集合论与图论第二章.ppt

文档介绍：第二章:映射
函数的一般概念—映射
抽屉原理
映射的一般性质
映射的合成
逆映射
* 置换
* 二元和n元运算
集合的特征函数
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函数的一般概念映射
函数y=f(x)的特点:
:y=x2+1, x[0,1]
x[0,1]

以上两个公式构不构成函数?
例1构成,例2不构成。
2
设X和Y是两个非空集合,一个从X到Y的映射f是一个法则,根据f,对X中每个元素x都有Y中唯一确定的元素y与之对应。f给x规定的对应元素y称为x在f下的象,而x称为y的原象。X称为f的定义域。
函数的定义:设X和Y是两个数集,如果依据某一法则f,使对于X中的每一数x总有Y中的唯一确定的数y与之对应,则称f为定义在X上取值于Y中的函数。
X称为函数f的定义域,值域包含在Y中。
函数f给x规定的对应值y常记为f(x)。
映射的定义
函数的一般概念映射
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“f是X到Y的映射”这句话常记为f:XY.
x在f下的象y常记为f(x)。
集合{f(x)xX}称为f的值域或象,记为Im(f)。
什么是法则?
x与x在f下的象f(x)可以组成有序对,(x,f(x))。
这样的有序对的全体是XY的子集,成为法则。
例:设X={a,b,c},Y={1,2,3,4}
{(a,1),(b,2),(c,3)}
={(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c))}
f(a)=1,f(b)=2,f(c)=3
函数的一般概念映射
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设X和Y是两个非空集合,一个从X到Y的映射是一个满足以下两个条件的XY的子集f:
(1)对X的每一个元素x,存在一个yY,使得(x,y)f;
(2)若(x,y)、(x,y)f,则y=y。
函数的一般概念映射
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设f:XY,AX,当把f的定义域限制在A上时,就得到了一个:AY,xA,(x)=f(x),被称为f在A上的限制,并且常用fA来代替,反过来,我们说f是在X上的扩张。
X, f在A上的限制
函数的一般概念映射
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(偏函数)
设f:AY,AX,则称f是X上的一个部分映射。
例:X={1,2,3,4},Y={a,b,c}
定义法则f为,f(1)=a,f(2)=b,f(3)=c,
f是A={1,2,3}到Y的映射。
函数的一般概念映射
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两个映射f与g称为是相等的当且仅当f和g都是X到Y的映射,并且xX, 总有f(x)=g(x)。
函数的一般概念映射
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设f:XY,如果x,xX,只要xx,就有f(x)f(x),则称f为从X到Y的单射。

函数的一般概念映射

设f:XY,如果yY,xX,使得f(x)=y,则称f为从X到Y上的映射,或称为满射。

设f:XY,若f既是单射又是满射,则称f为双射,或称为一一对应。也称X与Y对等,记为X~Y。
9

设f:XX,如果xX,f(x)=x,则称f为X上的恒等映射。X上的恒等映射常记为Ix或者1x。
X上的恒等映射只有一个。
恒等映射是双射。
函数的一般概念映射
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