并同类项法则:把多项式中的同类项合并成一项;
合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变;
去(添)括号:①若括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;
②若括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反;
(5)一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项;
第三章一元一次方程
从算式到方程
方程:含未知数的等式;
一元一次方程:只含一个未知数(元)且未知数的次数都是1的方程;
标准式:ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0);
方程的解:使方程等号左右两边相等的未知数的值;
等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等;
如果a=b,那么a±c=b±c;
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等;
如果a=b,那么ac=bc;
如果a=b,c0,那么;
、解一元一次方程——合并同类项与移项、去括号与去分母
(1)合并同类项:把含x的项合并在一起;
(2)移项:把等式一边的某项变号反移到另一边;
(3)一元一次方程解法的一般步骤:
去分母----------两边同乘最简公分母
去括号----------注意符号变化
移项----------注意要变号
合并同类项--------合并后注意符号
系数化为1---------等式右边除以x的系数
实际问题与一元一次方程
(1)“表示同一个量的两个不同的式子相等”是一个基本的相等关系;
“工作量=人均效率×人数×时间”是计算工作量的常用数量关系式;
(2)列一元一次方程解应用题:
①读题分析法:多用于“和,差,倍,分问题”
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套……”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.
②画图分析法:多用于“行程问题”
仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.
列方程常用公式
1)行程问题:距离=速度·时间;
(2)工程问题:工作量=工效×工时;
工程问题常用等量关系:先做的+后做的=完成量
(3)顺水逆水问题:
顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;
顺水逆水问题常用等量关系:顺水路程=逆水路程
(4)商品利润问题:售价=定价,;
利润问题常用等量关系:售价-进价=利润
(5)配套问题:
(6)分配问题:
第四章图形认识初步
多姿多彩的图形
几何图形:把从实物中抽象出的各种图形称为几何图形;
立体图形:各部分不都在同一平面内的几何图形;(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)
平面图形:各部分都在同一平面的几何图形;(如线段、三角形、长方形、圆等)
立体图形与平面图形互相联系,立体图形中某些部分是平面图形;(如长方体的侧面是长方形)
立体图形的三视图:主视图(从正面看)、左视图(从左面看)、俯视图(从上面看)
展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图;
几何体简称为体;
包围着体的是面;(面有平的面和曲的面两种)
面和面相交的地方形成线;线和线相交的地方形成点;
点动成线、线动成面、面动成体;
几何图形都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基本元素;
直线、射线、线段
一个关于直线的基本事实:经过两点有一条直线,并且只有一条直线;
简述为:两点确定一条直线;
直线的表示方法:①用一个小写字母表示直线(如直线l)
②用一条直线上的两点来表示这条直线(如直线AB)
射线和线段的表示方法类似;
两条直线相交:当两条不同的直线有一个公共点,我们就称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的
交点。
射线和线段都是直线的一部分;(由一条线段可以得到一条射线和一条直线)
线段的长度比较:①度量法;②叠合法;
线段的中点:把一条线段分成相等两个部分的点叫做这条线段的中点;(类似有三等分点、四等分…)
一个关于线段的基本事实:两点的所有连线中,线段最短;
简述为:两点之间,线段最短;
距离:连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离;
角
角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边。
角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
把一个周角360等分,每一分就是1度的角,记作1°;把1度的角60等分,每一份叫做1分的角,
记作1′;把1分的角60等分,每一份叫做1秒的角,记作1″;
角度制:以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制;
角的比较:①度量法;②叠合法;
角平分线:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线;(类似
地有角的三等分线等)
互为余角:如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角;(即其中一个角是另一个角的余角)
互为补角:如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角;(即其中一个角是另一个角的补角)
补角的性质:等角的补角相等;
余角的性质:等角的余角相等;