文档介绍：该【因式分解常用方法及练习题 】是由【泰山小桥流水】上传分享，文档一共【14】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【因式分解常用方法及练习题 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。因式分解的常用方法
一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、公式法.
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,比方:
(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a
2
2
-b
(2)
完满平方公式:
2
2
2
(a±b)=a
±2ab+b
(3)
3
3
2
2
立方和公式:a+b=(a+b)(a
-ab+b)
(4)
3
3
2
2
立方差公式:a-b=(a-b)(a
+ab+b)
(5)完满立方公式:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
下面再补充两个常用的公式:
(6)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
3
3
3
2
2
2
(7)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a
+b+c
-ab-bc-ca);
三、十字相乘法.
(一)二次项系数为
1的二次三项式
直接利用公式:x2
(pq)x
pq
(xp)(xq)进行分解。
特点:(1)二次项系数是1;
2)常数项是两个数的乘积;
3)一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式:x2
5x6
x2
7x6
练****5、分解因式(1)x2
14x24
(2)a2
15a36
(3)x2
4x5
练****6、分解因式(1)x2
x2
(2)y2
2y15
(3)x2
10x24
(二)二次项系数不为
1的二次三项式——
ax2
bx
c
条件:(1)a
a1a2
a1
c1
(2)cc1c2
a2
c2
(3)b
a1c2
a2c1
ba1c2
a2c1
分解结果:ax2
bx
c=(a1xc1)(a2x
c2)
1
例7、分解因式:3x211x10
练****7、分解因式:(1)5x2
7x6
(2)3x2
7x2
(3)10x217x3(4)6y211y10
(三)二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式:a28ab128b2
分析:将b看作常数,把原多项式看作对于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
1
8b
1
-16b
8b+(-16b)=-8b
解:a2
8ab128b2
=a2
[8b
(16b)]a8b(16b)
=(a
8b)(a
16b)
练****8、分解因式(1)x23xy2y2(2)m26mn8n2(3)a2ab6b2
(四)二次项系数不为1
的齐次多项式
例9、2x2
7xy
6y2
例10、x2y2
3xy2
1
-2y
把xy看作一个整体1
-1
2
-3y
1
-2
(-3y)+(-4y)=-7y
(-1)+(-2)=-3
解:原式=(x2y)(2x3y)
解:原式=(xy
1)(xy
2)
练****9、分解因式:(1)15x
2
7xy4y2
(2)a2x2
6ax
8
2
综合练****br/>10、(1)8x6
7x3
1
(2)12x2
11xy15y2
(3)(xy)23(xy)10(4)(ab)24a4b3
(5)x2y25x2y6x2(6)m24mn4n23m6n2
(7)x24xy4y22x4y3(8)5(ab)223(a2b2)10(ab)2
(9)4x24xy6x3yy210(10)12(xy)211(x2y2)2(xy)2
四、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:amanbmbn
分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不可以运用公式分解,但从“局部”看,这
个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,此后再考虑两组之间的联系。
解:原式=(aman)(bmbn)
=a(mn)b(mn)每组之间还有公因式!
(mn)(ab)
例2、分解因式:2ax10ay5bybx
解法一:第一、二项为一组;
解法二:第一、四项为一组;
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解:原式=(2ax
10ay)
(5bybx)
原式=(2ax
bx)
(10ay
5by)
=2a(x
5y)
b(x5y)
=x(2a
b)
5y(2a
b)
=(x5y)(2a
b)
=(2a
b)(x
5y)
3
练****分解因式1、a2abacbc2、xyxy1
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:x2y2axay
分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,诚然可以提公因式,但提完后就能连续分解,所
以只能其余分组。
例4、分解因式:a2
2ab
b2
c2
解:原式=(x2
y2)
(ax
ay)
解:原式=(a
2
2ab
b2)
c
2
=(x
y)(x
y)
a(xy)
=(a
b)2
c2
=(x
y)(x
y
a)
=(a
b
c)(a
b
c)
练****分解因式3、x2
x
9y2
3y
4、x2
y2
z2
2yz
综合练****1)x3x2yxy2y3(2)ax2bx2bxaxab
(3)x26xy9y216a28a1(4)a26ab12b9b24a
(5)a42a3a29(6)4a2x4a2yb2xb2y
(7)x22xyxzyzy2(8)a22ab22b2ab1
4
(9)y(y2)(m1)(m1)(10)(ac)(ac)b(b2a)
五、换元法。
例13、分解因式(
1)2005x2
(20052
1)x
2005
(2)(x
1)(x
2)(x
3)(x
6)
x2
解:(1)设2005=a,则原式=ax2
(a2
1)x
a
=(ax
1)(x
a)
=(2005x1)(x
2005)
(2)型如abcd
e的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=(x2
7x6)(x2
5x6)x2
设x2
5x
6A,则x2
7x6A2x
∴原式=(A
2x)A
x2=A2
2Ax
x2
=(Ax)2=(x2
6x6)2
练****13、分解因式(
1)(x2
xyy2)2
4xy(x2
y2)
(2)(x2
3x
2)(4x2
8x
3)
90
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式(
1)x3
3x2
4
解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=x3
13x2
3
原式=x3
3x2
4x4x4
=
(x
1)(x2
x
1)
3(x
1)(x
1)
=
x(x2
3x
4)
(4x
4)
=(x
1)(x2
x
1
3x
3)
=x(x
1)(x
4)
4(x
1)
=(x1)(x2
4x4)
=(x1)(x2
4x4)
=(x1)(x2)2
=(x1)(x2)2
练****15、分解因式
(1)
4
2
2
4
4
2
4
2
2
(x1)
(x
1)
(x1)
()x7x
1
()x
x
2ax
1
a
2
3
5
第二部分****题大全
经典一:
一、填空题
把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式:m3-4m=
.
:x2-4y2=__
_____.
4、分解因式:
x2
4x
4=_________________
。
-yn分解因式的结果为
(x2+y2)(x+y)(x-y)
,则n的值为
.
6、若x
y
5,xy
6,则x2yxy2
=_________,2x2
2y2
=__________。
二、选择题
7、多项式15m3n2
5m2n
20m2n3
的公因式是(
)
A、5mn
B
、5m2n2
C
、5m2n
D
、5mn2
8、以下各式从左到右的变形中,是因式分解的是
(
)
A、a3a3a2
9
B、a2
b2
abab
a24a5aa45
m
2
2m3mm2
3
C、
m
D、
(
)
(A)x2-y
(B)x
2+1
(C)x
2+y+y2
(D)x
2-4x+4
(x-y)2-(y-x)分解因式为(
)
A.(x-y)(x-y-1)B
.(y-x)(x-y-1)
C.(y-x)(y-x-1)D
.(y-x)(y-x+1)
(
)
+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)
B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)
(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1)
D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)
-12xy+9x2是一个完满平方式,那么
k应为(
)
2
2
三、把以下各式分解因式:
14、nx
ny
15
、4m2
9n2
16、mmnnnm17、a32a2bab2
6
18、x2
2
2
416x
19
、9(mn)2
16(mn)2
;
五、解答题
20、如图,在一块边长a=,挖去一个边长b=。求纸片节余部分的
面积。
21、如图,某环保工程需要一种空心混凝土管道,它的规格是内径
d
45cm
,外径
D
75cm,
长l3m。
利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土?
(
,结果保存
2位有效数字)
l
d
22、观察以低等式的规律,并依照这种规律写出第
(5)个等式。
(1)x2
1
x
1
x1
(2)
x4
1
x2
1
x
1
x
1
(3)x8
1
x4
1
x2
1
x
1
x
1
(4)
x16
1
x8
1
x4
1
x2
1
x1x
1
(5)
_________________________________________________
4
(1+y)2-2x2(1+y2)+x(1-y)2
:对于任何数x,y,下式的值都不会为33
x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5
7
因式分解小结
因式分解的一般步骤是:
1)平常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即第一看有无公因式可提,其次看可否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不可以实行,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或
可利用公式法连续分解;
2)若上述方法都行不通,可以试一试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;
分析:这是一个六项式,很明重要先进行分组,本题可把分别看作一组,此
时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;也可把,,分别看作一组,此
时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。
解一:原式
解二:原式=
解一:将拆成,则有
解二:将常数拆成,则有
8
在证明题中的应用
例:求证:多项式的值必定是非负数
分析:现阶段我们学****了两个非负数,它们是完满平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完满平方数。
证明:
设,则
例:分解因式:
分析:本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c与a+2b+c的关系,努力找寻一种代换
的方法。
解:设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B
说明:在分解因式时,灵巧运用公式,对原式进行“代换”是很重要的。
9