文档介绍：1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,.)
(1) _____________.
(2) 已知,则_____________.
(3) 设方程确定为的函数,则_____________.
(4) 设其中则_____________.
(5) 设随机变量的概率密度为
以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数,则
_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 曲线的渐近线有( )
(A) 1条(B) 2条(C) 3条(D) 4条
(2) 设常数,而级数收敛,则级数( )
(A) 发散(B) 条件收敛(C) 绝对收敛(D) 收敛性与有关
(3) 设是矩阵,是阶可逆矩阵,矩阵的秩为,矩阵的秩为,则
( )
(A) (B)
(C) (D) 与的关系由而定
(4) 设,则( )
(A) 事件和互不相容(B) 事件和相互对立
(C) 事件和互不独立(D) 事件和相互独立
(5) 设是来自正态总体的简单随机样本,是样本均值,记
则服从自由度为的分布的随机变量是( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分6分)
计算二重积分其中.
四、(本题满分5分)
设函数满足条件求广义积分.
五、(本题满分5分)
已知,求.
六、(本题满分5分)
设函数可导,且,求.
七、(本题满分8分)
已知曲线与曲线在点处有公共切线,求:
(1) 常数及切点;
(2) 两曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积.
八、(本题满分6分)
假设在上连续,在内存在且大于零,记
,
证明在内单调增加.
九、(本题满分11分)
设线性方程组
(1) 证明:若两两不相等,则此线性方程组无解;
(2) 设,且已知是该方程组的两个解,其中
写出此方程组的通解.
十、(本题满分8分)
设有三个线性无关的特征向量,求和应满足的条件.
十一、(本题满分8分)
假设随机变量相互独立,且同分布
,
求行列式的概率分布.
十二、(本题满分8分)
假设由自动线加工的某种零件的内径(毫米)服从正态分布,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,(单位:元)与销售零件的内径有如下关系:
问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为
0;被积函数为偶函数时,
原式
(2)【答案】
【解析】根据导数的定义,有.
所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式,
所以原式.
(3)【答案】
【解析】将方程看成关于的恒等式,即看作的函数.
方程两边对求导,得
.
【相关知识点】两函数乘积的求导公式:.
(4)【答案】
【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式,
且
所以,本题对分块后可得.
(5)【答案】
【解析】已知随机变量的概率密度,所以概率,求得二项分布的概率参数后,故.
由二项分布的概率计算公式,所求概率为.
【相关知识点】二项分布的概率计算公式:
若,则, ,
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(B)
【解析】本题是关于求渐近线的问题.
由于,
故为该曲线的一条水平渐近线.
又.
故为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条.
故本题应选(B).
【相关知识点】水平渐近线:若有,则为水平渐近线;
铅直渐近线:若有,则为铅直渐近线;
斜渐近线:若有存在且不为,则为斜渐
近线.
(2)【答案】(C)
【解析】
,
(第一个不等式是由得到的.)
又收敛,收敛,(此为级数:当时收敛;当时发散.)
所以收敛,由比较判别法,得收敛.
故原级数绝对收敛,因此选(C).
(3)【答案】(C)
【解析】由公式,若可逆,则
.
从而,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩,所以选(C).
(4)【答案】(D)
【解析】事实上,当时,是事件与独立的充分必要条件,证明如下:
若,则
, ,
,
由独立的定义,即得与相互独立.
若与相互独立,直接应用乘法公式可以证明.
.
由