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《抛物线及其标准方程》教案
【教学目标】
知识与技能目标:
、定义及其标准方程;
,能够运用待定系数法知“一”求“二”(标准方程、焦点坐标、准线方程)。
过程与方法目标:
、生成抛物线定义的过程,提高学生动手能力、分析能力及抽象概括能力。
,进一步巩固用“数”来表示“形”的解析几何的思想。
。
情感、态度、价值观目标:
、物理中的抛体运动、实际生活中抛物线模型,形成用“联系的观点看数学”的良好思维****惯。
,感受数学理性之精神——真
通过抛物线在实际生活中的应用,感受数学应用之美——善
通过抛物线几何形状、标准方程的形式感受数学形式之和谐——美
【教学重点、难点】
教学重点:抛物线概念的形成,抛物线标准方程的建立,标准方程与图形的对应关系
教学难点:抛物线几何特征的分析,探求抛物线标准方程的过程
【教学方法】体验探究式教学法。
【教学过程】
(一)生活感知,实验导入
课堂的开始,向学生展示如下情境:
回顾二次函数的图象---抛物线。
列举抛物线在建筑、卫星、生活中的应用。
赵州桥桥拱的形状是什么曲线?通过赵州桥的“陷阱”,激化学生的认知冲突,激发学生的探索欲望,并由此提出问题。
【问题1】:
到底什么样的曲线才可以称做是抛物线呢?它具有怎样的几何特征?它的方程是什么呢?这就是我们今天要研究的内容。
(二)活动探究,描绘图形
学生动手在下图中,按步骤找出相应点并描绘图形轮廓。
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图形说明:是定点,是定直线,,在直线上一次取出点,过做的垂线如图:
作图步骤:
,并用光滑的曲线将点连接起来。
学生作图完成后,用几何画板展示成图过程。
(三)师生互动,生成定义
,尝试定义
【问题2】:
(1)曲线是由哪个点运动产生的?
(2)点运动过程中,哪些几何图形没有发生变化?
(3)怎么用等量关系刻画点的运动?
(4)位置始终在变化,但它与直线始终保持怎样的位置关系?
(5)实际上就是动点到定直线的?
动点满足的几何特征是:满足集合,为点到直线的距离。
由学生尝试概括抛物线的“定义”:
我们把平面内与一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
,完善定义
【问题3】:
(1)如果改变定点和定直线的距离,即改变的大小,抛物线会发生什么变化呢?
(2)如果继续变小至0即定点在定直线上,这个时候形成的曲线什么图形?
完善抛物线的定义:
我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点叫做抛物线的焦点;直线叫做抛物线的准线;
定点到和定直线的距离用字母来表示,即。
(四)类比探究,推导方程
,拟定方案
【问题4】:
(1)求曲线方程的基本步骤是什么?
建(系)——设(点)——限(约束条件)——代(入)——化(简)
(2)求抛物线的方程,首先涉及到怎么建系的问题。借鉴椭圆、双曲线的建系方案,坐标系应该怎样选择呢?
学生容易提出如下三种方案(预案):
方案一:以所在的直线为轴,以为原点建立直角坐标系(其优点是“好想”)
方案二:以所在直线为轴,以为原点建立直角坐标系(其优点是“好算”)
方案三:以所在直线为轴,以中点为原点建立直角坐标系(其优点是结果简洁)
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,推导方程
学生在以上三种方案下得出三个不同的方程:
方案一:;
方案二:;
方案三:;
,确定标准
对比研究,确定标准方程:
特征:开口向右,焦点坐标为,准线方程为。
,完成建构
【问题5】:
类比一下,椭圆和双曲线的标准方程有几种形式?是由什么决定的?抛物线的标准方程应该有几种形式?哪几种?
用类比的方法分别快速写出开口向左、向上、向下,焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程。
【问题6】:
(1)四种标准方程的左边和右边次数是怎样的?
(2)如何由方程确定抛物线的焦点位置及开口方向?
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(五)范例解析,尝试应用
例.(1)已知抛物线的标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点坐标是,求它的标准方程和准线方程。
(六)回顾小结,思考提升
一个定义:平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
两种思想:数形结合思想;分类讨论思想。
三项注意:①定义的前提条件:直线不经过定点;
②的几何意义是焦点到准线的距离;
③求抛物线焦点坐标、准线方程、标准方程时应“先定位,再定量”。
四种形式:抛物线的标准方程有四种形式。
(七)课后延伸,探究发现
教材73页A组1,2,3,4题。
你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗?指出它的焦点坐标和准线方程。
四、板书设计
抛物线及其标准方程