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行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一(计算、数论、几何、行程)。具体题型转变多样,形成10多种题型,都有各自相对独特的解题方式。
一、一般相遇追及问题
包括一人或二人时(同时、异时)、地(同地、异地)、向(同向、相向)的时间和距离等条件混合出现的行程问题。在杯赛中大量出现,约占80%左右。建议熟练应用标准解法,即s=vxt结合标准线段画图(大体功)解答。由于只用到相遇追及的大体公式即可解决,在解题的时候,一旦出现比较多的情况转变时,结合自己画出的图分段去分析情况。
二、复杂相遇追及问题
(1)多人相遇追及问题。比一般相遇追及问题多了一个运动对象,即一般咱们能碰着的是三人相遇追及问题。解题思路完全一样,只是相对复杂点,关键是标准画图的能力可否清楚表明三者的运动状态。
(2)多次相遇追及问题。即两个人在一段路程中同时同地或同时异地反复相遇和追及,俗称“反复折腾型问题”。分为标准型(如已知两地距离和二者速度,求
n次相遇或追及点距特定地址的距离或在规按时间内的相遇或追及次数)和纯周期问题(少见,如已知二者速度,求一个周期后,即二者都回到初始点时相遇、追及的次数)。
标准型解法固定,不能从路程入手,将会很繁,最好一开始就用求单位相遇、追及时间的方式,再求距离和次数就容易患多。若是用折线示用意只能可能有个感性熟悉,无法具体得出答案,除非是非考试时间仔细画标准尺寸图。
一般用到的时间公式是(只列举甲、乙从两头同时动身的情况,从同一端动身的情况少见,所以不赘述):
单程相遇时间:t单程相遇二S/(V甲+V乙)
单程追及时间:t单程追及二s/(v甲-乙)
第n次相遇时间:tn二t单程相遇x(2n-1)
第m次追及时间:tm=t单程追及x(2m-1)
限按时间内的相遇次数:N相遇次数=[(tn+t单程相
遇)/2t单程相遇]
限按时间内的追及次数:M追及次数二[(tm+t单程追及)/2t单程追及]
注:[]是取整符号
以后再选取甲或乙来研究有关路程的关系,其中涉及到周期问题需要注意,不要把运动方向弄错了。
简单例题:甲、乙两车同时从A地动身,在相距300千米的A、B两地之间不断来回行驶,已知甲车的速度是每小时30千米,乙车的速度是每小时20千米。
问(1)第二次迎面相遇后又通过量长时间甲、乙追及相遇?
(2)相遇时距离中点多少千米?(3)50小时内,甲乙两车共迎面相遇多少次?
三、火车问题
特点无非是涉及到车长,相对容易。小题型分为:
一、火车过桥:一个有长度、有速度,一个有长度、但没速度,
解法:火车车长+桥(隧道)长度(总路程)二火车速度X通过的时间;
二、火车+树(电线杆):一个有长度、有速度,一个没长度、没速度,
解法:火车车长(总路程)二火车速度X通过时间;
3、火车+人:一个有长度、有速度,一个没长度、但
有速度,
、火车+迎面行走的人:相当于相遇问题,
解法:火车车长(总路程)二(火车速度+人的速度)X迎面错过的时间;
火车+同向行走的人:相当于追及问题,
解法:火车车长(总路程)二(火车速度-人的速度)x追及
的时间;
火车+坐在火车上的人:火车与人的相遇和追及问题
解法:火车车长(总路程)二(火车速度士人的速度)x迎面
错过的时间;
4、火车+火车:一个有长度、有速度,一个也有长度、
有速度,
错车问题:相当于相遇问题,
解法:快车车长+慢车车长(总路程)二(快车速度+慢车
速度)X错车时间;
超车问题:相当于追及问题,
解法:快车车长+慢车车长(总路程)二(快车速度-慢车
速度)X错车时间;
对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人和火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目,在分析题目的时候必然得结合着图来进行。
四、流水行船问题
理解了相对速度,流水行船问题也就不难了。理解记住
1个公式:
顺水船速=静水船速+水流速度,就可以够顺势理解和推导出其他公式:
逆水船速=静水船速-水流速度,
静水船速=(顺水船速+逆水船速"2,
水流速度=(顺水船速-逆水船速)-2。
技能性结论如下:
(1)相遇追及。水流速度对于相遇追及的时间没有影响,即对无论是同向仍是相向的两船的速度差不组成“要挟”,斗胆利用为善。
⑵流水落物。漂流物速度二水流速度,t1=t2(t1:从落物到发现的时间段,t2:从发现到拾到的时间段)与船速、水速、顺行逆行无关。此结论所带来的时间等式常常超级容易的解决流水落物问题,其本身也超级容易记忆。
例题:一条河上有甲、乙两个码头,甲码头在乙码头的上游50千米处。一艘客船和一艘货船别离从甲、乙两码头同时动身向上游行驶,两船的静水速度相同。客船动身时有一物品从船上落入水中,10分钟后此物品距客船5千米。客船在行驶20千米后掉头追赶此物品,追上时恰好和货船相遇。求水流速度。
五、距离发车问题
空间理解稍显困难,证明进程对快速解题没有帮忙。一旦掌握了3个大体公式,一般问题都可以迎刃而解。
在班车里。即柳卡问题。不用大体公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成。
例题:A、B是公共汽车的两个车站,从A站到B站是上坡路。天天上午8点到11点从A、B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从A站到B站单程需要105分钟,从B站到A站单程需要80分钟。问8:30、9:00从A站发车的司机别离能看到几辆从B站开来的汽车?
(2)在班车外。联立3个大体公式好使。
汽车间距=(汽车速度+行人速度)X相遇事件时间距离
汽车间距=(汽车速度-行人速度)x追及事件时间距离
汽车间距二汽车速度X汽车发车时间距离
一、2归并理解,即
汽车间距=相对速度X时间距离
分为2个小题型:
一、一般距离发车问题。用3个公式迅速作答;
二、求抵达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。标准方式是:画图-尽可能多的列3个好使公式-结合s全程二vxt-结合植树问题数数。
例题:小峰在骑自行车去小宝家聚会的路上注意到,每隔9分钟就有一辆公交车从后方超越小峰。小峰骑车到半路车坏了,于是只好坐出租车去小宝家。这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车,已知出租车的速度是小峰骑车速度的5倍,若是这3种车辆在行驶进程中都维持匀速,那么公交车站每隔多少分钟发一辆车?
六、平均速度问题
相对容易的题型。大公式要牢牢记住:总路程=平均速度X总时间。用s=vxt写出相应的比要比直接写比例式好理解而且规范,形成行程问题的统一解决方案。
七、环形跑道问题
是一类有挑战性和难度的题型,分为“同一路径”、“不同路径”、“真实相遇”、“可否看到”等小题型。其中涉及到周期问题、几何位置问题(审题不仔细容易漏掉多种位置可能)、不等式问题(针对“可否看到”问题,即问甲可否在线
段的拐角处看到乙)
八、钟表问题
是环形问题的特定引申。大体关系式:V分针=12v时针
(1)总结记忆:时针每分钟走1/12格,°;分针每分钟走1格,6°。时针和分针“半”天共重合11次,成直线共11次,成直角共22次(都在什么位置需要自己拿表画图总结)。
(2)大体解题思路:路程差思路。即
格或角(分针)=格或角(时针)+格或角(差)
格:x=x/12+(开始时掉队时针的格+终止时超过时针的格)
角:6x=x/2+(开始时掉队时针的角度+终止时超过时针的角度)
可以解决大部份时针问题的题型,包括重合、成直角、成直线、成任意角度、在哪两个格中间,和哪个时刻形成多
少角度。
例题:在9点23分时,时针和分针的夹角是多少度?从这一时刻开始,通过量少分钟,时针和分针第一次垂直?
坏钟问题。所用到的解决方式已经不是行程问题了,变成比例问题了,有相应的比例公式。
九、自动扶梯问题