高一数学对数函数教案.pdf

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一、知识点提要
(1)函数ylogx(a0,a1),叫对数函数,其定义域为(0,+∞),值域是R.
a
(2)结合图象,熟练掌握对数函数的性质.
(3)熟记ylogx,ylogx以及ylgx的图象及相互关系,并通过图象掌握对
21
2
数的单调性,注意底对图象的影响.
(4)比较两对数值的大小时,应根据对数函数的单调性,对照对数函数的图象进行判
断.
二、重点难点突破
(1)对数函数与指数函数互为反函数,学习时要互相对照、互相比较,以加深理解.
(2)记忆对数函数的图象的性质时,应分a>1和0<a<1两种情况.
(3)注意分界点(1,0),它决定函数值的正负.
三、热点考题导析
logx1
例1
2的定义域.
4x1
1
x
4
111
解:4x10即∴函数的定义域为{x\0x且x}.
logx1x
1224
x0
x20

点评:求函数的定义域,往往可转化为解不等式.
,并说明理由.
1
(1).(2)log与log3.(3)log与log3.

33
1
解:(1)01,ylogx是减函数,.
3111
333
(2)18,ylogx是增函数,loglog3.
888
11
(3)log0,log30,loglog3.

教师点评:本例给出了比较两个对数大小的常用方法:(1)和(2)的解法是利用了对数函
数的单调性;(3)利用了对数函数的性质。另外,三个数以上比较大小,0和1
是两把尺度。
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log(x25x6)定义域、值域、单调区间.
2
解:定义域为x25x60x3或x2.
51
ux25x6(x)2(x>3或x<2),由二次函数的图象可知(图象略)
24
0<u<+∞,故原函数的值域为(-∞,+∞).
原函数的单调性与u的单调性一致.∴原函数的单调增区间为(3,+∞),单调减区间
为(-∞,2).
学生演板:
1
(1)已知f(x)的图象g(x)=()x的图象关于直线y=x对称,求f(2xx2)的单调减
4
1
区间.(先求g(x)=()x的反函数f(x)g1(x)logx,f(2xx2)log(2xx2),
411
44
单调减区间为(0,1])
11x
(x)lg.
x21x
(1)试判断函数f(x)的中单调性,并给出证明;
(2)若f(x)的反函数为f1(x),证明方程f1(x)=0有唯一解.
分析:为求单调性,需先求定义域,在定义域中利用单调性的定义作出判断.(1)可先
请同学用数字试一下,以便做到心中有数.
1x
0
1x
解:(1)由解得函数f(x)的定义域为(-1,1).
x20

111x1x
设1xx1,则f(x)f(x)()(lg2lg1)
1212x2x21x1x
1221
xx(1x)(1x)
=12lg12
(x2)(x2)(1x)(1x)
1212
xx
又(x2)(x2)0,xx0,120,
1212(x2)(x2)
12
又(1+x)(1x)0,(1x)(1x)0,
1212
(1x)(1x)1xxxx(1x)(1x)
01212121lg120.
(1x)(1x)1xxxx(1x)(1x)
12211212
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f(x)f(x)0,即f(x)f(x).
2121
故函数f(x)在区间(-1,1)内是减函数.
(2)这里并不需要先求出f(x)的反函数f1(x),再解方程f1(x)0.
111
f(0),f1()0,即x是方程f1(x)0的一个解.
222
11
若方程f1(x)0还有另一解x,则f1(x)(0)x
02002
这与已知矛盾.
故方程f1(x)0有唯一解.
教师点评:(1)中用定义证明了单调性,虽较复杂,但很重要,
一下,以便做到心中有数.(由(2)知函数在定义域上是单调的,因为存在反
函数)
(2)中告诉我们并不需要求出反函数,其思维过程,妙用了互为反函数的函数
定义域和值域之间的关系,既考虑存在性又反证了唯一性,这是一个好题,我
们甚至可以求解不等式;
11
f[x(x)].请读者自己完成.
22
(x)log(x2ax1)
1
2
(1)若函数的定义域为R,求a的取值范围.
(2)若函数的值域为R,求a的取值范围.
(3)若函数在(,13)上是增函数,求a的取值范围.
解:(1)定义域为R,是指不等式x2ax10的解集为R,即a240
2a2.
(2)值域为R,是指ux2ax1能取遍(0,+∞)中的所有的值.∴需只
a240即a2或a2.
(3)u(x)x2ax1在(,13)上为减函数且大于0,由图象可知:
(13)2a(13)10133
12(13)a.
a132
2
教师点评:对数函数的定义域为R,
能取遍所有的正数,不要认为判别式大于或等于0,那么在x轴下面的部分是负
数似乎不合题意,
(3)中特别要注意在区间(,13)上函数大于0.
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x2
(x21)log(m0,且m1)
m2x2
(1)判断f(x)的奇偶性;
1
(2)解关于x的方程f(x)log;
mx
(3)解关于x的不等式:f(x)log(3x1)
m
1t1t
解:(1)设x21t,则x21t,f(t)loglog,
m2(1t)m1t
1x
f(x)log,它的定义域为(-1,1).x(1,1),x(1,1),
m1x
1(x)1x1x
f(x)logloglog()1f(x),∴f(x)为奇函数.
m1(x)m1xm1x
1x1

1xx
11x11x
(2)由f(x)=log,即loglog,得0x12
mxm1xmx1x0x1
1
0
x
x12.
1x
(3)由f(x)log(3x1)即loglog(3x1)得:
mm1xm
1x11
(a)当m>1时,3x1解得:x0或x1.
1x33
3x10
1x
3x1
1x1
(b)当0m1时,解得:0x.
1x3
0
1x
11
由(a)、(b)知,当m>1时,原不等式解集为{x|x0或x1}
33
教师点评:本题涉及到求函数的表达式,解对数方程,
论.
四、课堂练习
(1)求函数f(x)=x24的定义域.
lg(x22x3)
(定义域为{x|x15或15x3或x2})
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1
(2)定义在全体实数上的奇函数f(x)a,要使f1(x)1,求x的取值范围.
2x1
11
((,))
26
(4)若ylog(2ax)在区间[0,1]上是减函数,求a的取值范围.((1,2))
a
五、高考试题
1
(1)(2001年上海,1)设函数f(x)2xx(,1],则满足f(x)的x值为.
logxx(1,)4
81
答案:3
1
分析:当x(,1]时,值域为[,),当x(1,)时值域为(0,+∞)
2
111
y,y(0,),此时x(1,),logx,x8143.
4814
x
(2)(2001年上海,4)设集合A={x|2lgxlg(8x15),xR},B{x|cos0,xR},
2
则AB的元素个数为.
答案:1
x0
x0153
分析:集合A:8x150xx3或x3时,cos,
x28x1582
x28x150
3
0
22
355
cos=5时,,cos0,AB的元素个数为1.
2222
(3)(93年全国文,25)解方程:lg(x24x26)lg(x3)1.
答案:x35.

x24x260x30
分析:x30x24x26解得:x35(舍去),x35.
10
x24x26
10x3
x3
点评:本题主要考查对数方程的解法,属常规题,对等价转化思想有较高的要求.
六、考点检测
(1)若1<x<2,则下列不等式中正确的是()
(A)2xlogx3x(B)2x3xlogx(C)3x2xlogx
111
222
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(D)logx3x2x
1
2
(2)函数ylog(4xx2)的值域为()

(A)[2,](B)R(C)[0,](D)(0,4]
(3)函数ylogx在x[2,)上恒有|y|>1,则a的取值范围是.
a
a
(4)设a、b为正数,若lg(ax)lg(bx)10有解,则的取值范围是.
b
2x3x9xC
(5)已知函数f(x)lg在(,1]有上意义,求实数C的取值范围.
7
(6)设f(x)log(xx22)的反函数是f1(x)(其中a>0,且a≠1)
a
(a)求f1(x),并求出它的定义域.
21
(b)设P(n)f1(nlog2),若P(n)(3n3n)nN*),求a的取值
2a2
范围.
参考答案
1aa15
(1)B(2)A(3)(,1)(1,2)(4)100或0.(5)(,)(6)
2bb1009
(a)当a>1时,x[log2,,当0<a<1时,x(,log2)
aa
1
(b){a|a3且a1}.
3
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