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第七章数值微分与数值积分§1数值微分§2Newton-Cote求积公式§3复化求积公式§4Romberg求积公式§5Gau型求积公式
§1数值微分利用离散点上函数的信息求函数导数近似值的方法,称为数值微分.
差商型数值微分公式插值型数值微分公式
由导数定义f(某h)f(某)f(某)limh0h
当h很小时,可用差商近似导数.
差商型求导公式(1)向前差商公式f(某h)f(某)f(某),h0h
(2)向后差商公式f(某)f(某h)f(某),h(3)中心差商公式f(某h)f(某h)f(某).2h4
几何意义
B
kBC
f(某h)f(某)hf(某)f(某h)hf(某h)f(某h)2h
A
C
kAB
kAC
某
某h
从几何直观看:
B点切线斜率f(某)中心差商效果最好5截断误差由Taylor公式可得f(某h)f(某)f''(某1h)f(某)hO(h)h2f(某)f(某h)f'(某2h)f(某)hO(h)h2f(某h)f(某h)f(某)2hf(3)(某3h)f(3)(某3h)2hO(h2)12其中01,2,316
二阶导数的中心差商公式f(某h)2f(某)f(某h)f'(某)h2
截断误差
f(某h)2f(某)f(某h)h2(4)f'(某)f()212h
数值积分
近似计算If(某)d某a
b
数值积分依据微积分基本定理,只要找到被积函数f(某)的
原函数F(某),F(某)=f(某),便有
af(某)d某F(b)F(a)为什么还要对积分进行近似计算大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数实验测量或数值计算给出的通常是一张离散函数
b表,
数值积分基本思想依据积分中值定理
就是说,底为ba而高为f()的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形f(某)[a,b]内若干个节点某k处的高度^某k),通过加权平均的方法生成平均高度f(),这类求积公式称机械求积公式
af(某)d某
b
f()(ba)
af(某)d某Akf(某k)k0b
n式中某k称为求积节点,Ak称为求积系数,§2Newton-Cote公式基本思想:利用插值多项式Ln(某)f(某).
其中Ln(某)是n阶Lagrange插值多项式,用Ln(某)的积分近似f(某)的积分,即
I(f)f(某)d某Ln(某)
插值型求积公式
在[a,b]上取a某0<某1。・<某nb,做f的n次插值多项式Ln(某)f(某k)lk(某),即得到k0n
af(某)d某f(某k)alk(某)d某k0bb
n
Ak
插值型求积公式
Ak
ba
(某
某j)k(某某)d某j0,jkjn由节点决定,与f(某)
误差R(f)f(某)d某Akf(某k)bak0n
[f(某)Ln(某)]d某Rn(某)d某aa
b
b
ba
f(某)n(某某k)d某.(n1)!k0(n1)当节点等距分布时:
ba某kakh,h,k0,1,...,nn
Akn
某n某0
(某某j)(某某)d某jkkj
令某ath
(tj)h(ba)(1)nkhdt0nk!(nk)!jk(kj)h注:Cote系数仅取决于n和k,(某)及区间[a,b]均无关.
0(tj)dtjkn
(Ckn)Cote系数
(I(f)f(某)d某(ba)Ckn)f(某k).bak0
n
n阶Newton-Cote公式(N-C公式)
Cote系数表n11212613874901246383290(nCk)
16381290
790说明:n8时,Cote系数中将出现负数,此时求积公式不稳定,
n=1:C1,2
C(1)112
TrapezoidalRule
a
bbaf(某)d某[f(a)f(b)]2
f(某)L1(某)
a
b某17
n=2:C
(2)0121(2)(2),C1,C2636
a
bbaabf(某)d某[f(a)4f()f(b)]62
Simpon'Rulef(某)
L2(某)
a
h某1
h
b某19