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因式分解专题复****及解说(很详尽)
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因式分解的常用方法第一部分:方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被宽泛地应用于初等数学之中,,技巧性强,学****这些方法与技巧,不单是掌握因式分解内容所必要的,并且对于培育学生的解题技术,发展学生的思想能力,、运用公式法、,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.
一、提公因式法 .:ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法 .
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因
式分解中常用的公式,比如:
(1)(a+b)(a-b)=a
2-b2---------a
2-b2=(a+b)(a-b);
(2)(a
±b)2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2;
(3)(a+b)(a
2-ab+b2)=a3+b3------a
3+b3=(a+b)(a
2-ab+b2);
(4)(a-b)(a
2
2
3
3
3
3
2
2
+ab+b)=a
-b
------a
-b
=(a-b)(a
+ab+b).
下边再增补两个常用的公式:
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)
2;
3
3
3
2
2
2
;
(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a
+b+c-ab-bc-ca)
,b,c是
ABC的三边,且a2
b2
c2
ab
bcca,
则
ABC的形状是(
)
B
等腰三角形
C
等边三角形
D
等腰直角三角形
解:a2
b2
c2
abbc
ca
2a2
2b2
2c2
2ab
2bc2ca
(ab)2
(bc)2
(ca)2
0
abc
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:amanbmbn
剖析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不可以运用
公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,所以能够考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,而后再考
虑两组之间的联系。
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解:原式=(am an) (bm bn)
= a(m n) b(m n) 每组之间还有公因式!
= (m n)(a b)
例2、分解因式:2ax10ay5bybx
解法一:第一、二项为一组;
解法二:第一、四项为一组;
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解:原式=(2ax
10ay)
(5by
bx)
原式=(2ax
bx)
(
10ay
5by)
=
2a(x
5y)
b(x
5y)
=
x(2a
b)
5y(2a
b)
=
(x5y)(2a
b)
=
(2a
b)(x
5y)
练****分解因式
1、a2
abac
bc
2
、xy
x
y
1
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
x2
y2
ax
ay
剖析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,固然能够提公因
式,但提完后就能持续分解,所以只好此外分组。
解:原式=(x2
y2)
(ax
ay)
=
(x
y)(x
y)
a(x
y)
=
(x
y)(x
y
a)
例4、分解因式:a2
2ab
b2
c2
解:原式=(a2
2ab
b2)
c2
=
(a
b)2
c2
=
(a
b
c)(a
b
c)
练****分解因式
3、x2
x
9y2
3y
4
、x2
y2
z2
2yz
综合练****1)
x3
x2y
xy2
y3
(2)ax2
bx2
bx
ax
ab
(3)x2
6xy
9y2
16a2
8a
1(4)a2
6ab
12b
9b2
4a
(5)a4
2a3
a2
9
(6)4a2x4a2yb2xb2y
(7)x2
2xy
xz
yzy2
(8)a2
2ab2
2b
2ab1
(9)y(y
2)
(m
1)(m
1)
(10)(a
c)(a
c)
b(b
2a)
(11)a2(bc)
b2(a
c)
c2(ab)
2abc
3
b
3
c
3
3abc
(12)a
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为
1的二次三项式
直接利用公式——
x2
(pq)x
pq
(xp)(x
q)进行分解。
特色:(1)二次项系数是
1;
2)常数项是两个数的乘积;
3)一次项系数是常数项的两因数的和。
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思虑:十字相乘有什么基本规律?
0<a≤5,且a为整数,若2x2
3x
a能用十字相乘法分解因
式,求切合条件的
a.
式ax2+bx+c,都要求
分析:凡是能十字相乘的二次三项
b2
4ac>0并且是一个完整平方数。
于是
98a为完整平方数,a1
例5、分解因式:
x2
5x
6
剖析:将6分红两个数相乘,且这两个数的和要等于
5。
因为6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)
,从中能够发现只有2
×3的分解合适,即
2+3=5。
1
2
解:x2
5x
6=x2
(23)x23
13
=
(x
2)(x3)
1
×2+1×3=5
用此方法进行分解的重点:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式:x2
7x
6
解:原式=x2
[(
1)
(
6)]x
(1)(
6)
1
-1
=(x
1)(x
6)
1
-6
(-1)+(-6)=-7
练****5、分解因式(1)
x2
14x
24
(2)
a2
15a
36
(3)
x2
4x
5
练****br/>6、分解因式(1)
x2
x
2
(2)
y2
2y
15
(3)x2
10x24
(二)二次项系数不为
1的二次三项式——
ax2
bx
c
条件:(1)a
a1a2
a1
c1
(2)cc1c2
a2
c2
(3)b
a1c2
a2c1
ba1c2
a2c1
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分解结果: ax2 bx c=(a1x c1)(a2x c2)
例7、分解因式:3x211x10
剖析:
1
-2
3
-5
(-6)+(-5)=-11
解:3x2
11x
10=(x
2)(3x
5)
练****7、分解因式:(1)5x2
7x
6
(2)3x2
7x2
(3)10x2
17x
3
(4)6y2
11y10
(三)二次项系数为 1的齐次多项式
例8、分解因式:a28ab128b2
剖析:将b当作常数,把原多项式当作对于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
1 8b
-16b
8b+(-16b)=-8b
解:a2
8ab
128b2=a2
[8b
(
16b)]a
8b(16b)
=
(a
8b)(a16b)
练<br****br/>8
、
分
解
因
式
(1)x2
3xy
2y2
(2)
m2
6mn
8n2
(3)
a2
ab
6b2
(四)二次项系数不为
1的齐次多项式
例9、2x2
7xy6y2
例10、x2y2
3xy2
1
-2y
把xy看作一个整体1
-1
2
-3y
1
-2
(-3y)+(-4y)=-7y
(-1)+(-2)=
-3
解:原式=(x2y)(2x
3y)
解:原式=(xy
1)(xy
2)
练****9、分解因式:(1)15x2
7xy4y2
(2)a2x2
6ax
8
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综合练****br/>10、(1)8x6
7x3
1
(2)12x2
11xy
15y2
(3)(xy)2
3(xy)10
(4)(ab)2
4a4b
3
(5)2
22
2
2
2
xy
5x
y6x
(6)
4mn
4n
3m
6n
2
m
(7)x2
4xy
4y2
2x
4y
3(8)5(a
b)2
23(a2
b2)
10(a
b)2
(9)4x2
4xy
6x
3y
y2
10(10)12(xy)2
11(x2
y2)
2(x
y)2
思虑:分解因式:
abcx2
(a2b2
c2)xabc
五、换元法。
例13、分解因式(
1)2005x2
(20052
1)x
2005
(2)(x1)(x
2)(x3)(x
6)
x2
解:(1)设2005=a,则原式=ax2
(a2
1)x
a
=
(ax
1)(x
a)
=
(2005x1)(x
2005)
(2)型如abcd e的多项式,分解因式时能够把四个因式两两分组相乘。
原式=(x2
7x6)(x2
5x6)x2
设x2
5x
6A,则x2
7x6A2x
∴原式=(A
2x)Ax2
=A2
2Axx2
=
(Ax)2=(x2
6x6)2
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练****13、分解因式( 1)(x
(2)(x
(3)(a
2
xyy2)2
4xy(x2
y2)
2
3x
2)(4x2
8x
3)90
2
1)2
(a2
5)2
4(a2
3)2
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例14、分解因式(
1)2x4
x3
6x2
x2
察看:此多项式的特色——是对于
x的降幂摆列,每一项的次数挨次少
并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”
。
方法:提中间项的字母和它的次数,保存系数,而后再用换元法。
解:原式=x2(2x2
x
6
1
12)=x2
2(x212
)(x
1)
x
x
x
x
设x
1
t,则x2
1
t2
2
2
x
2
x2
2
2
∴原式=
x
2
2)
t
6
=x
2t
t10
(t
1,
6
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=
x22t
5t
2=x22x
2
5x
1
2
x
x
=
x·2x
2
5·x·x
1
2=2x2
5x2x2
2x1
x
x
=
(x
1)2(2x
1)(x
2)
(2)x4
4x3
x2
4x
1
2
2
4x
1
4
1
=x
2
x
2
1
4x
1
解:原式=x(x
x
2)
x2
1
x
x
设x
1
y,则x2
1
y2
2
x
x2
∴原式=x2(y2
4y
3)
=x2(y
1)(y
3)
=
x2(x
1
1)(x
1
3)=x2
x1x2
3x1
x
x
练****14、(1)6x4
7x3
36x2
7x
6
(2)x4
2x3
x2
12(xx2)
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六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式(1)x3解法1——拆项。
原式=x3
13
x2
3
=(x
1)(x2
x
1)
=(x
1)(x2
x
1
=(x
1)(x2
4x
4)
=(x
1)(x
2)2
3
x2
4
解法2——添项。
原式=x3
3x2
4x4x4
3(x
1)(x1)
=x(x2
3x
4)
(4x
4)
3x
3)
=x(x
1)(x
4)
4(x
1)
=
(x
1)(x2
4x
4)
=
(x
1)(x
2)2
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(2)x9
x6
x3
3
解:原式=(x9
1)(x6
1)
(x3
1)
=(x3
1)(x6
x3
1)(x3
1)(x3
1)(x3
1)
=(x3
1)(x6
x3
1
x3
11)
=(x
1)(x2
x
1)(x6
2x3
3)
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练****15、分解因式
(1)
x
3
9
x
8
()
(x
1)
2
(3)x4
7x2
1
(4)x4
x
4
(x2
1)
2
(x1)4
2
2ax
1
a2
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(5)x4 y4(xy)4 (6)2a2b2 2a2c2 2b2c2 a4 b4 c4
七、待定系数法。
例16、分解因式x2
xy
6y2
x
13y6
剖析:原式的前
3项x2
xy
6y2
能够分为(x3y)(x
2y),则原多项式
必然可分为(x3ym)(x
2y
n)
解:设x2
xy
6y2
x
13y
6=(x
3y
m)(x2y
n)
∵(x3y
m)(x
2y
n)=x2
xy
6y2
(m
n)x
(3n
2m)y
mn
∴
x2
xy
6y2
x
13y
6=x2
xy
6y2
(m
n)x
(3n
2m)y
mn
m
n
1
m
2
对照左右两边同样项的系数可得
3n
2m
13,解得
n
3
mn
6
∴原式=(x3y2)(x2y
3)
例
17
、()当m为什么值时,多项式
x
2
y
2
mx
5y
6能分解因式,并分
1
解此多项式。
(2)假如x3ax2
bx
8有两个因式为x
1和x
2,求a
b的值。
(1)剖析:前两项能够分解为
(x
y)(x
y),故此多项式分解的形式必
为(x
y
a)(x
y
b)
解:设x2
y2
mx
5y
6=(x
y
a)(x
y
b)
则x2
y2
mx
5y
6=x2
y2
(ab)x(ba)yab
a
b
m
a
2
a2
比较对应的系数可得:
b
a
5
,解得:
b
3
或
b
3
ab
6
m
1
m
1
∴当m
1时,原多项式能够分解;
当m1
时,原式=(x
y
2)(x
y
3);
当m
1时,原式=(x
y
2)(x
y
3)
(2)剖析:x3
ax2
bx
8是一个三次式,所以它应当分红三个一次式相乘,
所以第三个因式必为形如
x
c的一次二项式。
解:设x3
ax2
bx
8
=(x1)(x
2)(xc)
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则x3 ax2 bx 8=x3 (3 c)x2 (2 3c)x 2c
a
3
c
a
7
∴b
2
3c
解得b
14,
2c
8
c
4
∴ab=21
练****17、(1)分解因式x2
3xy
10y2
x
9y
2
(2)分解因式x2
3xy
2y2
5x
7y
6
(3)已知:x2
2xy
3y2
6x
14y
p能分解成两个一次因式
之积,求常数
p并且分解因式。
()
k
为什么值时,
x
2
2
xy
ky
2
3
x
5
y
2
能分解成两个一次
4
因式的乘积,并分解此多项式。
第二部分****题大全
经典一:
一、填空题
把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解
因式。
2分解因式:
3
.
m-4m=
:x2-4y2=__
_____.
4、分解因式:
x2
4x
4=_________________。
n
分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)
,则
n的值
-yn
为
.
6、若xy
5,xy
6,则x2yxy2
=_________,2x2
2y2
=__________。
二、选择题
7、多项式15m3n2
5m2n
20m2n3
的公因式是(
)
A、5mn
B
、5m2n2
C
、5m2nD
、5mn2
8、以下各式从左到右的变形中,是因式分解的是
(
)
A、a3a3a2
9
B、a2
b2
abab
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适用标准文档
2
3
C、
a2
4a5aa45
D、
m2m3mm2
m
(
)
(A)x2-y
(B)x
2+1(C)x
2+y+y2
(D)x
2-4x+4
2
(x-y)-(y-x)分解因式为(
)
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因式分解专题复****及解说(很详尽)
A.(x-y)(x-y-1)
C.(y-x)(y-x-1)
.(y-x)(x-y-1)
.(y-x)(y-x+1)
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因式分解专题复****及解说(很详尽)
( )
+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)
B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)
(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1)
2
D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)=(a-2b)(11b-2a)
13.
若k-12xy+9x2是一个完整平方式,那么
k应为(
)
2
2
三、把以下各式分解因式:
14
、nx
ny
15
、4m2
9n2
16、mm n nn m 17 、a32a2bab2
18、x2
2
2
416x
19
、9(mn)2
16(mn)2
;
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五、解答题
20、如图,在一块边长 a=,挖去一个边长b=
的正方形。求纸片节余部分的面积。
、如图,某环保工程需要一种空心混凝土管道,它的规格是内径
d45cm
,外径
D
75cm,
3m。利用分解因式计算浇制一节这样
长l
的管道需要多少立方米的混凝土?
(,结果保存2位有效数字)
l
Dd
22、察看以下等式的规律,并依据这种规律写出第 (5)个等式。
x21x1x1
x41x21x1x1
(3)x8
1
x41x2
1
x
1
x
1
(4)
x16
1
x81x4
1
x2
1
x
1x1
(5)
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