高中圆的基本性质与点圆关系知识点及试题答案.pdf

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高中圆的基本概念与点圆关系知识点与答案解析
第一节圆的基本概念
:(x-a)2+(y-b)2=r2(圆心(a,b),半径为r)
例1写出下列方程表示的圆的圆心和半径
(1)x2+y(+3)2=2;(2)(x+2)2+y(–1)2=a2(a≠0)
例2圆心在直线x–2y–3=0上,且过A(2,–3),B(–2,–5),求圆的方程.
例3已知三点A(3,2),B(5,–3),C(–1,3),以P(2,–1)为圆心作一个圆,使
A、B、C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的方程.
:x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0),圆心为点
DED2E2—4F
(—,—),半径r
222
DE
(Ⅰ)当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点,这个点的坐标为(-,-)
22
(Ⅱ)当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形。
例1:已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆,求k的取值范围。
解:方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆,
∴(2k)2424(3k8)0,解得k4或k1
∴当k4或k1时,方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。
例2:若(2m2+m-1)x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的图形表示一个圆,则m的值是__
_。
答案:-3
例3:求经过三点A(1,-1)、B(1,4)、C(4,-2)的圆的方程。
解:设所求圆的方程为x2y2DxEyF0,
A(1,-1)、B(1,4)、C(4,-2)三点在圆上,代入圆的方程并化简,
得
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DEF2

D4EF17,解得D=-7,E=-3,F=2

4D2EF20
∴所求圆的方程为x2y27x3y20。
例4:若实数x,y满足x2y24x2y40,则x2y2的最大值是__________。
解:由x2y24x2y40,得(x2)2(y1)29
∴点P(x,y)在以(-2,1)为圆心,半径r=3的圆C上,
|OC|(02)2(01)25,
∴原点到圆上的点P(x,y)之间的最大距离为|OC|+r=5+3
∴x2y2的最大值为(53)21465。
:
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0。
②没有xy这样的二次项。
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,只要求出这三个系数,圆的方
程就确定了。
(3)与圆的标准方程相比较,代数特征明显,而圆的标准方程几何特征较明显。

如果Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0是圆,一定有(1)A=C0;(2)B=0;(3)
D2+E2-4AF>0。反之,也成立。
例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆
心及半径。
(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0
(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0
例2:方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时,m的取值范围是(D)
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111
A.<m<><<或m>1
444
例3:如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时圆心坐标为()
A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-1,0)D.(0,-1)
例4:圆x2y22axcos2aysin0的圆心坐标为,半径
为.
例5:方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆。
1:求实数m的范围。
2:求该圆半径r的范围。
3:求圆心C的轨迹的普通方程。
解:(1)方程表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0,即:
4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0,
1
解之得-<m<1.
7
D2E2—4F
(2)r,得到r的取值范围
2
(3)设圆心为(x,y),
则
消去m得:y=4(x-3)2-1,
1
∵-<m<1,
7
20
∴<x<4,
7
20
即轨迹为:y=4(x-3)2-1(<x<4)。
7
例6:已知实数x,y满足等式(x4)2(y3)29,求xy的最值。
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第二节点与圆的关系
(x,y)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法
00
(1)(x-a)2+(y-b)2>r2,点在圆外
00
(2)(x-a)2+(y-b)2=r2,点在圆上
00
(3)(x-a)2+(y-b)2<r2,点在圆内
00
例1:ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解析:用待定系数法确定a、b、r三个参数。
例2:已知圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在l:x-y+1=0上,求圆的标准方
程。
解析:圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),由于圆心C与A,B两点的距离相等,
所以圆心C在AB的垂直平分线m上,又圆心C在直线l上,因此圆心C是直线l
与直线m的交点,半径长等于CA或CB。
例3:写出圆心为A(2,3)半径长等于5的圆的方程,并判断点
M(5,7),M(5,1)是否在这个圆上。
12
:圆的对称性问题可以转化为原点的对称性,而圆的半径r
相等。
例1:求x2+y2+4x-12y+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程
解析:圆方程可以转化为(x+2)2+(y-6)2=1,圆心O(-2,6),半径为1。设圆心关
于直线的对称点O'(a,b),OO'和直线3x-4y-5=0对称,因此有:
解得
3226
(x-)2+(y+)2=1
所求圆的方程为55。

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方法一:代入转移求轨迹方程
已知线段AB的端点B(4,3),端点A在圆(x1)2y24上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。
如:
方法二:参数法求轨迹方程
当a取不同的非零实数时,方程x2y2—2ax—23ay3a20表示的曲线是不同的圆。
求圆心的轨迹方程。
方法三:充分利用韦达定理
如:设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P,Q,满足关于直线x+my+4=0
对称,又满足OP·OQ=0,求直线PQ的方程。
解:曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称,
∴圆心(-1,3)=-1。
∵直线PQ与直线y=x+4垂直,
∴设P(x,y)、Q(x,y),PQ方程为y=-x+b.
1122
将直线y=-x+b代入圆方程,得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0.
Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0,得2-32<b<2+32。
由韦达定理得x+x=-(4-b),x·x=b2—6b1。
1212
2
y·y=b2-b(x+x)+x·x=b2—6b1+4b.
121212
2
∵OP·OQ=0,∴xx+yy=0,
1212
即b2-6b+1+4b=0.
解得b=1∈(2-32,2+32)。
∴所求的直线方程为y=-x+1。

y-b
m=
(1)形如x-a的最值问题,转化为动直线斜率的问题;
(2)形如m=ax+by的最值问题,转化为动直线截距的最值问题;
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2最值问题,转化为两点间距离的平方最值问题。
如:已知点P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1上任意一点。
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(1)求P到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值;
(2)求x-2y的最大值和最小值;
y-2
(3)求x-1的最大值和最小值。
解:(1)圆心C(-2,0)到到直线3x+4y+12=0的距离为:
|3*(-2)+4*0+12|6
d==
5
32+42
61161
∴所以P到直线距离的最大值为d+r=5+1=5,最小值为d-r=5-1=5。
(2)设t=x-2y,
∵直线x-2y-t=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点
∴圆心到直线的距离小于等于半径
y-2
k=
(3)设x-1,则直线kx-y-k+2=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点
∴圆心到直线的距离小于等于半径