文档介绍：02 第二节双因素试验的方差分析
第二节双因素试验的方差分析
在许多实际问题中,往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响. 例如,要同时考虑工人的技术和机器对产品质量是否有显著影响. 这里涉及到工人的技术和机器这样两个因素. 多因素方差分析与单因素方差分析的基本思想是一致的,不同之处就在于各因素不但对试验指标起作用,而且各因素不同水平的搭配也对试验指标起作用. 统计学上把多因素不同水平的搭配对试验指标的影响称为交互作用. 交互作用的效应只有在有重复的试验中才能分析出来.
对于双因素试验的方差分析,我们分为无重复和等重复试验两种情况来讨论. 对无重复试验只需要检验两个因素对试验结果有无显著影响;而对等重复试验还要考察两个因素的交互作用对试验结果有无显著影响.
内容分布图示
★引言
★无重复试验双因素方差分析
★例1 ★例2
等重复试验双因素方差分析
★数学模型★数学模型的改进
★偏差平方和及其分解★偏差平方和的统计特征
★检验方法
★例3 ★例4
★内容小结****题8-2
内容要点:
一、无重复试验双因素方差分析
设因素A,B作用于试验指标。因素A有r个水平A1,A2, ,Ar,因素B有s个水平B1,B2, ,Bs. 对因素A,B的每一个水平的一对组合(Ai,Bj),(i=1,2, ,r,j=1,2, ,s)只进行一次实验,得到rs 个试验结果Xij,列于下表中
表8-2-1
1. 假设前提
与单因素方差分析的假设前提相同,仍假设:
1) Xij~N(μij,σ2),μij,σ2未知,i=1, ,r;j=1, ,s.
2) 每个总体的方差相同;
3) 各Xij相互独立,i=1, ,r;j=1, ,s.
那么,要比较同一因素的各个总体的均值是否一致,就是要检验各个总体的均值是否相等,故检验假设为:
H0A:μ1j=μ2j= =μrj=μ?j j=1, ,s,
H0B:μi1=μi2= =μis=μi? i=1, ,r.
备择假设为
H1A:μ1j,μ2j, ,μrj不全相等。
H1B:μi1,μi2, ,μis不全相等。
由假设有 Xij~N(μij,σ2)(μij和σ2未知),记Xij-μi=εij,即有εij=Xij-μij~N(0,σ2),故Xij-μij可视为随机误差. 从而得到如下数学模型
?Xij=μij+εij,i=1, ,r;j=1, ,s; ?22ε~N(0,σ),μ,σ未知,ε相互独立。ijijij?
1rs
引入记号:μ=∑∑μij, rsi=1j=1
1μi?=s∑μ
j=1
rsij,i=1,2, ,r, 1μ?j =r∑μ
i=1ij,j=1,2, ,s,
αi=μi?-μ,i=1,2, ,r,
βj=μ?j-μ,j=1,2, ,s,
易见∑α
i=1ri=0,∑βj=1sj=0. 称μ为总平均,称αi为水平Ai的效应,称β
. j为水平Bj的效应. 且μij=μ+αi+βj
于是上述模型进一步可写成
???Xij=μ+αi+βj+εij,(i=1,2, ,r,j=1,2, ,s)
?22 ?εij~N(0,σ),μij,σ未知,各εij相互独立,
?rs?α=0,β=0.∑ji?∑j=1?i=1
?H0A:α1=α2= =αr=0,检验假设: ? H:α,α, ,?1A12
?H0B:β1=β2= =βs=0, ? H:β,β, ,?1B12
若H0A(或H0B)成立,则认为因素A(或B)的影响不显著,否则影响显著。
2. 偏差平方和及其分解
类似于单因素方差分析,需要将总偏差平方和进行分解. 记
1=rs
1i?=s
?j1=r∑∑Xi=1j=1srsij,∑Xj=1ri=1ij,i=1, ,r; j=1, ,s;∑Xij,
将总偏差平方和进行分解:
ST=∑∑(X
i=1j=1rsij-)2
=∑∑[(i=1j=1rsi?-)+(?j-)+(Xij-i?-?j-)]2
由于在ST的展式中三个交叉项的乘积都等于零,故有
ST=SA+SB+SE,
其中,
SA=∑∑(i=1j=1rsi?-)=s2∑(i=1ri?-)2,,
SB=∑∑(i=1j=1rs?j-)=r2∑(j=1s?j-)2,
SE=∑∑(X
i=1j=1rsij-i?-?j-)2.
我们称SE为误差平方和;分别称SA,SB为因素A、因素B的偏差平方和. 类似地,可以证明当H0A、H0B成立时,有 1) ST2,SA2,SB2,SE2分别服从自由度依次为rs-