文档介绍：矩阵的合同,等价与相似
一、矩阵的合同,等价与相似的定义、性质及判定条件
(一)矩阵的等价:
1、定义:若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A与B等价,记为。
2、性质:
(1)反身性:即.
(2)对称性:若,则
(3)传递性:即若,,则
(4) 若为矩阵,且,则一定存在可逆矩阵(阶)和( 阶),.
(5) 设是两矩阵,则当且仅当
3、判定:
矩阵等价的充要条件:
两个矩阵等价的充要条件为:存在可逆的阶矩阵与可逆的阶矩阵,使
由矩阵的等价关系,可以得到矩阵与等价必须具备的两个条件:
(1)矩阵与必为同型矩阵(不要求是方阵).
(2)存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵, 使得.
(二)矩阵的合同:
1、定义:
两个n阶方阵A,B,若存在可逆矩阵P,使得成立,则称A,B合同,记作该过程成为合同变换。
2、性质:
(1)反身性:任意矩阵都与自身合同.
(2)对称性:如果与合同,那么也与合同.
(3)传递性:如果与合同,又与合同,那么与合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系,而且由定义可以直接推得:合同矩阵的秩等.
(4) 数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.
(5) 复数域上秩为的二次型,可以用适当的满秩线性变换化为标准形:

3、判定
定义2 设均为数域上的阶方阵,若存在数域上的阶可逆矩阵,使得,则称矩阵为合同矩阵(若数域上阶可逆矩阵为正交矩阵),由矩阵的合同关系,不难得出矩阵与合同必须同时具备的两个条件:
(1) 矩阵与不仅为同型矩阵,而且是方阵.
(2) 存在数域上的阶矩阵,
(三)矩阵的相似
1、定义:
n阶方阵A,B,若存在一个可逆矩阵P使得成立,则称矩阵A,B相似,记为。
2、性质:
性质3
(1)反身性;
(2)对称性由即得;
(3)传递性和即得
总之,合同是一种矩阵之间的等价关系,而且经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.
(4) (其中是任意常数);
(5);
(6)若与相似,则与相似(为正整数);
(7) 相似矩阵有相同的秩,而且,如果为满秩矩阵,那么.
即满秩矩阵如果相似,那么它们的逆矩阵也相似.
(8)相似的矩阵有相同的行列式;
因为如果,则有:
(9)相似的矩阵或者都可逆,或者都不可逆;并且当它们可逆时,它们的逆矩阵相似;
设,若可逆,.
若不可逆,则不可逆,即也不可逆.
下面这个性质是一个重要的结论,因此我们把它写成以下定理
定理4 相似矩阵的特征值相同.
推论3 相似矩阵有相同的迹.
3、判定:
设均为数域上阶方阵,若存在数域上阶可逆矩阵使得
,则称矩阵与为相似矩阵(若级可逆矩阵为正交阵,则称与为正交相似矩阵)
由矩阵的相似关系,不难得到矩阵与相似,必须同时具备两个条件
(1) 矩阵与不仅为同型矩阵,而且是方阵
(2) 在数域上阶可逆矩阵,使得
二、矩阵的等价、合同和相似之间的联系
(一)由以上三种矩阵间的关系的定义,可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件,但是这三种关系彼此间存在着密切的联系
1、相似矩阵必为等价矩阵,等价矩阵未必为相似矩阵.
证明: 设阶方阵相似,由定义3知存在阶可逆矩阵,使得,此