函数的极值与最大值最小值.ppt

文档介绍：§ 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法
二、最大值最小值问题
提问:
f(a)和 f(b)是极值吗?
函数的极值
一、函数的极值及其求法
设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义如果对于任意xU(x0)有
f(x)f(x0) (或f(x)f(x0))
则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值)
。
x1
x2
x3
x4
x5
函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
观察与思考:
观察极值与切线的关系.
设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值,
那么f (x0)0.
驻点
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.
定理1(必要条件)
>>>
讨论:
极值点是否一定是驻点?
驻点是否一定是极值点?
考察x=0是否是函数y=x3的驻点, 是否是函数的极值点.
x1
x2
x3
x4
x5
设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值,
那么f (x0)0.
驻点
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.
定理1(必要条件)
观察与思考:
(1)观察曲线的升降与极值之间的关系.
(2)观察曲线的凹凸性与极值之间的关系.
x1
x2
x3
x4
x5
设函数f(x)在x0处连续且在(a x0)(x0 b)内可导
(1)如果在(a x0)内f (x)0在(x0 b)内f (x)0那么函数f(x)在x0处取得极大值
(2)如果在(a x0)内f (x)<0在(x0 b)内f (x)>0那么函数f(x)在x0处取得极小值
(3)如果在(a x0)及(x0 b)内 f (x)的符号相同那么函数f(x)在x0处没有极值
定理2(第一充分条件)
x1
x2
x3
x4
x5
确定极值点和极值的步骤
(1)求出导数f (x);
(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;
(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号;
(4)确定出函数的所有极值点和极值.
设函数f(x)在x0处连续且在(a x0)(x0 b)内可导
(1)如果在(a x0)内f (x)0在(x0 b)内f (x)0那么函数f(x)在x0处取得极大值
(2)如果在(a x0)内f (x)<0在(x0 b)内f (x)>0那么函数f(x)在x0处取得极小值
(3)如果在(a x0)及(x0 b)内 f (x)的符号相同那么函数f(x)在x0处没有极值
定理2(第一充分条件)
例1
(1)f(x)在()内连续除x1外处处可导且
解
(3)列表判断
x1为f(x)的不可导点
得驻点x1
(2)令f (x)0
(1)
1
(1 1)
1
(1)

不可导

0

x
f (x)
f(x)
↗
0
↘
↗
定理3(第二充分条件)
设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0
那么
(1)当f (x0)0时函数f(x)在x0处取得极大值
(2)当f (x0)0时函数f(x)在x0处取得极小值.
应注意的问题:
如果f (x0)0 f (x0)0则定理3不能应用但不能由此说明f (x0)不是f (x)的极值。
讨论:
函数f(x)x4 g(x)x3在点x0是否有极值?
>>>
>>>
例2 求函数f(x)(x21)31的极值
解
f (x)6x(x21)2
令f (x)0
求得驻点x11 x20 x31
f (x)6(x21)(5x21)
因为f (0)60
所以f (x)在x0处取得极小值
极小值为f(0)0
因为f (1)f (1)0所以用定理3无法判别
因为在1的左右邻域内f (x)0
所以f(x)在1处没有极值
同理 f(x)在1处也没有极值
二、最大值最小值问题
观察与思考:
观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点,
怎样求函数的最大值和最小值.
x1
x2
x3
x4
x5
M
m