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(一)数列的概念
一、知识归纳:
1(数列的定义:数列是一类离散函数,是以正整数集(或它的有限子集)为定义
域的函数当
自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。在直角坐标系中,
其图象是
一些离散的点,数列的能项公式就是相应函数的解析式。
2(数列的分类:
(1)按数列的项数分是有限数列还是无限数列;
(2)按数列的任意相邻两项之间的大小关系分类:
有递增数列();递减数列(
nn
aa?
+1nn
aa?
+1
);摆动数列;常数数列(各项都相等)
3(数列的通项公式:
如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个公式来表示,这个公式
就叫做这
个数列的通项公式。数列的通项公式揭示了数列的第项与的函数关系。
}{
n
an
n
an
)(nfa
n
=
}{
n
an
n
an
4(数列的递推公式:
如果已知数列的第1项(或前几项),且任一项
n
a它的前一项a或前几项)间
的关系可以用一个公式来表示,则这个公式叫这个数列的递推公式。
}{
n
a与(
1?n
递推公式是数列特有的表示法,它包含两个部分:一是递推关系,二是初始条件。
两者缺
一不可。
5(数列的前项和与通项的关系:}{
n
an
n
S
n
a
设数列的前n项和为,即}{
n
a
n
S
nn
aaaS+++=L
21
,那么与有如下关系:
n
S
n
a
?
?
?
??
=
=
?
)2(
)1(
1
1
nSS
nS
a
nn
n
二、学习要点:
1(通过对数列前几项的观察、分析,可以寻找第项与的函数关系,归纳出
数列的一
个通项公式,这种方法叫不完全归纳法,用这种法求数列的通项时通常要联系到
一些基本
数列,如、、{2等。
n
n
an
})1{(
n
?}2{
n
1}n?
2(数列是一种特殊的函数,其图象是由离散的点组成,用函数观点证明数列的单
调性只要比
较与的大小关系则可。
1+n
a
n
a
3(理解数列的前项和的定义,正确掌握与的关系。}{
n
an
n
S
n
S
n
a
三、例题分析:
例1((1)分别写出下列数列的一个通项公式:
?L,
16
7
,
8
5
,
4
3
,
2
1
??;________________?L,
99
10
,
63
8
,
35
6
,
15
4
,
3
2
;______________
?7,77,777,7777,…;____________?
n
n
a
aa
1
2,2
11
?==
+
;_______________
(2)点在函数((),(1))Pfnfn+
1
1
2
yx=+
的图象上,若(1)2f=,则(4)f=_2_,()fn=_2__.
例2(设数列的前n项和为,求该数列分别满足下列条件的一个通项公式:}{
n
a
n
S
(1);(2)nnS
n
+=
2
31)1(log
2
+=+nS
n
例3(设函数,数列满足
2
()loglog2(01)
x
fxxx=?
nn
aa
1+
=
nn
6(若数列的前n项和,则此数列的前3项依次是:}{
n
a32
2
+?=nnS
n
A(B(C(D(3,1,
1?3,1,23,1,66,3,2
7(若数列若数列{的前n项和为}
n
a)1(log
3
+=nS
n
,则=
5
a
A(B(C(D(6log
5
5log
3
6log
3
5
6
log
3
8(已知数列{满足:}
n
a
43412
1,0,,N,
nnnn
aaaan
?
??
===?则
2009
a=_____;=______.
2014
a
9(在数列{中,若}
n
a
1
1a=,,则该数列的通项
1
2(1)
nn
aan