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高中数学必修2知识点归纳
必修2知识点归纳第一章空间几何体
1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式:一种是由简单几何体拼接而成,-11中(1)(2)物体表示的几何体;一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,-11中(3)(4)物体表示的几何体。
行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。
第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
αABlAl,BllA,B公理1的作用:判断直线是否在平面内
2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
C若A,B,C不共线,则A,B,C确定平面BαA
推论1:过直线的直线外一点有且只有一个平面
简单组合体
若Al,则点A和l确定平面
Aαl推论2:过两条相交直线有且只有一个平面
⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平
Aαl
m若mnA,则m,n确定平面
推论3:过两条平行直线有且只有一个平面
1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。
(1)定义:
正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图;侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图;俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
(2)三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等”
若mn,则m,n确定平面
公理2及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。
αmn3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点
的公共直线。
αβPP,Pl且PlL
2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图).观察者站在某一点观察几何体,画
出的图形.
公理3作用:(1)判定两个平面是否相交的依据;(2)证明点共线、线共点等。
3、斜二测画法的基本步骤:
①建立适当直角坐标系xOy(尽可能使更多的点在坐标轴上)②建立斜坐标系xOy,使xOy""""""0
=45(或1350),注意它们确定的平面表示水平平面;
4、公理4:也叫平行公理,,cbac
公理4作用:证明两直线平行。
5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
aaa,bb且1与2方向相同1=2b1‘
a1不变;在已知图形平行于Y轴的线段,在直观图中画成平行于Y轴,且长度变为原来的一半;ba"
③画对应图形,在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于X轴,且长度保持
‘
一般地,原图的面积是其直观图面积的22倍,即S原图=22S直观
4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积;S侧面2rl
方向相反则aa,bb且1与2方向相反12=180方向相同则∠1+∠2=180°∠1=∠2
2b"a"2b"作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。rlrAAlVθlrhlB图中:扇形的半径长为l,圆心角为θ,弧AB的长Lθl(注:,例如60°弧度,3ππ45°弧度,90°弧度等等)426、线线位置关系:平行、相交、异面。ab,(1)没有任何公共点的两条直线平行
abA,a,b异面
aAblS侧=2πrlB(2)有一个公共点的两条直线相交
(3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线AB=2πr
7、线面位置关系:
⑵圆锥侧面积:S侧面rl
aaA(3)(1)a
(2)
(1)直线在平面内,直线与平面有无数个公共点;a(2)直线和平面平行,直线与平面无任何公共点;a
(3)直线与平面相交,直线与平面有唯一一个公共点;aA
圆锥的侧面展开图是扇形,1扇形面积S扇形弧长半径2O1rhO2Rl8、面面位置关系:平行、相交。
⑶圆台侧面积:S侧面rlRl
⑷体积公式:
9、线面平行:(即直线与平面无任何公共点)
13ROdO1⑴判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。(只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以)
V柱体Sh;V锥体V台体13hS上Sh;
rd=R2-r2S上S下S下
aba//
a//b证明两直线平行的主要方法是:
①三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半;②平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行;
⑸球的表面积和体积:
S球4R,V球
,面积比等于相似比的平方,体积比等于相似比的立方。
-1-
③线面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,
那么这条直线和它们的交线平行;
性质Ⅱ:垂直于同一直线的两平面平行12、面面垂直:
laab
b
④平行线的传递性:ab,cbac
⑤面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行;
al
⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。
aab
b
⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。
ll(只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直)
a⑥垂直于同一平面的两直线平行;ab
b⑵直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行;(上面的③)
⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
10、面面平行:(即两平面无任何公共点)
(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。a,babA
a,b
判定定理的推论:一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行,两
平面平行
ml
llm
证明两直线垂直和主要方法:
①利用勾股定理证明两相交直线垂直;
②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直;③利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直);
④利用三垂线定理证明两直线垂直(“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”,“线斜垂”)
αA斜影Oa线P如图:POOA是PA在平面上的射影又直线a,且aOAaPA
abA
aa,bba,b(2)两平面平行的性质:
性质Ⅰ:如果一个平面与两平行平面都相交,那么它们的交线平行;
a,b
即:线影垂直线斜垂直,反之也成立。④利用圆中直径所对的圆周角是直角,此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。
空间角及空间距离的计算
:使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在在两异面直线中的一
条上取一点,过该点作另一条直线平行线,
如图:直线a与b异面,b//b,直线a与直线b的夹角为两异面直线a与b所成的角,异面直线所成角取值范围是(0,90]aab
b
:斜线与它在平面上的射影成的角。如图:PA是平面的
一条斜线,A为斜足,O为垂足,OA叫斜线PA在平面上射影,PAO为线面角。
性质Ⅱ:平行于同一平面的两平面平行;
性质Ⅲ:夹在两平行平面间的平行线段相等;
:从一条直线出发的两个半平面形成的图形,如图为二面角l,二
面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直
如图:在二面角-l-中,O棱上一点,OA,OB,
且OAl,OBl,则AOB为二面角-l-的平面角。
用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是:①明确构成二面角两个半平面和棱;②明确二面角的平面角是哪个?
而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直。(求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”)
A,CACBD
B,DABCD性质Ⅳ:两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行;
a或a
aa
11、线面垂直:
:指夹在两异面直线之间的
⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。公垂线段的长度。如图PQ是两异面直线间的距离
⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
(异面直线的公垂线是唯一的,指与两异面直线垂直且相交的直线)
:指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。
如图:O为P在平面上的射影,线段OP的长度为点P到平面的距离求法通常有:定义法和等体积法