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第32讲计数原理
一、知识梳理
基本计数原理
完成一件事,如果有〃类办法,且:第一类办法中有如种不同的方法,第二类办法中有〃22
种不同的方法第"类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有N=m\+m2-\—
十〃物种不同的方法.
完成一件事,如果需要分成〃个步骤,且:做第一步有加种不同的方法,做第二步有,磔种
不同的方法……做第〃
同的方法.
,区别在于:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各
种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分
步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
排列与组合
名称定义
并按照一定的顺序排成一列,称为从〃
排列
从〃个不同对象中取出个不同对象中取出加个对象的一个排列
〈几)个对象并成一组,称为从〃个不同对象中取出
组合
加个对象的一个组合
(1)从〃个不同对象中取出个对象的所有排列的个数,称为从〃个不同对象中取出m
个对象的排列数,用符号A7表示.
⑵从〃个不同对象中取出机(mW〃)个对象的所有组宣的个数,称为从n个不同对象中取出m
个对象的组合数,用符号C7表示.
、组合数的公式及性质
公式(1)A勿一〃(〃一1)(〃一2)…(〃一团+1)—(〃_"力।-
ATnCn—m+1)
Q)Cf-加
〃1
-,(—X,(〃,〃zGN*,且〃W〃).特别地Cbl
TH)!
(1)0!=1;A2=〃!.
性质
(2)a'=C;Fm;C5;,+I+C;!,=C^
二项式定理
(1)二项式定理:(a+b)"=C%"+C%"妇---FCSa"----FC肪"5EN*);
,rkk
(2)通项公式:Tk+\=C^ab,它表示第3+1项:
(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数C9,a,…,C;;.
性质性质描述
对称性与首末等距离的两个二项式系数相等,即C#=CQ
〃+1
当y2(〃GN*)时,是递增的
二项式系
增减性
数a〃+1
当左>2(〃GN")时,是递减的
n
二项式当〃为偶数时,中间的一项"取得最大值
系数最大值W—1
(2(2
当〃为奇数时,中间的两项1〃与1〃相等且取得最大值
(l)(a+》)"展开式的各二项式系数和:C9+C,!+d+…+©=25
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即C2+最+C+-=c,L+a+
C计…=空.
二、考点和典型例题
1、基本计数原理
【典例1-1】(2022♦湖北•天门市教育科学研究院模拟预测)甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园,西
湖茶经楼,历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩,其中茶经楼必有人去,则不同的参观方式共有
()种.
【答案】D
【详解】
若4人均去茶经楼,则有1种参观方式,
若有3人去茶经楼,则从4人中选择3人,另1人从另外3处景点选择一处,
有C:A;=12种参观方式;
若有2人去茶经楼,则从4人中选择2人,另外2人从另外3处景点任意选择一处,
有C;A;A;=54种参观方式;
若有I人去茶经楼,则从4人中选择I人,另外3人从另外的3处景点任意选择一处,
有C;A;A;A;=1()8种参观方式,
综上:共有1+12+54+108=175种参观方式.
故选:D
【典例1-2】(2023•山西大同•高三阶段练****高中数学新教材有必修一和必修二,选择性必修有一、二、三
共5本书,把这5本书放在书架上排成一排,必修一、必修二不相邻的排列方法种数是()
【答案】A
【详解】
先将选择性必修有一、二、三这三本书排成一排,有A;=6种方法,
再将必修一、必修二这两本书插入两个空隙中,有A;=12种方法,
所以把这5本书放在书架上排成一排,必修一、必修二不相邻的排列方法种数是:6x12=72.
故选:A.
【典例1-3】(2023•全国•高三专题练****理))2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛,第一
轮分成6个组进行单循环赛(在同一组的每两个队都要比赛),决出每个组的一、二名,然后又在剩下的
12个队中按积分取4个队(不比赛),共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军,则一共需比赛()
场次.
【答案】C
【详解】
第一轮分成6个组进行单循环赛共需要6C;=36场比赛,淘汰赛有如下情况:16进8需要8场比赛,8进
4需要4场比赛,4进2需要2场比赛,确定冠亚军需要1场比赛,共需要36+8+4+2+1=51场比赛
故选:C.
【典例1-4】(2022•河南・濮阳一高高三阶段练****理))某医院从7名男医生(含一名主任医师),6名女
医生(含一名主任医师)中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作,若要求选派的医生中有主任医
师,则不同的选派方案数为()
【答案】C
【详解】
所选医生中只有•名男主任医师的选法有C:?c;200,
所选医生中只有一名女主任医师的选法有C:?C;150,
所选医生中有一名女主任医师和一名男主任医师的选法有C:?C;200,
故所选医师中有主任医师的选派方法共有200+150+200=550种,
故选:C
【典例1-5】(2023・全国•高三专题练****数术记遗》是《算经十书》中的一部,
书记述了我国古代14种算法,分别是:积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、
九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、、乙、丙、
丁四人,该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料,要求每
人至少收集其中一种,且每种算法只由一个人收集,但甲不收集九宫算和了知算的资料,则不同的分工
收集方案共有()种.
【答案】C
【详解】
分以下两种情况讨论:
①若甲只收集一种算法,则甲有3种选择,将其余4种算法分为3组,再分配给乙、丙、丁三人,
此时,不同的收集方案种数为3C:A;=108种;
②若甲收集两种算法,则甲可在运筹算、成数算和把头算3种算法中选择2种,其余3种算法分配给乙、
丙、丁三人,
此时,不同的收集方案种数为C;A;=18种.
综上所述,不同的收集方案种数为108+18=126种.
故选:C.
2、排列与组合
【典例2-1】(2023•全国•高三专题练****有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不
站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有()
【答案】B
【详解】
因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看做一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,有3!种排列方式;为
使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式;注意
到丙丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有:3!x2x2=24种不同的排列方式,
故选:B
【典例2-2】(2023•全国•高三专题练****理))教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专
项行动,某市3所高校的校长计划拜访当地企业,,每
家企业至少接待1名校长,则不同的安排方法共有()
【答案】A
【详解】
解:3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况为:C:C:C:=4x4x4=64种
又每家企业至少接待1名校长,故3名校长选的3家企业,不全相同,
因为3名校长选的3家企业完全相同有C:=4种,
则不同的安排方法共有:64-4=60#.
故选:A.
【典例2-3】(2022•全国•高三专题练****某校在高一开展了选课走班的活动,已知该校提供了3门选修课
供学生选择,现有5名同学参加选课走班的活动,要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人
选,则5名同学选课的种数为()
【答案】A
【详解】
先把5名同学分为3组:(3人,1人,1人)或(2人,2人,1人),
再把这3组同学分配给3门选修课即可解决.
故选:A
(典例2-4](2023•全国•高三专题练****北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”
一亮相,,某学校决定派小明和小李等5名志愿者将
两个吉祥物安装在学校的体育广场,每人参与且只参与一个吉祥物的安装,每个吉祥物都至少由两名志
,则不同的安排方案有()
।
【答案】B
【详解】
由题意可知:应将志愿者分为三人组和两人组.
先将小李、小明之外的二人分为两组,有C;C;=3种分法,再将小李、小明分进两组,有8=2种分法,
最后将两组分配安装两个吉祥物,有否=2种分法,所以共计有3x2x2=12种.
故选:B
【典例2-5】(2022•贵州•贵阳一中高三阶段练****理))贵阳一中体育节中,乒乓球球单打12强中有4个
种子选手,将这12人平均分成3个组(每组4个人)、则4个种子选手恰好被分在同一组的分法有
()
【答案】C
【详解】
4个种子选手分在同一组,即剩下的8人平均分成2组,方法有卑=35种,
A;
故选:C.
3、二项式定理
【典例3-1】(2022•河南洛阳•模拟预测(理))卜一七)的展开式中各二项式系数之和为64,则展开式
中的常数项为()
A.-
【答案】B
【详解】
由题意得2"=64,所以"=6,所以(3x-7=)展开式的通项
J=(-1〉屋SfT,
3
令6-9=0,得r=4,
2
所以展开式中的常数项为(-I)4・£=135.
故选:B.
【典例3-2】(2022•全国•高三专题练****XT)“按x降幕排列的展开式中,系数最大的项是()
【答案】B
【详解】
因为(x-l)9的展开式通项为•产*.(_以,
其中第5项和第6项的二项式系数最大,但第5项的系数为正,第6项的系数为负,
故(x-按x降幕排列的展开式中,系数最大的项是第5项.
故选:B.
【典例3-3】(2022•全国•高三专题练****若(1+x)"的展开式中,某一项的系数为7,则展开式中第三项的
系数是()
【答案】B
【详解】
解:由题意,展开式的通项为配产CX(r=0,b••,〃),
所以某一项的系数为7,即C:=7,解得〃=7,r=l或“=7,r=6,
所以展开式中第三项的系数是C;=21.
故选:B.
【典例3-4】(2023•全国•高三专题练****二项式(l+2xy+(l+2x)3+…+(1+20的展开式中,含V项的
二项式系数为()
【答案】B
【详解】
解:因为二项式为(1+2x)2+。+2司3+…+(]+2司7,
所以其展开式中,含Y项的二项式系数为;
c;+c;+c;+c;+c:+c;,
=c:+C+c;+c:+C,
=c;+c;+c:+c;,
=c:+c:+c;,
=c;+c;,
=C;=56.
故选:B
【典例3-5】(2022•全国•高三专题练****已知(l+or)'=%+4》+。2丁+4了3+。4》4+45X‘,若〃3=-270,
则%+/+%=()
.-32C.-
【答案】D
【详解】
33
由题意知:a3x=C5(or)=lOtzV,则10/=-270,解得。=一3;令1=1,则
(1-3)'=%+q+/+/+%+%=-32,
令x=T,则(1+3)'二旬一〃1+%-%+/一为=1024,两式相加得2(%+%+a4)=992,则
aQ+4+%=496.
故选:D.