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内容小结与作业
第一页,共四十二页。
(Fang)向导数与梯度
偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率.
对于二元函数有
在几何上,它们分别表示平面曲线及
在点处的切线的斜率.
第二页,共四十二页。
(x0,y0)处沿某指(Zhi)定方向的变化率.
下面我们来考虑二元函数在点
定义若函数
在点
处
沿方向u(方向角为
存在下列极限:
记作
则称
为函数在点P处沿方向u的方向导数.
第三页,共四十二页。
方向导(Dao)数的几何意义
表示曲线C在点处的切线的斜率.
特别:
•当u与x轴同向
•当u与x轴反向
第四页,共四十二页。
那么函数在该点沿任意方向向量u的(De)方向导数都存在,
设函数在点处可微,
且有
其中为向量u的方向余弦.
因函数在点处可微,则
证明
第五页,共四十二页。
这就(Jiu)证明了方向导数存在,且
一般地,当函数可微时,有
且所以
当自变量从点沿u方向移动时,
第六页,共四十二页。
三元函数在点沿方向u(方向角为)的方向导数定义为
(De)逆命题不成立.
f(x,y)在原点沿任意方向的方向导数存在,但不可微.
第七页,共四十二页。
方向(Xiang)导数的性质
第八页,共四十二页。
例(Li)1.
求函数在点沿方向
的方向导数.
解:
又的方向余弦为
故
第九页,共四十二页。
例(Li)
是曲面
在点P(1,1,1)处
指向外侧的法向量,
解:
方向余弦为
而
同理得
方向
的方向导数.
在点P处沿
求函数
故
第十页,共四十二页。